人教2012版数学第二十七章相似第21讲相似三角形的综合应用文档格式.doc
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1.如图
（1）是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD垂直BD，且测的AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．６米 B．８米 C．１８米 D．２４米
【例２】如图（２），一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了５个部分.①、②、③这三块的面积比依次为１：
４：
４１，那么，④、⑤这两块的面积比是（ ）
A．3：
4B．9：
14C．4：
5D．9：
16
【解法指导】本题首先要找出④的直角边、⑤的宽与正方形边长的关系。
根据①②相似，先找出正方形边长与①的直角边的关系，最后以①的直角边为单位量，表示出正方形边长、④的直角边、⑤的宽，即可求解。
解法：
设①的直角边为k，可判定①,②相似。
由相似性质得②直角边为2k。
再设正方形的边长为x，可列方程为3k·
x=42·
（k·
k÷
2），解得x=7k。
所以⑤的宽为4k，④的直角边为6k，则④,⑤这两块的面积比是9：
14，选B.
2．如图G是△ABC的重心（三边中线的交点），直线l过Ａ点与ＢＣ平行，若直线ＣG分别与AB、l交与D、E两点，直线BG与AC交与F点，则△AED面积：
四边形ADGF的面积为（ ）
A．１：
２ B．２：
１ C．２：
３ D．３：
２
3.如图，点A1，A２，A３，A４在射线OA上，点B１，B２，B３，在射线OB上，且A1B1
∥A2B2∥A3B3,A2B1∥A3B2∥A4B3.若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为１，４，则图中三个阴影三角形面积之和为
4.图为△ABC与△DEC重迭的情形，其中Ｅ在BC上，AC交DE与F点，且AB∥DE，若△ABC与△DEC的面积相等，且EF＝９，AB＝１２，则DF＝（）
【例２】已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE·
AC，BD=8,求△ABD的面积。
【解法指导】由题设得AB2=AE·
AC，∴AB：
AC=AE：
AB,又∠EAB=∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE=∠ACB,从而AB=AD，连接AO交BD于F，则BF=DF=1，连接OB，由勾股定理得AF=OA―OF=2，故S=BD·
AF=8，
5.如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3,则AD×
DC等于（）
A.6B.7C.12D.16
6.如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面４种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）
A.AD·
BC=AB·
BDB.AB2=AD·
ACC.∠ABD=∠ACBD.AB·
BC=AC·
BD
【例3】如图，H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BH=BQ，过B作HC的垂线，垂足为P，求证:
DP⊥PQ
【解法指导】根据条件BP⊥HC，只要证明∠DPC=∠BPQ即可，但本题从边角代换证角等无处下手，可考虑用相似证明。
∵BP⊥HC∴∠BPH=∠CPB=90°
∴∠PCB+∠PBC=∠HBP+∠PBC=90°
∴∠HBP=∠BCP,∴△HBP∽△BCP,∴BP：
CP=HB：
HC,又∵BH=BQ,BC=CD∴BP：
CP=BQ：
CD,∵AB∥CD,∴∠DCP=∠BHP又∠BHP=∠QBP,∴∠DCP=∠QBP,∴△DCP∽△QBP,∴∠DPC=∠BPQ,又∠BPQ+∠CPQ=90°
∴∠DPC+∠CPQ=90°
即DP⊥PQ
7.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°
，则CD的长为（）
A.B.C.D.
8.已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5,EF=2，则FG的长是
【例４】在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°
，点E、F分别在线段AD，DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°
，设AE=x，DF=y.（１）求y与x的函数表达式；
（２）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
【解法指导】本题是“直线上架直角”相似模型的变式探究。
（１）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°
，∴∠A＝∠D＝120°
，∴∠AEB＋∠ABE＝180°
－120°
=60°
，∵∠BEF=120°
∴∠AEB＋∠DEF＝180°
＝60°
∴∠ABE＝∠DEF。
∴△ABE∽△DEF。
∴=∵AE=x,DF=y,∴=,∴y与x的函数表达式是y=·
x·
（6-x）=－x2+x;
（2）∴y=－x2+x=－（x-3）2+,∴当x=3时,P有最大值，最大值为．
9.阅读理解：
如图１，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠Ｂ＝900,点P在边BC上，当∠APD=90°
时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP·
PC=AB·
CD，解答下列问题：
（１）模型探究：
如图２，在四边形ABCD中，点P在ＢＣ上，当∠B=∠C=∠APD时,求证BP·
CD
（２）拓展应用：
如图３，在四边形ABCD中，AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=600，AO⊥BC与于点O，以O为原点，以BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）
①当∠APD=600时，求点P的坐标；
②过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设OP=x，OE=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
演练巩固·
反馈提高
1.如图，已知零件的外径为25mm,现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）量零件的内孔直径AB，若OC:
OA=1:
2，量得CD=10mm,则零件的厚度x=mm．
2.如图，在正三角形ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ）
A.1:
3B.2:
3C.:
2D.:
3
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=900，AD=DC=4，AB=1,F为AD的中点，则点F到BC的距离是（ ）
A.2B.4C.8D.1
4.如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，P是BC边上的一点，作PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，设BP=x，则PD+PE=（）
A.+3B.4－C.D.-－
5.如图，直线AB经过⊙O上的点C，且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线AB于点E、D，连接EC、CD
（１）求证：
直线AB是⊙O的切线
（２）试猜想BC、BD、BE三者之间的等量关系，并加以证明；
（３）若⊙O半径为３，求OA的长
6.如图在平面直角坐标系中，直线y=－x-12分别交x轴，y轴于Ａ，Ｂ两点，点Ｃ在x轴上，且△ABC∽△AOB
（１）求点C的坐标
（２）若点P从点A出发，以每秒１个单位的速度沿AB向B运动，同时点Q从点C出发，以每秒１个单位的速度沿CA向A运动，连结PQ，设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围
（３）在（２）的条件下，是否存在t的值，使以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？
若存在，请求出t的值；
若不存在，请说明理由。
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1．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°
若AD=AC，CE=BC，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A.∠1＞∠2B.∠1＜∠2C.∠1=∠2D.无法确定
2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°
，D是BC中点，AE交CB延长线于点E，则结论正确的是（ ）
A.△AED∽△ACDB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC
3．如图△ABC中,∠ABC=60°
，点P是△ABC内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB=
4．如图，△ABC和△A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D，求证：
AA1⊥CC1
5．如图，设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：
BP·
PC=BM·
CN
6.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°
，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F，求证：
（1）四边形CEDF是正方形；
（2）CD2=2AE·
BF
7.如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。
8．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N，求证：
BN=CN
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