中考压轴题一元二次方程反比例函数.docx

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中考压轴题一元二次方程反比例函数

一元二次方程

1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．

（1）用含p的代数式表示q；

（2）求证：

抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；

（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．

2．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

3．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a－6）x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？

若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使（x1＋1）（x2＋1）为负整数的实数a的整数值．

4．（江苏模拟）已知关于x的方程x2－（a＋b＋1）x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．

反比例函数

1．（北京模拟）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC＝x，四边形OCPD的面积为S．

（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式；

（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x＝

时，S有最大值

，求直线AB的解析式；

（3）在

（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．

2．（北京模拟）已知点A是双曲线y＝

（k1＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y＝

（k2＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．

（1）如图1，当m＝4时，求△ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）；

（2）如图2，若点E恰好在双曲线y＝

（k1＞0）上，求m的值；

（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m＝2时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k1的值，并直接写出线段CF的长．

3．（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝

，反比例函数y＝

（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．

（1）求反比例函数和直线AB的解析式；

（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA:

AB:

OC=5:

5:

3．点D是线段OC上一点，且OD＝BD．

（1）若直线y＝kx＋m（k≠0）过B、D两点，求k的值；

（2）在

（1）的条件下，反比例函数y＝

的图象经过点B．

①求证：

反比例函数y＝

的图象与直线AB必有两个不同的交点；

②已知点P（p，－n－1），Q（q，－n－2）在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取值范围．

5．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k（x2＋x－1）的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

6．（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝

在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝

．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长．

7．（浙江某校自主招生）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－

的图象上．

（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；

（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则k＝__________（用含m的代数式表示）；

（3）继续探究：

①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别为两个、三个、四个？

②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况．

8．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝

（x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．

（1）填空：

B点的坐标为（______，______）；

（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB的值最小时，求出Q点坐标．

9．（浙江模拟）已知点P（m，n）是反比例函数y＝

（x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝

（x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．

（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；

（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由；

（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由．

10．（江苏徐州）如图，直线y＝x＋b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数y＝－

的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E．

（1）△CDE是______________三角形；点C的坐标为______________，点D的坐标为_____________（用含有b的代数式表示）；

（2）b为何值时，点E在⊙O上？

（3）随着b取值逐渐增大，直线y＝x＋b与⊙O有哪些位置关系？

求出相应b的取值范围．

11．（江苏泰州）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝

的图象相交于B（－1，5）、C（

，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1＝kx＋b的图象上的动点．

（1）求k、b的值；

（2）设－1＜m＜

，过点P作x轴的平行线与函数y2＝

的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？

若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设m＝1－a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．

12．（江苏模拟）如图，双曲线y＝

（x＞0）与过A（1，0）、B（0，1）的直线交于P、Q两点，连接OP、OQ．

（1）求证△OAQ≌△OBP；

（2）若点C是线段OA上一点（不与O、A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．

①当a为何值时，CE＝AC？

②是否存在这样的点C，使得CE∥AB？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

13．（河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y＝

（x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C；

（3）对于一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）．

14．（山东济南）如图，已知双曲线y＝

经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限分支上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．

（1）求k的值；

（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；

（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

15．（山东淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．

（1）求反比例函数的解析式；

A

B

D

O

C

E

F

y

x

（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝－

x＋b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；

（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．

16．（湖北某校自主招生）在直角坐标系中，O为坐标原点，A是双曲线y＝

（k＞0）在第一象限图象上的一点，直线OA交双曲线于另一点C．

（1）如图1，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移

个单位后与双曲线在第一象限的图象交于点M，交y轴于点N，若

＝

，求k的值；

（2）如图2，若k＝1，点B在双曲线的第一象限的图象上运动，点D在双曲线的第三象限的图象上运动，且使得四边形ABCD是凸四边形时，求证：

∠BCD＝∠BAD．

17．（湖北模拟）如图，反比例函数y＝

的图象经过点A（a，b）且|a＋2

|＋（b－2

）2＝0，直线y＝2x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180°后B、C两点恰好都落在反比例函数的图象上，求点M的坐标；

（3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C？

若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．

18．（广西北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C（d，2）．

（1）求d的值；

（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；

（3）在

（2）的条件下，设直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形．如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

19．（广西玉林、防城港）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝

的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．

（1）填空：

双曲线的另一支在第_________象限，k的取值范围是_______________；

（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分面积S最小？

（3）若

＝

，S△OAC＝2，求双曲线的解析式．

20．（福建厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝

（k2＞0）的交点．

（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若AM＝BM，求点B的坐标；

（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝

（k2＞0）于点N．当

取最大值时，有PN＝

，求此时双曲线的解析式．

21．（福建莆田）如图，一次函数y＝k1x＋b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y＝

（x＞0）的图象相交于B、C两点．

（1）若B（1，2），求k1·k2的值；

（2）若AB＝BC，则k1·k2的值是否为定值？

若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

22．（福建某校自主招生）如图1，已知直线y＝－

x＋m与反比例函数y＝

的图象在第一象限内交于A、B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E．

（1）若OE·CE＝12，求k的值；

（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：

EF∥CD；

（3）在

（1）

（2）的条件下，EF＝

，AB＝2

，P是x轴正半轴上一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．