四边形专题经典复习原创有解答文档格式.doc
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①有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形．
②一组邻边相等的矩形是正方形．
③一个角是直角的菱形是正方形．
④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．
①正方形具备平行四边形性质．
②正方形既具备矩形特殊性质，又具备菱形特殊性质，即：
四边都相等；
四个角都是直角；
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有4条对称轴．③面积S＝a2（a表示正方形的边长）．
5．梯形的判定和性质
类别
梯形
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形
①梯形一组对边平行而另一组对边不平行．
②梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半．
③是梯形的上下底，h是高，m是中位线）．
等腰
①两腰相等的梯形是等腰梯形．
②同一底上两角相等的梯形是等腰梯形．
③对角线相等的梯形是等腰梯形．
①等腰梯形具有一般梯形的性质．
②等腰梯形两腰相等．
③等腰梯形同一底上两角相等．
④等腰梯形对角线相等．
⑤等腰梯形是轴对称图形．
直角
有一个角是直角的梯形是直角梯形．
①直角梯形具有一般梯形的性质．
②直角梯形的一腰垂直于底边．
6．梯形中的常用辅助线：
7.平行线等分线段定理
（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等．
（2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边．
（3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰．
8．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半．
典型例题：
例1.如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO．求证：
∠AOB=∠COB．
解：
作BM⊥CF于M，BN⊥AE于N，连接BE、BF；
根据和AE=CF，可证BN=BM，
于是∠AOB=∠COB．
例2.如图：
工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．
如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，将△ADE的边AE与边EC重合（点A与点C重合、点E与点E重合）后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形．证明略
．
例3.已知：
平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：
（1）BE⊥AC；
（2）EG=EF。
证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，BD=2BO．
由已知BD=2AD，∴BO=BC，又E是OC中点，∴BE⊥AC．
（2）由
（1）BE⊥AC，又G是AB中点，∴
∵EF是△OCD的中位线，∴又，∴
例4．如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC，BD交于O，且∠AOB=60°
，又E，F，G分别为DO，AO，BC的中点．
求证：
△EFG是等边三角形。
连接EC．∵ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，且AC=BD．
又∵DC=DC，∴△ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC，∴△ODC为等腰三角形．
∵∠DOC=∠AOB=60°
，∴△ODC为等边三角形．
又∵E为OD中点，∴∠OEC=90°
在Rt△BEC中，G为斜边的中点，∴。
同理．
在△OAD中，∵E，F分别为OD，OA的中点．
∴，故△EFG为等边三角形．
例5．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求△FCG的面积；
（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；
（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．
（1）∵正方形ABCD中，AH=2，∴DH=4．
又DG=2，因此HG=，即菱形EFGH的边长为．
在△AHE和△DGH中，∠A=∠D=90°
，AH=DG=2，EH=HG=，
∴△AHE≌△DGH。
∴∠AHE=∠DGH。
∵∠DGH+∠DHG=90°
，∴∠DHG+∠AHE=90°
，
∴∠GHC=90°
，即菱形EFGH是正方形．同理可以证明△DGH≌△CFG．
因此∠FCG=90°
，即点F在BC边上，同时可得CF=2，从而
（2）作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE。
∴∠AEH=∠MGF。
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°
，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG。
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。
因此
（3）若，由，得，此时，在△DGH中，。
相应地，在△AHE中，，即点E已经不在边AB上。
故不可能有。
另法：
由于点G在边DC上，因此菱形的边长至少为DH=4，
当菱形的边长为4时，点E在AB边上且满足，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，
HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为。
此时，，故。
而函数的值随着的增大而减小，
因此，当时，取得最小值为。
又因为，所以△FCG的面积不可能等于1。
巩固练习：
1、把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
D
C
A
B
G
H
F
E
2、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：
AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．
3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．
D′
（1）求证：
△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？
证明你的结论．
挑战自我：
1、（2010年眉山市）．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°
，则这个正多边形的边数是（）
A．9B．8C．6D．4
4、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为。
5、（2010年宁德市）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．
第5题图
AEB
6题
6、（2010年滨州）如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°
E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为
7、（2010年福建晋江）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：
①∥，②，③，④．
已知：
在四边形中， ， ；
四边形是平行四边形．
8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD，，。
（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四
边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;
若沿着BD剪开，
请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;
并直接写出这两个平行四边
形的周长。
（图1）
（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形。
（注：
上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）
（图4）
（图3）
（图2）
周长为__________周长为__________
9、（2007天津市）在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且，BD=12cm，求梯形中位线的长。
10、（2007·
山东）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）（A）4cm（B）6cm（C）8cm（D）10cm
11题
10题
11、（2006·
山东）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45o，且AE+AF=，则平行四边形ABCD的周长是．
直击中考：
1.（2011安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）
【答案】D
A．7 B．9 C．10 D．11
2.（2011山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：
CF＝（）
A．1：
2 B．1：
3 C．2：
3 D．2：
5【答案】A
3.（2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）【答案】C
……
图①图②图③图④
A．55 B．42 C．41 D．29
4.（2011宁波市）一个多边形的内角和是720°
，这个多边形的边数是（）
【答案】C
A．4B．5C．6D．7
5.（2011广东汕头）正八边形的每个内角为（）
【答案】Ｂ
A．120°
B．135°
C．140°
D．144°
6、（2011山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是（）
图1
图2
图3
（A）（B）（C）（D）
7.（2011山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）
【答案】B
A.17B.17C.18D.19
8.（2011山东泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）
【答案】A
A.2B.C.D.6
9.（2011四川重庆）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；
②BG＝GC；
③AG∥CF；
④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（）【答案】C
A．1 B．2 C．3 D．4
10.（2011浙江省嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°
内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）
（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm
（第10题）
①
②
③
④
⑤
11.（2011重庆江津）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有（）【答案】C
①四边形A2B2C2D2是矩形;
②四边形A4B4C4D4是菱形;
③四边形A5B5C5D5的周长;
④四边形AnBnCnDn的面积是
A.①②B.②③C.②③④D.①②③④
…
A1
A2
A3
B1
B2
B3
C2
C1
C3
D2
D1
D3
12.（2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：
（）【答案】D
①△AED≌△DFB；
②S四边形
BCDG=
CG2；
③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论
A．只有①②．
B．只有①③．C．只有②③．
D．①②③．
第12题图
13.（2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.【答案】2
14.（2011浙江绍兴）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为.【答案】
15.（2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为。
【答案】
16、（2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含的代数式表示为．【答案】．
17、（2009黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使；
连结，再以为边作第三个菱形，使；
……，按此规律所作的第个菱形的边长为．【答案】
18．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大．【答案】2;
19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF=CE，BH=DG．
GF∥HE．
O
【答案】证明：
∵平行四边形ABCD中，OA=OC，
由已知：
AF=CEAF－OA=CE－OC∴OF=OE同理得：
OG=OH
∴四边形EGFH是平行四边形∴GF∥HE
20、（2011四川成都10分）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.
（1）若BK=KC，求的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?
请写出你的结论并予以证明．再探究：
当AE=AD（），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?
请直接写出你的结论，不必证明．
【答案】解：
（1）∵AB∥CD，BK=KC，∴==.
（2）如图所示，分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点，
∵BE∥DG，点E是AD的点，∴AB=BG；
∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CD=FG；
∵∠ABE=∠EBC，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF，
∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.
当AE=AD（）时，（）AB=BC+CD.
21、（2011贵州安顺10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°
，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
⑴说明四边形ACEF是平行四边形；
⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
第25题图
（1）证明：
由题意知∠FDC=∠DCA=90°
．∴EF∥CA∴∠AEF=∠EAC
∵AF=CE=AE∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA又∵AE=EA
∴△AEC≌△EAF，∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）当∠B=30°
时，四边形ACEF是菱形．
理由是：
∵∠B=30°
，∠ACB=90°
，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴BE=CE
又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．
22、（2011山东滨州10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。
那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论。
（第24题图）
【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，
四边形AECF是矩形………………2分
∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分
又∵MN∥BC,∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，∴EO=CO.………………5分
同理，FO=CO………………6分
∴EO=FO
又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形………………7分
又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.………………8分
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°
∴∠2+∠4=90°
………………9分
∴四边形AECF是矩形………………10分
23、（2011湖北襄阳10分）如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°
得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.
∠ADP＝∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？
并说明理由.
图9
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A＝∠PBC＝90°
，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90°
1分
∵∠DPE＝90°
∴∠APD＋∠EPB＝90°
∴∠ADP＝∠EPB. 2分
（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90°
3分
又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP
∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 4分
∴∠CBE＝∠EBG＝45°
. 5分
（3）方法一：
当时，△PFE∽△BFP. 6分
∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分
设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝，∴BF＝BP·
8分
∴，
∴ 9分
又∵∠DPF＝∠PBF＝90°
，∴△ADP∽△BFP 10分
方法二：
假设△ADP∽△BFP，则. 6分
∴， 8分
∴， 9分
∴PB＝AP，∴当时，△PFE∽△BFP. 10分
24.（2011湖南永州10分）探究问题：
⑴方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°
，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°
得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=A
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