一元二次方程压轴题(含答案)文档格式.doc

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（1）求证：

x1≤1≤x2

（2）若点A（1，2），B（，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使a＋b＝？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

5．（福建模拟）已知方程组有两个实数解和，且x1x2≠0，x1≠x2．

（1）求b的取值范围；

（2）否存在实数b，使得＋＝1？

若存在，求出b的值；

6．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．

7．（四川某校自主招生）已知实数x、y满足，求xy的取值范围．

8．（福建某校自主招生）已知方程（ax＋1）2＝a2（1－x2）（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：

－1＜x1＜0＜x2＜1．

（答案）

解：

（1）∵关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2

N

E

F

M

x

y

y2

y1

∴22＋2p＋q＋1＝0，整理得：

q＝－2p－5

（2）∵△＝p2－4q＝p2－4（－2p－5）＝p2＋8p＋20＝（p＋4）2＋4

无论p取任何实数，都有（p＋4）2≥0

∴无论p取任何实数，都有（p＋4）2＋4＞0，∴△＞0

∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点

（3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，都为直线x＝－，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到

∴EF∥MN，EF＝MN＝1

∴四边形FEMN是平行四边形

由题意得S四边形FEMN＝EF·

|－|＝2，即|－|＝2

∴p＝±

4

2．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

∵△＝52－4（－m2＋1）＝4m2＋21

∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根

∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2

∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即（α＋β）2－2αβ＋2|αβ|≤36

∴25－2（1－m2）＋2|1－m2|≤36

当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立

∴－1≤m≤1①

当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4（1－m2）≤36

解得－≤m≤

∴－≤m＜－1或1＜m≤②

综合①、②得：

－≤m≤

（1）∵x1，x2是一元二次方程（a－6）x2＋2ax＋a＝0的两个实数根

∴即

假设存在实数a使－x1＋x1x2＝4＋x2成立，则4＋（x1＋x2）－x1x2＝0

∴4＋－＝0，得a＝24

∵a＝24满足a≥0且a≠6

∴存在实数a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立

（2）∵（x1＋1）（x2＋1）＝（x1＋x2）＋x1x2＋1＝＋＋1＝－

∴要使（x1＋1）（x2＋1）为负整数，则只需a为7，8，9，12

（1）由根与系数的关系得：

x1＋x2＝a＋b＋1，x1x2＝a

∴a＝x1x2，b＝x1＋x2－x1x2－1

∵b≥0，∴x1＋x2－x1x2－1≥0

∴1－x1－x2＋x1x2≤0

∴（1－x1）（1－x2）≤0

又∵x1≤x2，∴1－x1≥0，1－x2≤0

即x1≤1，x2≥1

∴x1≤1≤x2

O

1

2

C

A

B

（2）∵x1＋x2＝a＋b＋1，a＋b＝，∴x1＋x2＝

①当点P（x1，x2）在BC边上运动时

则≤x1≤1，x2＝1

∴x1＝－x2＝－1＝＞1

故在BC边上不存在满足条件的点P

②当点P（x1，x2）在AC边上运动时

则x1＝1，1≤x2≤2

取x2＝，则x1＋x2＝，即a＋b＝

故在AC边上存在满足条件的点P（1，）

③当点P（x1，x2）在AB边上运动时

则≤x1≤1，1≤x2≤2，易知x2＝2x1

∵x1＋x2＝，∴x1＝，x2＝

又∵＜＜1，1＜＜2

故在AB边上存在满足条件的点（，）

综上所述，当点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动时，在BC边上没有满足条件的点，而在AC、AB边上存在满足条件的点，它们分别是（1，）和（，）

（1）由已知得4x＝（2x＋b）2，整理得4x2＋（4b－4）x＋b2＝0

∵x1≠x2，∴△＞0，即（4b－4）2－16b2＞0，解得b＜

又∵x1x2≠0，∴≠0，∴b≠0

综上所述，b＜且b≠0

（2）∵x1＋x2＝1－b，x1x2＝，∴＋＝＝＝1得

∴b2＋4b－4＝0，解得b＝－2±

2

∵－2＋2＝2（－1）＞，∴b＝－2＋2不合题意，舍去

∴b＝－2－2

∵a＋b＋c＝0，abc＝8，∴a，b，c都不为零，且a＋b＝－c，ab＝

∴a，b是方程x2＋cx＋＝0的两个实数根

∴△＝c2－4×

≥0

当c＜0时，c2－4×

≥0恒成立

当c＞0时，得c3≥32，∴c≥

故c的取值范围是c＜0或c≥

∵（x－y）2≥0，∴x2＋y2≥2xy

∴2（x2＋y2）≥（x＋y）2

∴2（4a2－2a＋2）≥（3a－1）2

即a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3

∵xy＝[（x＋y）2－（x2＋y2）]

＝[（3a－1）2－（4a2－2a＋2）]

＝（5a2－4a－1）

＝（a－）2－

∴当a＝时，xy有最小值－；

当a＝3时有最大值16

∴－≤xy≤16

证明：

将原方程整理，得2a2x2＋2ax＋1－a2＝0

-1

x1

x2

令y＝2a2x2＋2ax＋1－a2，由于a＞1，所以这是一条开口向上的抛物线

当x＝0时，y＝1－a2＜0，∴原方程有一个正根和一个负根

又∵x1＜x2，∴x1＜0＜x2

又当x＝1时，y＝2a2＋2a＋1－a2＝（a＋1）2＞0

当x＝－1时，y＝2a2－2a＋1－a2＝（a－1）2＞0

∴－1＜x1＜0＜x2＜1