二次函数综合动点与三角形问题方法与解析Word格式.docx
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解得：
.
c=-3抛物线解析式为：
y=x2+2x-3.
2
（2）令y=0得：
0=x+2x-3,
xi=l，X2=-3,
则C点坐标为：
（-3,0）,.AC=4,
故可得S^Abc=2aC>
OB=丄>
4>
3=6.
」22
（3）抛物线的对称轴为：
x=-1,假设存在M（-1,m）满足题意：
讨论：
1当MA=AB时，
昨±
旋，
二Mi（-1,航），M2（-1,-竝）；
2当MB=BA时，「..[•—J」
M3=0,M4=-6,
•M3（-1,0）,M4（-1,-6）,
3当MB=MA时,-,/V:
:
m=-1,
•M5（-1,-1）,
答：
共存在五个点M1（-1,V6）,M2（-1,-后），M3（-1,0）,M4（-1,-6）,M5（-1,-1）使4ABM为等腰三角形.
点评：
本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性
质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解.
㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】
例二.（2013鞍山）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax+bx+c的图象交于y轴上的一点B,二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且0C=2.
（1）求二次函数y=ax+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax+bx+c的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标.
考点：
二次函数综合题.
分析：
（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A,B两点坐标，二次
22
函数y=ax+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且0C=2.得出可设二次函数y=ax+bx+c=a
（x-2）2,进而求出即可；
（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可.
（1）•••y=0.5x+2交x轴于点A,
•••0=0.5x+2,
/•x=-4,
与y轴交于点B,
•/x=0,
•y=2
•B点坐标为：
（0,2）,
•A（-4,0）,B（0,2）,
•••二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且0C=2
•可设二次函数y=a（x-2）2,
把B（0,2）代入得：
a=0.5
•二次函数的解析式：
y=0.5x2-2x+2;
（2）（I）当B为直角顶点时，过B作BPi丄AD交x轴于Pi点由
Rt△AOBsRt△BOPi•—
BOPL0
•=
•,
2OPi
得：
OPi=i,
•Pi（i,0）,
（n）作P2D丄BD,连接BP2,
将y=0.5x+2与y=0.5x2-2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：
（5,4.5）,
贝yAD='
——
当D为直角顶点时
•••/DAP2=ZBAO,/BOA=/ADP2,
•△ABOAP2D,
•「=.「’
2^54
1一=•匸,
AP2=11.25,
则OP2=11.25-4=7.25,
故P2点坐标为（7.25,0）;
（川）当P为直角顶点时，过点D作DE丄x轴于点E,设P3（a,0）
则由Rt△OBP3SRt△EP3D
得:
0P3OB
•二?
4.5~5-a
•••方程无解，
•••点P3不存在，
•••点P的坐标为：
P1（1,0）和P2（7.25,0）.
此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解.
㈢【抛物线上的点能否构成相似三角形】
例三.（2013?
恩施州）如图所示，直线I:
y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C,抛物线过点B、C和D（3,0）.
（1）求直线BD和抛物线的解析式.
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与厶MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标.
（3）在抛物线上是否存在点P,使S^pbd=6?
若存在，求出点P的坐标；
若不存在，说明理由.
y*7
t/
*
a!
o
1!
考
占：
八、、♦
分
析:
（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；
（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与厶MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形•如答图1所示，符合条件的点N有3个；
（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据pbd=6的已知条件，列出一元二次方程求解.
解解：
（1）v直线|:
y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B,
•••A（-1,0）,B（0,3）;
•••把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C,「.C（1,0）.设直线BD的解析式为：
y=kx+b,
•••点B（0,3）,D（3,0）在直线BD上，
•；
3k+b=0，
解得k=-1,b=3,
•直线BD的解析式为：
y=-x+3.
设抛物线的解析式为：
y=a（x-1）（x-3）,
•••点B（0,3）在抛物线上，
•3=ax（-1）x（-3）,
a=1,
•抛物线的解析式为：
y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3.
（2）抛物线的解析式为：
y=x-4x+3=（x-2）-1,
•••抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,-1）.
直线BD:
y=-x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1,
•M（2,1）.
设对称轴与x轴交点为点F,贝UCF=FD=MN=1,
•△MCD为等腰直角三角形.
•••以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，
•△BND为等腰直角三角形.
如答图1所示：
（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O,
二Ni（0,0）;
（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，
■/OB=OD=ON2=3,
二N2（-3,0）;
（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，
■/OB=OD=ON3=3,
•••N3（0,-3）.
•••满足条件的点N坐标为：
（0,0）,（-3,0）或（0，-3）.
（3）假设存在点P,使S^pbd=6，设点P坐标为（m,n）.
（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：
过点P作PE丄x轴于点E,则PE=n,DE=m-3.
Sapbd=S梯形peob-bod-sapde==（3+n）?
m-二>
3X3-=（m-3）?
n=6,
sss
化简得：
m+n=7①，
•••P（m,n）在抛物线上，
•n=m-4m+3,
代入①式整理得：
m-3m-4=0,
m1=4,m2=-1,
•-n1=3,n2=8,
•-P1（4,3）,P2（-1,8）；
（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：
过点P作PE丄y轴于点E,则PE=m,OE=-n,BE=3-n.
S^pbd=S梯形peod+Sabod-Sapbe==（3+m）?
（-n）+二X3X3-—（3-n）?
m=6,
222
m+n=-1②，
•n=m—4m+3,
代入②式整理得：
m2-3m+4=0,△=-7v0,此方程无解.
故此时点P不存在.
综上所述，在抛物线上存在点P,使Sapbd=6，点P的坐标为（4,3）或（-1,8）.
点本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定
评：
与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思
想•第
（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解.
三、形成训练
1.（2013?
湘西州）如图，已知抛物线y=-—x+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交
于点C,若已知A点的坐标为A（-2,0）.
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC与厶COB是否相似？
并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点0,使厶ACQ为等腰三角形？
若不存在，求出符合条件的Q点坐标；
若不存在，请说明理由.
（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=-上求出对称轴
2a
方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0,可求出点C坐标；
令y=0,可求出点B坐标•再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）根据鱼兰，/AOC-/BOC-90°
可以判定△AOCCOB；
OC~OB
（4）本问为存在型问题.若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解.
解:
（1）T抛物线y=-丄x2+bx+4的图象经过点A（-2,0）,
4
12•••-7X（-2）+bX（-2）+4=0,
b二,
••抛物线解析式为y=-—x+—x+4,
42，
匸..1231、225
又-y=『+产4=$（x3）+—,
•••对称轴方程为：
x=3.
12Fi
（2）在y=-—x+亏x+4中，令x=0，得y=4,•C（0,4）；
令y=0，即-丄x2+卫x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：
x=8或x=-2,42
•A（-2,0）,B（8,0）.
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B（8,0）,C（0,4）的坐标分别代入解析式，得：
业+Z0
（口，
解得k=—,b=4,
•••直线BC的解析式为：
y=・_x+4.
（3）可判定△AOCs\cob成立.理由如下：
在△AOC与厶COB中，
•/OA=2,OC=4,OB=8,
mr
又•••/AOC=/BOC=90°
•△AOCCOB.
（4）•••抛物线的对称轴方程为：
x=3,
可设点Q（3,t）,则可求得：
AC"
显二十=:
AQ=7s2+t^^+t2，
CQ=-「；
.i=.--_：
「—
i）当AQ=CQ时，
有■■/,■!
.■■：
「=i.•丿I-t
25+t=t-8t+16+9,
解得t=0,
•-Qi（3,0）；
ii）当AC=AQ时,
有匕〉"
，
t=-5,此方程无实数根，
•此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，
有「「-!
〕••二
整理得：
t-8t+5=0,
t=4土—，
•••点Q坐标为：
Q2（3,4+d）,Q3（3,4-d）.
综上所述，存在点Q,使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：
Qi（3,0）,Q2（3,4+Vi!
）,Q3（3,4-VH）.
本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股
定理、等腰三角形的判定等知识点.难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形△ACQ
可能有多种情形，需要分类讨论.
112
2:
已知：
直线yx1与y轴交于A,与x轴交于D，抛物线yxbxc与直线交
于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点
A、B、C三点的坐标；
（2）证明△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
224
4、如图，已知抛物线yxX的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,抛
33
物线的对称轴与x轴交于点D.点M从0点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P,交BC于Q
（1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC勺面积为S,求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.
（3）在线段BC上是否存在点Q,使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？
若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.
5、（09年成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x•1）2•c（a0）与x轴交于A
B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC勺函数表达式为y=kx-3,
与x轴的交点为N,且COZBCO=
10
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以NP、C为顶点的三角形是以NC为一条直角
边的直角三角形？
若存在，求出点P的坐标：
若不存在，请说明理由；
（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线
段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？
向下最多可平移多少个单位长
度？
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