三角形、四边形中的动点问题Word格式.docx
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运动方向、速度、范围（直线、射线、线段、折线）；
5.注重分类讨论，通过分别画图与分离图形使问题简单化；
6.根据运动元素的不同分为动点问题、动线问题、动图问题三大类型（包括点、线、图同时运动）.
◆典例解析
一、三角形中的动点问题
例1.已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.设运动时间为t（s），
（1）如图1，当t为何值时，△PBC是直角三角形？
（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.那么当t为何值时，△DCQ是等腰三角形?
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D，连接PC.如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.请探究：
在点P、Q的运动过程中△PCD和
△QCD的面积是否相等？
变式题：
已知：
如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；
是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？
如果存在，求出相应的t值；
若不存在，请说明理由。
例2.如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．
（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？
（2）若点Q以
（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
如图
（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD。
可通过证明得到这个结论；
（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图
（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．利用图
（2）的情形，求证：
∠BQP=60°
；
（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？
写出证明过程．
二、特殊四边形中的动点问题
例3.如图，在等腰梯形中，∥，,AB=12cm,CD=6cm,点从开始沿边向以每秒3cm的速度移动，点从开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。
设运动时间为t秒。
A
B
C
D
Q
P
（1）求证：
当t=时，四边形是平行四边形；
（2）PQ是否可能平分对角线BD？
若能，求出当t为何值时PQ平分BD；
若不能，请说明理由；
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B﹦90°
，AB﹦6cm，AD﹦18cm，BC﹦24cm。
点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；
点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）t为何值时，四边形ABQP为矩形？
（2）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（3）在其它条件不变的情况下，能否通过改变点Q的运动速度，使得四边形PQCD为菱形？
例4.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
1.如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小，最大？
各是多少？
2.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边
△BCF.
F
E
四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：
（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.
◆延伸课堂
1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据
（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．
2.直线y=-3/4x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当S=48/5时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
3.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°
，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边以1厘米/秒的速度向点D运动；
动点Q从点C开始，沿CB边以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。
假设运动时间为t秒，问：
（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）t为何值时，线段AB与线段PQ相等？
（3）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？
为什么？
（4）是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周长相等的两部分？
若存在，求出t的值；
若不存在，请你说明理由．
4.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°
，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；
动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）探究：
t为何值时，△PMC为等腰三角形．
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