七年级上册一元一次方程知识点归纳.docx

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金子塔七年级数学上册

第三章一元一次方程知识点归纳

一、一元一次方程

1.方程：

含有未知数的等式叫做方程。

2.方程的解：

使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

3.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程可以化为ax+b=0（a≠0）的形式，分母中不能含有未知数。

4.求方程的解叫做解方程

二、等式的性质（解方程的依据）

1.等式两边都加上或者减去同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。

如果a=b，那么a±c=b±c。

2.等式两边都乘或者除以同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。

如果a=b，那么ac=bc，ac=bc（c≠0）

拓展：

①对称性：

如果a=b，那么b=a，即等式的左右互换位置，所得的结果仍是等式；②传递性：

如果a=b，b=c，那么a=c（等量代换）

三、一元一次方程的解法

1.移项：

把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

移项要变号。

2.解形如mx+p=nx+q的一元一次方程

（1）移项：

根据等式性质，将含未知数的项移到方程的一边（通常是等号左边），常数项移到方程的另一边（通常是等号右边）

mx-nx=q-p

（2）合并同类项：

化方程为ax=b（a，b为已知数，a≠0）的形式

（m-n）x=q-p

（3）未知数系数化为1：

根据等式性质，将方程从ax=b的形式化为x=ba的形式

x=q-pm-n

（4）算出q-pm-n的值，即为方程的解

2.解含有括号的方程：

（1）根据去括号法则去括号；

（2）移项；（3）化成标准形式ax=b；（4）系数化为1.

注意：

（1）去括号时要看清括号前面的符号，用去括号法则去括号；

（2）括号前面的系数要与括号里面的每一项相乘，不能漏乘任何一项。

3.去分母解一元一次方程

（1）去分母：

在方程两边同乘各分母的最小公倍数。

（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1

四、一元一次方程模型的应用（难点）

1.一般步骤：

（1）审题；

（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）验算；（6）作答。

弄清题目中“几倍、多、少、差、几分之几”等关键词体现的等量关系。

解方程模型应用的几种类型

一元一次方程应用题的解题关键就是：

先找出等量关系，根据基本量设未知数。

一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。

解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。

找等量关系：

①从题目中的关键语句入手寻找等量关系；②利用某些基本公式寻找等量关系；③从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。

主要的应用模型有以下几类：

不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。

（一）行程问题

行程问题中有三个基本量：

路程、时间、速度。

等量关系为：

①路程=速度×时间；

②速度=路程/时间；

③时间=路程/速度

1.航行问题

①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；

②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。

由此可得到航行问题中一个重要等量关系：

顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。

2.相遇问题

A走的路程+B走的路程=两地之间的距离

3.追击问题

同时不同地出发：

A走的路程-B走的路程=被追赶的路程（A、B出发时相距的距离）

4.环形问题

（1）同向行驶，如果A速度较快，则A走的路程-B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）

（2）反向行驶，A走的路程+B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）

（二）工程问题

1.工程问题的基本量有：

工作量、工作效率、工作时间。

关系式为：

工作量=工作效率×工作时间；

工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。

2.工程问题中，在工作总量不明的情况下一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。

3.常见的相等关系有两种：

①如果以工作量作相等关系，A工作量+B工作量=总工作量。

②如果以时间作相等关系，对于同一工作：

A工作时间-B工作时间=时间差

一般情况下，合作的工作效率=A工作效率+B工作效率

（三）销售计费问题

销售类问题主要体现为三大类：

①销售利润问题、②存贷问题。

这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。

（1）价格费用问题

费用问题中的基本量：

费用（总价）、单价、数量

基本关系式有

费用（总价）=单价×数量

分段计费：

总费用=第一阶段单价×数量+第二阶段单价×数量+……

（2）销售利润问题

利润问题中有四个基本量：

成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

基本关系式有：

利润＝销售价（收入）-成本（进价）；

成本（进价）＝销售价（收入）-利润；

利润率＝利润成本（进价）；

利润＝成本（进价）×利润率。

在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。

打折问题中常以进价不变作相等关系。

打折：

n折即表示标价的n/10，如7折为70%

（3）存贷问题（利息、利润问题）

存贷问题中有本金、利息、利率、本息等基本量。

其关系式有：

①利息＝本金×利率×期数；

②本息和（本利）＝本金+利息

（四）溶液配比问题

溶液配比问题中有四个基本量：

溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。

其关系式为：

溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；

浓度=溶质溶液×100%＝溶质溶质+溶剂×100%；

纯度（含量）=纯净物混合物×100%＝纯净物纯净物+杂质×100%。

由①②可得到：

溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）。

（五）数字问题

一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：

任何数=∑（数位上的数字×位权）（54=5×10+4）

如两位数ab=10a+b；三位数abc=100a+10b+c

（六）比例问题

比例问题在生活中比较常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。

比例问题中主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。

调配问题也属于比例问题，其关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。

在调配问题中主要考虑“总量不变”。

（七）设中间变量的问题

一些应用题中，设直接未知数很难列出方程求解，而根据题中条件设间接未知数，却较容易列出方程，再通过中间未知数求出结果。