一元一次方程知识点、题型归纳总结Word文档格式.doc
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等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.
等式的性质
(1)用式子形式表示为:
如果a=b,那么a±
c=b±
c
等式的性质
(2):
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,
等式的性质
(2)用式子形式表示为:
如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b(c≠0),那么=
(三)、移项法则:
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.(例3)
(四)、去括号法则
1.括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.
2.括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.
(五)、解方程的一般步骤(例4)
1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2.去括号(按去括号法则和分配律)
3.移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)
4.合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)
5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=).
一.列一元一次方程解应用题的一般步骤
(1)审题:
弄清题意.
(2)找出等量关系:
找出能够表示本题含义的相等关系.(3)设出未知数,列出方程:
设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程:
解所列的方程,求出未知数的值.(5)检验,写答案:
检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.
二、一元一次方程的实际应用
1.和、差、倍、分问题:
增长量=原有量×
增长率现在量=原有量+增长量
(1)倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现.
(2)多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
例1:
兄弟二人今年分别为15岁和9岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍?
解:
设x年后,兄的年龄是弟的年龄的2倍,
则x年后兄的年龄是15+x,弟的年龄是9+x.
由题意,得2×
(9+x)=15+x
18+2x=15+x,移向得:
2x-x=15-18
∴x=-3
答:
3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍.
(点拨:
-3年的意义,并不是没有意义,而是指以今年为起点前的3年,是与3年后具有相反意义的量)
1.一个数的3倍比它的2倍多10,若设这个数为x,可得到方程__________.
2.用一根长80厘米的绳子围成一个长方形,且这个长方形的长比宽多10厘米,则这个长方形的长和宽各是_______、________.面积是_______.
2.等积变形问题:
(1)“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变;
②原料体积=成品体积.
(2常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式V=底面积×
高=S·
h=
②长方体的体积V=长×
宽×
高=abc
例2将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米,300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水,倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中,正好倒满,求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米,≈3.14).
1.一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水,现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中,当玻璃杯装满水时,试管中的水的高度下降了____㎝.
3.工程问题:
工程问题:
工作量=工作效率×
工作时间
完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
例3.一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
解:
1.甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟,甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少1m,若5天完工,两队每天各挖几米?
4.行程问题:
路程=速度×
时间时间=路程÷
速度速度=路程÷
时间
(1)相遇问题:
快行距+慢行距=原距
(2)追及问题:
快行距-慢行距=原距
(3)航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.
例4.甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
例4.1.已知轮船逆水前进的速度为m千米/时,水流速度为2千米/时,则轮船在静水中的速度是__________。
1.A、B两地相距30千米,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。
已知甲比乙每小时多走1千米,经过2.5小时两人相遇,求甲、乙两人的速度?
5.商品销售问题
(1)商品利润率=×
100%
(2)商品销售额=商品销售价×
商品销售量
(3)商品的销售利润=(销售价-成本价)×
销售量
(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.有关关系式:
商品售价=商品标价×
折扣率
(5)商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×
折扣率—商品进价
例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;
按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?
1.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
6.储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵利息=本金×
利率×
期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×
税率(20%)
(3)利润=×
100%
例6.国家规定存款利息的纳税方法是:
20%,储户取款时由银行代扣代收.若银行1年定期储蓄的年利率为1.98%,某储户取出1年到期的本金及利息时,扣除了利息税31.68元,则银行向该储户支付的现金是多少元?
1.某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年。
半年后共得本息和252.7元,求银行半年期的年利率是多少?
(不计利息税)
7.数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:
一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.
十位数可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)
(2)数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;
偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;
奇数用2n+1或2n—1表示.
例7.一个两位数,十位上的数字与个位上数字和是8,将十位上数字与个位上数字对调,得到新数比原数的2倍多l0.求原来的两位数.
8.劳力调配问题:
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:
(1)既有调入又有调出;
(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变
例1.在一次美化校园活动中,先安排31人去拔草,18人去植树,后又是增派20人去支援他们,结果拔草的人数是植树人数的2倍,问支援拔草和植树的人分别有多少人?
9.配套问题
点评:
产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:
(1)“二合一”问题:
如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍,即;
(2)“三合一”问题:
如果甲产品a件,乙产品b件,丙产品c件配成一套,那么各种产品数应满足的相等关系式是:
.
例1.某车间有28个工人,生产某种螺栓和螺母,已知一个螺栓的两头各配一个螺母组成一套零件。
如果每人每天生产12个螺栓或18个螺母。
安排多少个工人生产螺栓,多少个工人生产螺母,才能使这一天生产的螺栓和螺母正好配套?
3.某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套