第三十四讲 解直角三角形的应用.docx
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第三十四讲解直角三角形的应用
第三十四讲 解直角三角形的应用
【基础演练】
1．（2013·聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为（ ）
A．12米B．4米
C．5米D．6米
解析 Rt△ABC中，BC＝6米，＝1∶，
∴则AC＝BC×＝6，
∴AB＝＝＝12.
答案 A
2．（2012·深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（6＋）米B．12米
C．（4－2）米D．10米
解析 延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE＝30°，作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4m，
∴CE＝2（米），EF＝4cos30°＝2（米），
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE＝2（米），CE∶DE＝1∶2，∴DE＝4（米），
∴BD＝BF＋EF＋ED＝12＋2（米），
在Rt△ABD中，AB＝BD＝（12＋2）＝（＋6）（米）．
答案 A
3．（2012·德阳）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP＝（ ）
A.B．2C.D.
解析 ∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．
∴PA＝20
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，
∴∠APB＝90°，BP＝60×＝40，
∴tan∠ABP＝＝＝.
答案 A
4．（2013·衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m，≈1.73）
A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m
解析 设CD＝x，
在Rt△ACD中，CD＝x，∠CAD＝30°，
则AD＝x，
在Rt△CED中，CD＝x，∠CED＝60°，
则ED＝x，
由题意得，AD－ED＝x－x＝4，
解得：
x＝2，
则这棵树的高度＝2＋1.6≈5.1m.
答案 D
5．（2013·泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为____________海里（取≈1.7，结果精确到0.1海里）．
解析 ∵∠DBA＝∠DAB＝45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝AB，
设DE＝x，则AB＝2x，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，
则CE＝DE＝x，
在Rt△BDE中，∠DAE＝45°，
则DE＝BE＝x，
由题意得，CB＝CE－BE＝x－x＝25，
解得：
x＝，
故AB＝25（＋1）≈67.5海里．
答案 67.5
6．（2013·巴中）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73）
解
如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D.
∵探测线与地面的夹角为30°和60°，
∴∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
在Rt△BDC中，tan60°＝，
∴BD＝＝，
在Rt△ADC中，tan30°＝，
∴AD＝＝，
∵AB＝AD－BD＝4，
∴－＝4，
∴CD＝2≈3.5（米）．
答：
生命所在点C的深度大约为3.5米．
【能力提升】
7．（2013·潍坊）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A．10海里/小时B．30海里/小时
C．20海里/小时D．30海里/小时
解析 如图，过点C作CD⊥AB于D.设AC＝x海里．
在△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝10°＋20°＝30°，AC＝x海里，
∴CD＝AC＝x海里，AD＝CD＝x海里．
在△BCD中，∠BDC＝90°，
∠CBD＝80°－20°＝60°，
∴BD＝CD＝x海里．
∵AD＋BD＝AB，
∴x＋x＝20，解得x＝10，
∴救援船航行的速度为：
10÷＝30（海里/小时）．
答案 D
8．（2012·内江）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为16米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米．
（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．
解
（1）分别过A，D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，如图所示．
∵在Rt△ABF中，AB＝16米，∠B＝60°，
sin∠B＝，
∴在矩形AFGD中，AF＝16×＝8，DG＝8
∴S△DCE＝×CE×DG＝×8×8＝32
需要填方：
150×32＝4800（立方米）；
（2）在直角三角形DGC中，DC＝16米，∴GC＝＝24米，
∴GE＝GC＋CE＝32米，
坡度i＝＝＝.
9．（2013·绍兴）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：
单位：
cm
伞架
DE
DF
AE
AF
AB
AC
长度
36
36
36
36
86
86
（1）求AM的长；
（2）当∠BAC＝104°时，求AD的长（精确到1cm）．备用数据：
sin52°＝0.788，cos52°＝0.6157，tan52°＝1.2799.
解
（1）由题意，得AM＝AE＋DE＝36＋36＝72（cm）．
故AM的长为72cm；
（2）∵AP平分∠BAC，∠BAC＝104°，
∴∠EAD＝∠BAC＝52°.
过点E作EG⊥AD于G，
∵AE＝DE＝36，
∴AG＝DG，AD＝2AG.
在△AEG中，∵∠AGE＝90°，
∴AG＝AE·cos∠EAG＝36·cos52°＝36×0.6157＝22.1652，
∴AD＝2AG＝2×22.1652≈44（cm）．
故AD的长约为44cm.
10．（2013·南充）如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N（参考数据：
sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）．
（1）求M，N两村之间的距离；
（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离．
解
（1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，如图：
在Rt△ACM中，∠CAM＝36.5°，AM＝5km，
∵sin36.5°＝＝0.6，
∴CM＝3，AC＝＝4km，
在Rt△ANE中，∠NAE＝90°－53.5°＝36.5°，
AN＝10km，
∵sin36.5°＝＝0.6，
∴NE＝6，AE＝＝8km，
∴MD＝CD－CM＝AE－CM＝5km，
ND＝NE－DE＝NE－AC＝2km，
在Rt△MND中，
MN＝＝km.
（2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，点P即为站点，
此时PM＋PN＝PM＋PG＝MG，
在Rt△MDG中，MG＝＝
＝5km.
答：
最短距离为5km.
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