小学数学奥数基础教程三年级目30讲全经典文档格式.docx
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8＝4×
6（两个数之积）
=1×
2×
12＝2×
6=…（三个数之积）
6＝2×
3=…（四个数之积）
例1下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？
（1）□+5＝13-6；
（2）28-○＝15＋7；
（3）3×
△=54；
（4）☆÷
3＝87；
（5）56÷
*＝7。
解：
（1）由加法运算规则知，□=13-6-5＝2；
（2）由减法运算规则知，○＝28-（15＋7）＝6；
（3）由乘法运算规则知，△＝54÷
3＝18；
（4）由除法运算规则知，☆=87×
3＝261；
（5）由除法运算规则知，*＝56÷
7＝8。
例2下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？
（1）□+□+□=48；
（2）○＋○＋6＝21-○；
（3）5×
△-18÷
6＝12；
（4）6×
3-45÷
☆＝13。
（1）□表示一个数，根据乘法的意义知，
□+□+□=□×
3，
故□=48÷
3＝16。
（2）先把左端（○＋○＋6）看成一个数，就有
（○＋○＋6）＋○＝21，
○×
3＝21-6，
○＝15÷
3＝5。
（3）把5×
△，18÷
6分别看成一个数，得到
5×
△=12＋18÷
6，
△=15，
△=15÷
5＝3。
（4）把6×
3，45÷
☆分别看成一个数，得到
45÷
☆＝6×
3-13，
☆＝5，
☆＝45÷
5＝9。
例3
（1）满足58＜12×
□＜71的整数□等于几？
（2）180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？
试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。
180=□×
□×
□。
（3）若数□，△满足
□×
△=48和□÷
△=3，
则□，△各等于多少？
分析与解：
（1）因为
58÷
12＝4……10，71÷
12＝5……11，
并且□为整数，所以，只有□=5才满足原式。
（2）拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如
180＝1×
4×
5×
90＝1×
3×
30＝…
但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如
180＝2×
9＝2×
6＝…
若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。
按从小到大的次序排列只有下面一种：
6。
所以填的四个数字依次为2，3，5，6。
（3）首先，由□÷
△=3知，□＞△，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有
48＝48×
1＝24×
2＝16×
3＝12×
4＝8×
其中，只有48＝12×
4中，12÷
4=3，因此
□=12，△=4。
这道题还可以这样解：
由□÷
△=3知，□=△×
3。
把□×
△=48中的□换成△×
3，就有
（△×
3）×
△＝48，
于是得到△×
△=48÷
因为16＝4×
4，所以△=4。
再把□=△×
3中的△换成4，就有
□=△×
3=4×
3=12。
这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。
下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。
例4在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：
（1）4444＝24；
（2）55555=6。
（1）因为4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“×
”。
4＝16，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法：
4×
4＋4＋4＝24；
4＋4×
4＋4＝24；
4＋4＋4×
4＝24。
（2）因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个“÷
”，有如下填法：
5÷
5+5-5+5＝6；
5＋5÷
5＋5-5＝6；
5＋5×
5÷
5=6；
5＝6。
由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解。
这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。
例5在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：
823＝33。
首先考察右端“33”，它有四种填法：
3+3＝6；
3-3＝0；
3×
3＝9；
3÷
3=1。
再考察左端“823”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶数，3的前面只能填“×
经试算，只有两种符合题意的填法：
8-2＋3＝3×
3；
8÷
2-3＝3÷
填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。
练习2
1.在下列各式中，□分别代表什么数？
□+16＝35；
47-□=12；
□-3＝15；
□=36；
□÷
4=15；
84÷
□=4。
2.在下列各式中，□，○，△，☆各代表什么数？
（□+350）÷
3=200；
（54-○）×
4＝0；
360-△×
7＝10；
4×
9-☆÷
5=1。
3.在下列各式中，□，○，△各代表什么数？
150-□-□=□；
○＝○＋○；
△×
9＋2×
△=22。
4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？
试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的□里：
120＝□×
5.若数□，△同时满足
△=36和□-△=5，
6.在两数中间添加运算符号，使下列等式成立：
（1）55555＝3；
（2）1234＝1。
7.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：
12□4□4=10□3。
8.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：
123□45□67□89＝100；
123□45□67□8□9＝100；
123□4□5□67□89＝100；
123□4□5□6□7□8□9＝100；
12□3□4□5□67□8□9＝100；
1□23□4□56□7□8□9＝100；
12□3□4□5□6□7□89＝100。
答案与提示
1.略。
2.□=250，○=54，△=50，☆=175。
3.□=50，○=0或2，△=2。
4.1×
8或1×
6或2×
5。
5.□=9，△=4。
6.
（1）5-5÷
5-5÷
5=3；
（2）1×
2＋3-4=1。
7.12÷
4＋4=10-3或12＋4÷
4=10＋3。
8.123-45-67＋89＝100；
123＋45－67＋8－9＝100；
123＋4－5＋67－89＝100；
123－4－5－6－7＋8－9＝100；
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100；
1＋23－4＋56＋7＋8＋9=100；
12-3-4＋5-6＋7＋89＝100。
这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。
解加、减法数字谜问题的基本功，在于掌握好上一讲中介绍的运算规则
（1）
（2）及其推演的变形规则，另外还要掌握数的加、减的“拆分”。
关键是通过综合观察、分析，找出解题的“突破口”。
题目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。
这需要通过不断的“学”和“练”，逐步积累知识和经验，总结提高解题能力。
例1在右边的竖式中，A，B，C，D各代表什么数字？
显然，C=5，D=1（因两个数
字之和只能进一位）。
由于A＋4＋1即A＋5的个位数为3，且必进一位（因为4＞3），所以A＋5=13，从而A＝13-5=8。
同理，由7＋B＋1=12，即B＋8＝12，得到B＝
12-8＝4。
故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。
例2求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和：
（1）由于和的个位数字是9，两个加数的个位数字之和不大于9＋9＝18，所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。
（这是“突破口”）
再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是14。
故这两个加数的四个数字之和是9＋14=23。
（2）由于和的最高两位数是19，而任何两个一位数相加的和都不超过18，因此，两个加数的个位数相加后必进一位。
（这是“突破口”，与
（1）不同）
这样，两个加数的个位数字相加之和是15，十位数字相加之和是18。
所求的两个加数的四个数字之和是15＋18＝33。
注意：
（1）
（2）两题虽然题型相同，但两题的“突破口”不同。
（1）是从和的个位着手分析，
（2）是从和的最高两位着手分析。
例3在下面的竖式中，A，B，C，D，E各代表什么数？
解减法竖式数字谜，与解加法竖式数字谜的分析方法一样，所不同的是“减法”。
首先，从个位减起（因已知差的个位是5）。
4＜5，要使差的个位为5，必须退位，于是，由14-D＝5知，D=14-5＝9。
再考察十位数字相减：
由B-1-0＜9知，也要在百位上退位，于是有10＋B-1-0＝9，从而B＝0。
百位减法中，显然E=9。
千位减法中，由10＋A-1-3＝7知，A＝1。
万位减法中，由9-1-C＝0知，C＝8。
所以，A＝1，B＝0，C＝8，D＝9，E＝9。
例4在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。
请把这个文字式写成符合题意的数字式。
例3是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。
由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知，“炮”＝1。
被减数与减数的百位数相同，其相减又是退位相减，所以，“马”＝9。
至此，我们已得到下式：
由上式知，个位上的运算也是退位减法，由11-“车”=9得到“车”＝2。
因此，符合题意的数字式为：
例5在右边的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于多少？
由（4×
谜）的个位数是0知，“谜”＝0或5。
当“谜”＝0时，（3×
式）的个位数是0，推知“式”＝0，与“谜”≠“式”矛盾。
当“谜”＝5时，个位向十位进2。
由（3×
式+2）的个位数是0知，“式”＝6，且十位要向百位进2。
由（2×
填+2）的个位数是0，且不能向千位进2知，“填”＝4。
最后推知，“巧”＝1。
所以“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“谜”＝5。
练习3
1.在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立：
2.下列各竖式中，□里的数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的各数字的和：
3.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：
4.下式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
这个竖式的和是多少？
5.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：
答案与提示练习3
1.
（1）764＋265=1029；
（2）981＋959=1940；
（3）99＋903＝1002；
（4）98＋97＋923＝1118。
2.
（1）28；
（2）75。
3.
（1）23004-18501＝4503；
（2）1056-989＝67；
（3）24883-16789=8094；
（4）9123-7684=1439。
4.987654321。
5.提示：
先解上层数谜，再解下层数谜。
本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。
掌握好乘、除法的基本运算规则（第2讲的公式（3）（4）及推演出的变形式子）是解乘、除法竖式谜的基础。
根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。
例1在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。
由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。
因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9（这是问题的“突破口”），被乘数的个位数是5。
因为7×
9＜70＜8×
9，所以，被乘数的百位数字只能是7。
至此，求出被乘数是785，乘数是9（见右上式）。
例2在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。
由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析。
乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由
可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9。
到底是哪一个呢？
我们只能逐一进行试算：
（1）若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5（因4+5=9）。
这样一来，被乘数的十位上就无数可填了。
这说明乘数不能是6。
（2）若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4。
与
（1）分析相同，为使积的十位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4。
得到符合题意的填法如右式。
（3）若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5。
为使积的十位是9，被乘数的十位只能填3或8。
当被乘数的十位填3时，得到符合题意的填法如右式。
当被乘数的十位填8时，积的最高两位为3，不合题意。
（4）若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6。
为使积的十位是9，被乘数的十位只能填7。
而此时，积的最高两位是3
，不合题意。
综上知，符合题意的填法有上面两种。
除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。
例3在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立。
由48÷
8=6即8×
6=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填4，8。
又显然，被除数的十位填1。
由
1□=商的个位×
8
知，两位数1□能被8除尽，只有16÷
8=2，推知被除数的个位填6，商的个位填2。
填法如右上式。
例3是从最高位数入手分析而得出解的。
例4在右边除法竖式的□中填入合适的数字。
使竖式成立。
从已知的几个数入手分析。
首先，由于余数是5，推知除数＞5，且被除数个位填5。
由于商4时是除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于3×
4=12，8×
4=32，推知，除数必为3或8。
由于已经知道除数＞5，故除数=8。
（这是关键！
）
从8×
4=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0。
从除数为8，第一步除法又出现了4，8×
8=64，8×
3=24，这说明商的千位只能填8或3。
试算知，8和3都可以。
所以，此题有下面两种填法。
练习4
1.在下列各竖式的□里填上合适的数：
2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时，乘法竖式成立？
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字，它
们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？
4.在下列各除法竖式的□里填上合适的数，使竖式成立：
5.在下式的□里填上合适的数。
1.
（1）7865×
7＝55055；
（2）2379×
8=19032或7379×
8=59032。
2.“我”＝5，“爱”=1，“数”=7，“学”=2。
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表8，7，9，1，2。
4.
（1）5607×
7=801；
（2）822÷
3=274。
5.
这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如，
（1）1，2，3，4，5，6，…
（2）1，2，4，8，16，32；
（3）1，0，0，1，0，0，1，…
（4）1，1，2，3，5，8，13。
一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。
如，数列
（1）的第3项是3，数列
（2）的第3项是4。
一般地，我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个，如数列
（2）（4），也可以是无限多个，如数列
（1）（3）。
许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。
数列
（1）是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：
后项=前项+1，或第n项an＝n。
数列
（2）的规律是：
后项=前项×
2，或第n项
数列（3）的规律是：
“1，0，0”周而复始地出现。
数列（4）的规律是：
从第三项起，每项等于它前面两项的和，即
a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，
a6=3+5=8，a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类：
第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。
例如数列
（1）
（2）。
第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。
例如数列（3）（4）。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。
这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。
例1找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）4，7，10，13，（），…
（2）84，72，60，（），（）；
（3）2，6，18，（），（），…
（4）625，125，25，（），（）；
（5）1，4，9，16，（），…
（6）2，6，12，20，（），（），…
通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现
（1）的规律是：
前项+3=后项。
所以应填16。
（2）的规律是：
前项-12=后项。
所以应填48，36。
（3）的规律是：
前项×
3=后项。
所以应填54，162。
（4）的规律是：
前项÷
5=后项。
所以应填5，1。
（5）的规律是：
数列各项依次为
1=1×
1，4=2×
2，9=3×
3，16=4×
4，
所以应填5×
5=25。
（6）的规律是：
2=1×
2，6=2×
3，12=3×
4，20=4×
5，
所以，应填5×
6=30，6×
7=42。
说明：
本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。
各数列的第n项分别可以表示为
（1）an＝3n+1；
（2）an＝96-12n；
（3）an＝2×
3n-1；
（4）an＝55-n；
（5）an＝n2；
（6）an＝n（n+1）。
这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列
（1）的第100项等于3×
100+1=301。
本例中，数列
（2）（4）只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。
例2找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）1，2，2，3，3，4，（），（）；
（2）（），（），10，5，12，6，14，7；
（3）3，7，10，17，27，（）；
（4）1，2，2，4，8，32，（）。
通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
（1）把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：
前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。
（2）把后面已知的六个数分成三组：
10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。
（3）这个数列的规律是：
前面两项的和等于后面一项，故应填（17+27=）44。
（4）这个数列的规律是：
前面两项的乘积等于后面一项，故应填（8×
32=）256。
例3找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）18，20，24，30，（）；
（2）11，12，14，18，26，（）；
（3）2，5，11，23，47，（），（）。
（1）因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明（后项-前项）组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故
a5=8+30=38。
（2）12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16。
因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。
（3）观察数列前、后项的关系，后项=前项×
2+1，所以
a6=2a5+1＝2×
47+1＝95，
a7＝2a6+1＝2×
95+1=191。
例4找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：
（1）12，15，17，30，22，45，（），（）；
（2）2，8，5，6，8，4，（），（）。
（1）数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17，22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；
数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。
故应填27，60。
（2）如
（1）分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；
由偶数项组成的新数列8，6，4，…中，4后面的数应为2。
故应填11，2。
练习5
按其规律在下列各数列的（）内填数。
1.56，49，42，35，（）。
2.11，15，19，23，（），…
3.3，6，12，24，（）。
4.2，3，5，9，17，（），…
5.1，3，4，7，11，（）。
6.1，3，7，1
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