简单几何体的面积与体积文档格式.doc

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顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积.

题型2：

锥体的体积和表面积

例3.在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，

PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积.

例4.在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°

，且AC=BC=5，SB=5.

（1）证明：

SC⊥BC；

（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

（3）求三棱锥的体积VS－ABC.

例5．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，

且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？

例6.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截

于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）

A．S1<

S2B．S1>

S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定

题型3：

棱台的体积、面积及其综合问题

例7.在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，

侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.

（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；

（2）证明：

EF∥面ABCD；

（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·

h来计算.已知它的体积公式是

V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.

题型4：

球的体积、表面积

例8．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积.

例9.如图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积.

例10.如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，在球面上，如果

，

（1）求球的表面积；

（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方

体棱长为，求球的表面积和体积.

题型5：

球的经纬度、球面距离问题

例11.我国首都靠近北纬纬线，

（1）求北纬纬线的长度等于多少？

（地球半径大约为）

（2）在半径为的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离.

随堂练习

（一）选择题

1.如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（）

A．B．C．2S0＝S＋S′D．S02＝2S′S

2.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）

A．32 B．28 C．24 D．20

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）

A．2 B．3 C．6 D．

4.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（）

A．1：

2B．1：

3C．1：

4 D．1：

5

5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE､△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）

A．B．C．D．

6.已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）

A．B．C．D．

（二）填空题

7.如图，三棱柱中，若分别为的中点，平面将三棱柱分成体积为的两部分，那么=.

8.已知三棱柱的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥E—ABC的体积是V1，则三棱锥

E—A1B1C1的体积是________.

9.已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：

cm），可得这个几何体的体积是.

（三）解答题

10.如图在中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面

积和体积.

11.表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，

（1）求这个正四棱柱的表面积.

（2）正四面体ABCD的棱长为

a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.

12.在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为，求两点间的球面距离.

家庭作业

1.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）

A． B．C． D．

2.如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′（a′+b=h），则酒瓶容积与瓶内酒的

体积之比为（）

A.1+且a+b>

hB.1+且a+b<

h

C.1+且a+b>

hD.1+且a+b<

3.设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是（）

4.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°

（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体

的体积是（）

A． B． C． D．

5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（）

A． B．

C． D．

6.如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，

则=.

7.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及

点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，

可以拼成一个棱长为6的正方体.

8.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=________.

9.在右图所示的几何体中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=若该几何体的

侧视图的面积为

（1）求证：

PA⊥BC；

（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S；

（3）求出多面体A—BMPC的体积V.

10.如图，是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB＝2.

BC⊥平面A1AC；

（2）求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．

参考答案

例1．解：

设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm

依题意得：

由

（2）的平方得：

x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）

由（3）－

（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4（cm）.

点评：

涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系.

例2．解析：

（1）如图，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD，作OM⊥AB交AB于M，

作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N.

由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN，

∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA，∴A1M=A1N，从而OM=ON.

∴点O在∠BAD的平分线上.

（2）∵AM=AA1cos=3×

=，∴AO==.

又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，

∴A1O=，平行六面体的体积为.

例3.解：

（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，

∠PBO=60°

.在Rt△AOB中BO=ABsin30°

=1，由PO⊥BO，

于是PO=BOtan60°

=，而底面菱形的面积为2.

∴四棱锥P－ABCD的体积V=×

2×

=2.

本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积.在能力方面主要考查空间想象能力.

例4.解：

∵∠SAB=∠SAC=90°

，∴SA⊥AB，SA⊥AC.

又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC.

由于∠ACB=90°

，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC.

（2）解：

∵BC⊥AC，SC⊥BC.∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10.

在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，

∴∠SCA=60°

，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°

.

（3）解：

在Rt△SAC中，∵SA=，

S△ABC=·

AC·

BC=×

5×

5=，∴VS－ABC=·

S△ACB·

SA=.

本题较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理.

例5.解：

如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG.

设点B到平面EFG的距离为h，BD＝，EF，

CO＝.

.

而GC⊥平面ABCD，且GC＝2.

由，得·

该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算.

例6.解：

连OA、OB、OC、OD，则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD

VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，

故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C

该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系.

例7.

（1）解：

过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G.

如图所示：

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°

，

∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.

∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.

由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形.

∴PG=（b－d），又B1G=h，∴tanB1PG=（b＞d），

∴∠B1PG=arctan，即所求二面角的大小为arctan.

∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，

又CD是面ABCD与面CDEF的交线，∴AB∥面CDEF.

∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，∴AB∥EF.

∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD.

（3）证明：

∵a＞c，b＞d，

∴V－V估=

=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］=（a－c）（b－d）＞0.

∴V估＜V.

该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题.考查了考生继续学习的潜能.

例8.解：

设截面圆心为，连结，设球半径为，则，

在中，，∴，

∴，∴.

正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系.

例9.解析：

如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d.

在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，

∴AB=BC=CA=a，且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′.

由正弦定理，得=2r，∴r=a.

又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，

∴P、O、O′共线，球的半径R=.又PO′===a，

∴OO′=R－a=d=，（R－a）2=R2–（a）2，解得R=a，

∴S球=4πR2=3πa2.

本题也可用补形法求解.将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a.

例10.解：

（1）如图，正四棱锥底面的四个顶点在

球的同一个大圆上，点在球面上，

PO⊥底面ABCD，PO=R，，，

所以，R=2，

球的表面积是.

（2）作轴截面如图所示，，，

设球半径为，则

∴，∴，.

本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素.

例11.解：

（1）如图，是北纬上一点，是它的半径，∴，

设是北纬的纬线长，∵，

∴

所以北纬纬线长约等于．

设经过三点的截面为⊙，设球心为，连结，则平面，

∵，∴，

所以，球心到截面距离为．

1.解析：

设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；

2.解析：

正六棱台上下底面面积分别为：

S上＝6·

·

22＝6，S下＝6·

42＝24，

V台＝，答案B.

3.解析：

设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，

则对角线l的长为l=；

答案D.

4.解析：

设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a，b，c，则棱锥的体积V1=×

abc=abc.长方体的体积V=abc，

剩下的几何体的体积为V2=abc-abc，所以V1：

V2=1：

5，故选D.

5.解析：

将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.在梯形ABFE中，易知BN=，

∴S△BCN=BC·

HN=×

1×

故该几何体体积为×

1+2×

选A.

6.解析：

该几何体为直三棱柱，其表面积为2×

×

12+×

1=3+，选C.

7.解：

设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh.

∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=S，

V1=h（S+S+）=Sh，V2=Sh-V1=Sh，

∴V1∶V2=7∶5.

解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用统一的量建立比值得到结论即可.

8.解析：

如图，过E作AC､BC的平行线EF､EG，分别与AA1､BB1交于F､G，连接FG.

∵三棱锥E—ABC的体积是V1，

∴三棱柱EFG—CAB的体积是3V1，

∴三棱柱EFG—C1A1B1的体积是V-3V1，

∵VE—A1B1C1=VEFG—C1A1B1，

∴VE—A1B1C1=（V-3V1）=-V1，答案：

-V1

9.解析：

该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体.其体积为23+×

π×

2=（8+π）cm3，答案：

8+π

10.解：

如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.

底面半径等于CO=，所以所得旋转体的表面积

S=π·

OC·

（AC+BC）=π·

（3+4）=π；

其体积V=·

π·

OC2·

AO+·

BO=·

AB=π.

评析：

求一些组合体的表面积和体积时，首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成，再通过轴截面分析和解决问题.

11.解：

（1）设球半径为，正四棱柱底面边长为，

则作轴截面如图，，，

又∵，∴，

∴，

∴

（2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD

切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H.

由题设

∵　△AOF∽△AEG

∴　，得

∵　△AO1H∽△AOF

∴，得

∴　

正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等.

12.解：

设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，，

∴，∴，

∴中，，

所以，两点的球面距离等于．

要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离.

设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr.

∴S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S侧=h2=4π2r2，

∴.答案为A.

本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识.

设酒瓶下底面面积为S，则酒的体积为Sa，酒瓶的体积为Sa+Sb，故体积之比为1+显然有a<

a′，又a′+b=h，

故a+b<

h.选B.

由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时

间的变化是相同的，反映在图象上，选项B符合题意.故选B.

如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1.

∴，答案D.

∵S＝absinθ，∴a2sin60°

＝，∴a2＝4，a＝2，a=2r，

∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A.

水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·

r.恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3=πR2r.

故.答案为.

本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力.

7.解析：

由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P—ABCD（如图），其中PD⊥平面ABCD，

因此该四棱锥的体积V=×

6×

6=72，而棱长为6的正方体的体积V=6×

6=216，故需要个这样

的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体.答案：

3

几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，画出准确的图形解决问题.

8.解析：

该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是

故该凸多面体的体积为.

通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.

9.解：

AC=1，BC=2，AB=，∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.

又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.

（2）设几何体的正视图如图所示：

∵PA=PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC.

又平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.

∴几何体侧视图的面积=AC·

PD=×

PD=.

∴PD=.易知△PA