最新苏教版八年级下册数学第十二章二次根式知识点Word文档下载推荐.doc

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（a≥0）的性质

≥0

（a≥0）

一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（≥0，a≥0）应用较多，如：

+=0，则a+1=0，b-3=0，即a=-1，b=3；

又如+，则x的取值范围是x-a≥0，a-x≥0，解得x=a。

（2）具有非负性的性质：

①a2≥0；

②｜a｜≥0；

③≥0（a≥0）（3）若a2+｜b｜+=0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。

（a≥0）的最小值为0。

（）2（a≥0）的性质

（）2=a（a≥0）

一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

正用公式：

（）2=5；

（）2=m2+1；

逆用公式：

若a≥0，则a=（）2如：

2=（）2，=（）2

逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2=（a+）（a-）

=｜a｜=a（a≥0）或

=｜a｜=-a（a＜0）

一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

（1）正用公式：

=｜3-π｜=3-π

（2）逆用公式：

3==3

化简形如的式子时，先转化为

｜a｜形式，再根据a的符号去掉绝对值号。

★（）2（a≥0）与的区别与联系：

（）2

区别

表示的意义不同

表示非负数a的算术平方根的平方

表示a2的算术平方根

取值范围不同

a≥0

a为任意实数

读法不同

读作“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方”

读作“根号a2”或“a的平方的算术平方根”

被开方数不同

被开方数是a

被开方数是a2

运算顺序不同

先开放后平方

先平方后开方

运算结果，运算依据不同

（）2=a，依据平方与开平方互为逆运算得到

依据算术平方根的定义得到

作用不同

（）2=a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式

=｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内

联系

①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方

②结果都是非负数；

③a≥0时，（）2=

三、代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。

例：

3，x，x+y，（x≥0），-ab，（t≠0，x3都是代数式

注

（1）单独一个数或字母也是代数式；

（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）

（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。

如2x+3＞3x-5是关系式。

列代数式的常用方法：

（1）直接法：

根据问题的语言叙述直接写出代数式。

（2）公式法：

根据公式列出代数式。

（3）探究规律法：

将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。

四、二次根式的乘除

1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

五、二次根式的乘法法则

．=（a≥0，b≥0）即：

二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变

（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。

（2）推广①．．=（a≥0，b≥0，c≥0）②a．c=ac

③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。

练习：

（1）．；

（2）．；

（3）4．（4）6．（-2）

六、二次根式乘法法则的逆用

=．（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积

利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。

注：

（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如≠．。

（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。

推广：

=．．．（a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）

三、二次根式的除法法则

=（a≥0，b＞0）即：

二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。

若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；

若b=0，则无意义。

（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×

这样的错误。

（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。

（m）÷

（n）=（m÷

n）×

（÷

），其中a≥0，b＞0，n≠0。

七、二次根式除法法则的逆用

=（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。

公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。

例如计算，不能写为=，而应写为===。

利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。

当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。

八、最简二次根式的概念

★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：

（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。

拓展：

分母有理化：

二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。

分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。

分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。

常用的有理化因式有：

与；

+与-；

a+c与a-c等。

九、二次根式的加减

1、同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab

2、合并同类项：

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。

3、整式的加减：

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

4、平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±

b）2=a2±

2ab+b2

5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

十、可以合并的二次根式

★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。

合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m+n=（m+n）

化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。

（1）；

（2）-；

（3）；

（4）（a＞0，b＞0）；

（5）b；

（6）2；

（7）（a＞0，b＞0）；

（8）3（a＞0，b＞0）；

十一、二次根式的加减

★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：

（1）将各个二次根式化成最简二次根式；

（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；

（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：

化简→判断→合并。

★二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：

运算

二次根式的乘除法

二次根式的加减法

系数

系数相乘除

系数相加减

被开方数

被开方数相乘除

被开方数不变

化简

结果化成最简二次根式

先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式

（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；

（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；

（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。

计算：

（1）+6-2x；

（2）（-+2）-（-）

十二、二次根式的混合运算

★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：

先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。

★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。

在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。

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