人教版初三数学下册《全册精品教案合集》教案共80页Word文档格式.docx
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y
描点、连线：
方法总结：
作图的一般步骤为：
①列表；
②描点；
③连线；
④注明函数解析式．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】反比例函数与一次函数图象位置的确定
在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx＋3的图象大致是（ ）
A.由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＞0且过点（0，3）一致，故A选项正确；
B.由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＞0且过点（0，3）矛盾，故B选项错误；
C.由函数y＝的图象可知k＜0与y＝kx＋3的图象中k＜0且过点（0，3）矛盾，故C选项错误；
D.由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＜0且过点（0，3）矛盾，故D选项错误．故选A.
解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定k的符号，再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；
如果不符合，一定错误．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】实际问题中函数图象的确定
若按xL/min的速度向容积为20L的水池中注水，注满水池需ymin.则所需时间ymin与注水速度xL/min之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
∵水池的容积为20L，∴xy＝20，∴y＝（x＞0），故选B.
解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象．
【类型四】反比例函数图象的对称性
若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（－1，2），则另一个交点坐标为（ ）
A．（2，－1）B．（1，－2）
C．（－2，－1）D．（－2，1）
∵正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝的图象均关于原点对称，∴两函数的交点也关于原点对称．∵一个交点的坐标是（－1，2），∴另一个交点的坐标是（1，－2）．故选B.
反比例函数y＝（k≠0）的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是一、三（或二、四）象限角平分线所在的直线，对称中心是坐标原点．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二：
反比例函数的性质
【类型一】根据解析式判定反比例函数的性质
已知反比例函数y＝－，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（－1，2）
B．y随x的增大而增大
C．图象分布在第二、四象限
D．若x＞1，则－2＜y＜0
A.（－1，2）满足函数解析式，则图象必经过点（－1，2），命题正确；
B.在第二、四象限内y随x的增大而增大，忽略了x的取值范围，命题错误；
C.命题正确；
D.根据y＝－的图象可知，在第四象限内命题正确．故选B.
解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型二】根据反比例函数的性质判定系数的取值范围
在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．－1B．3C．1D．2
∵反比例函数y＝的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而减小，∴1－k＞0，解得k＜1.故选A.
对于函数y＝，当k＞0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；
当k＜0时，在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．反比例函数的图象：
双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形．
2．反比例函数的性质：
（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．
通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的．同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性.
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；
2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；
3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．（难点）
如图所示，对于反比例函数y＝（k>
0），在其图象上任取一点P，过P点作PQ⊥x轴于Q点，并连接OP.
试着猜想△OPQ的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y＝（k≠0）中k值的几何意义．
反比例函数解析式中k的几何意义
如图所示，点A在反比例函数y＝的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．
先设点A的坐标，然后用点A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴xA·
yA＝k，∴S△AOC＝·
k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝.
过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|的一半．
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
反比例函数的图象和性质的综合运用
【类型一】利用反比例函数的性质比较大小
若M（－4，y1）、N（－2，y2）、P（2，y3）三点都在函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
∵k＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．∵M（－4，y1）、N（－2，y2）是双曲线y＝（k＜0）上的两点，∴y2>
y1>
0.∵2＞0，P（2，y3）在第四象限，∴y3＜0.故y1，y2，y3的大小关系为y2＞y1＞y3.故选B.
反比例函数的解析式是y＝（k≠0），当k＜0时，图象在第二、四象限，且在每个现象内y随x的增大而增大；
当k＞0，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】利用反比例函数计算图形的面积
如图，直线l和双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积是S1，△BOD的面积是S2，△POE的面积是S3，则（ ）
A．S1＜S2＜S3
B．S1＞S2＞S3
C．S1＝S2＞S3
D．S1＝S2＜S3
如图，∵点A与点B在双曲线y＝上，∴S1＝k，S2＝k，S1＝S2.∵点P在双曲线的上方，∴S3＞k，∴S1＝S2＜S3.故选D.
在反比例函数的图象上任选一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
【类型三】反比例函数与一次函数的交点问题
函数y＝的图象与直线y＝－x没有交点，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＜1
C．k＞－1D．k＜－1
直线y＝－x经过第二、四象限，要使两个函数没有交点，那么函数y＝的图象必须位于第一、三象限，则1－k＞0，即k＜1.故选B.
判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝没有交点．
【类型四】反比例函数与一次函数的综合问题
如图，已知A（－4，），B（－1，2）是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.
（1）根据图象直接回答：
在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标．
（1）观察函数图象得到当－4＜x＜－1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（2）先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后把A点或B点坐标代入y＝可计算出m的值；
（3）设出P点坐标，利用△PCA与△PDB的面积相等列方程求解，从而可确定P点坐标．
（1）当－4＜x＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（2）把A（－4，），B（－1，2）代入y＝kx＋b中得解得所以一次函数解析式为y＝x＋，把B（－1，2）代入y＝中得m＝－1×
2＝－2；
（3）设P点坐标为（t，t＋），∵△PCA和△PDB的面积相等，∴×
×
（t＋4）＝×
1×
（2－t－），即得t＝－，∴P点坐标为（－，）．
解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所包含的信息．本题也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
1．反比例函数中系数k的几何意义；
2．反比例函数图象上点的坐标特征；
3．反比例函数与一次函数的交点问题．
本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力．数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口．在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.
26.2实际问题与反比例函数
第1课时实际问题中的反比例函数
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．（难点）
小明和小华相约早晨一起骑自行车从A镇出发前往相距20km的B镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇．
假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？
探究点：
实际问题与反比例函数
【类型一】反比例函数在路程问题中的应用
王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟．
（1）速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（3）如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
（1）根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；
（2）把t＝15代入函数的解析式，即可求得速度；
（3）把v＝300代入函数解析式，即可求得时间．
（1）速度v与时间t之间是反比例函数关系，由题意可得v＝；
（2）把t＝15代入函数解析式，得v＝＝240.故他骑车的平均速度是240米/分；
（3）把v＝300代入函数解析式得＝300，解得t＝12.故他至少需要12分钟到达单位．
解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系．
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】反比例函数在工程问题中的应用
在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成的工程量x（m/天）的函数关系图象如图所示．
（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
（3）如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内（按30天计算）完成任务，那么每天至少要完成多少米？
（1）将点（24，50）代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；
（2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；
（3）工作量除以工作时间即可得到工作效率．
（1）设y＝.∵点（24，50）在其图象上，∴k＝24×
50＝1200，所求函数表达式为y＝；
（2）由图象可知共需开挖水渠24×
50＝1200（m），2台挖掘机需要工作1200÷
（2×
15）＝40（天）；
（3）1200÷
30＝40（m），故每天至少要完成40m.
解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．
【类型三】利用反比例函数解决利润问题
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x（元）与销售量y（张）之间有如下关系：
x（元）
3
5
6
y（张）
20
15
12
10
（1）猜测并确定y与x的函数关系式；
（2）当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？
（3）设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．
（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）代入x＝10求得y的值即可；
（3）首先要知道纯利润＝（日销售单价x－2）×
日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x.
（1）从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y＝（k为常数，k≠0），把点（3，20）代入得k＝60，∴y＝；
（2）当x＝10时，y＝＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；
（3）∵W＝（x－2）y＝60－，又∵x≤10，∴当x＝10时，W取最大值，W最大＝60－＝48（元）．
本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．
【类型四】反比例函数的综合应用
如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.
（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
（1）首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；
停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；
（2）把y＝12代入y＝4x＋4得x＝2，代入y＝得x＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12（分钟）．
（1）设加热停止后反比例函数表达式为y＝，∵y＝过（12，14），得k1＝12×
14＝168，则y＝；
当y＝28时，28＝，解得x＝6.设加热过程中一次函数表达式为y＝k2x＋b，由图象知y＝k2x＋b过点（0，4）与（6，28），∴解得∴y＝
（2）当y＝12时，y＝4x＋4，解得x＝2.由y＝，解得x＝14，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12（分钟）．
现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
1．反比例函数在路程问题中的应用；
2．反比例函数在工程问题中的应用；
3．利用反比例函数解决利润问题；
4．反比例函数与一次函数的综合应用．
本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.
第2课时其他学科中的反比例函数
1．能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型；
2．从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科的问题，建立函数模型解决实际问题．（难点）
问题：
某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成任务．
问题思考：
（1）请你解释他们这样做的道理；
（2）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？
反比例函数在其他学科中的应用
【类型一】反比例函数与电压、电流和电阻的综合
已知某电路的电压U（V），电流I（A）和电阻R（Ω）三者之间有关系式为U＝IR，且电路的电压U恒为6V.
（1）求出电流I关于电阻R的函数表达式；
（2）如果接入该电路的电阻为25Ω，则通过它的电流是多少？
（3）如图，怎样调整电阻箱R的阻值，可以使电路中的电流I增大？
若电流I＝0.4A，求电阻R的值．
（1）根据电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设出I＝（R≠0）后把U＝6V代入求得表达式即可；
（2）将R＝25Ω代入上题求得的函数关系式即可得电流的值；
（3）根据两个变量成反比例函数关系确定答案，然后代入0.4A求得R的值即可．
（1）∵某电路的电压U（V），电流I（A）和电阻R（Ω）三者之间有关系式U＝IR，∴I＝，代入U＝6V得I＝，∴电流I关于电阻R的函数表达式是I＝；
（2）∵当R＝25Ω时，I＝＝0.24A，∴电路的电阻为25Ω时，通过它的电流是0.24A；
（3）∵I＝，∴电流与电阻成反比例函数关系，∴要使电路中的电流I增大可以减小电阻．当I＝0.4A时，0.4＝，解得R＝15Ω.
明确电压、电流和电阻的关系是解决问题的关键．
【类型二】反比例函数与气体压强的综合
某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求出这个函数的解析式；
（2）当容器内的气体体积是0.6m3时，此时容器内的气压是多少千帕？
（3）当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少m3?
（1）设出反比例函数关系式，根据图象给出的点确定关系式；
（2）把V＝0.6m3代入函数关系式，求出p的值即可；
（3）因为当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，可列出不等式求解．
（1）设这个函数的表达式为p＝.根据图象可知其经过点（2，60），得60＝，解得k＝120.则p＝；
（2）当V＝0.6m3时，p＝＝200（kPa）；
（3）当p≤240kPa时，得≤240，解得V≥.所以为了安全起见，容器的体积应不小于m3.
根据反比例函数图象确定函数关系式以及知道变量的值求函数值或知道函数值的范围求自变量的范围是解决问题的关键．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
【类型三】反比例函数与杠杆知识的综合
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，小明利用此原理，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m.
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？
当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？
（2）若想使动力F不超过
（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
（1）根据“动力×
动力臂＝阻力×
阻力臂”，可得出F与l的函数关系式，将l＝1.5m代入可求出F；
（2）根据
（1）的答案，可得F≤200，解出l的最小值，即可得出动力臂至少要加长多少．
（1）Fl＝1200×
0.5＝600N·
m，则F＝.当l＝1.5m时，F＝＝400N；
（2）由题意得，F＝≤200，解得l≥3m，故至少要加长1.5m.
明确“动力×
阻力臂”是解题的关键．
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型四】反比例函数与功率知识的综合
某汽车的输出功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（m/s）与它所受的牵引力F（N）之间的函数关系如下图所示：
（1）这辆汽车的功率是多少？
请写出这一函数的表达式；
（2）当它所受牵引力为2400N时，汽车的速度为多少？
（3）如果限定汽车的速度不超过30m/s，则F在什么范围内？
（1）设v与F之间的函数关系式为v＝，把（3000，20）代入即可；
（2）当F＝1200N时，求出v即可；
（3）计算出v＝30m/s时的F值，F不小于这个值即可．
（1）设v与F之间的函数关系式为v＝，把（3000，20）代入v＝，得P＝60000，∴这辆汽车的功率是60000W.这一函数的表达式为v＝；
（2）将F＝2400N代入v＝，得v＝＝25（m/s），∴汽车的速度v＝3600×
25÷
1000＝90（km/h）；
（3）把v≤30代入v＝，得F≥2000（N），∴F≥2000N.
熟练掌握功率的计算公式是解决问题的关键．
1．反比例函数与电压、电流和电阻的综合；
2．反比例函数与气体压强的综合；
3．反比例函数与杠杆知识的综合；
4．反比例函数与功率知识的综合．
本节是在上一节的基础上，进一步学习与反比例函数有关的涉及其他学科的知识．尽量选用学生熟悉的实例进行教学，使学生从身边事物入手，真正体会数学知识来源于生活．注意要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的活动时间，不断引导学生利用数学知识解决实际问题.
第二十七章相似
27.1图形的相似
1．从生活中形状相同的图形
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