第五节数列的综合应用Word下载.docx

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＝[（1＋p）5－1－p]．

[答案]　

（1）B　

（2）ap＋2a　[（1＋p）5－1－p]

[解题技法]

1．解决数列与数学文化相交汇问题的关键

2．解答数列应用题需过好“四关”

[题组训练]

1．（2019·

贵阳适应性考试）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：

“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：

已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？

（“钱”是古代的一种重量单位）在这个问题中，丙所得为（　　）

A.钱B.钱

C.钱D．1钱

解析：

选D　因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得为1钱，故选D.

2．（2018·

安徽知名示范高中联考）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：

今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：

“我羊食半马．”马主曰：

“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？

此问题的译文是：

今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：

“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：

“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？

已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是（　　）

A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝

B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝

C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝

D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝

选D　由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝b，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝.故选D.

3．（2019·

江西金溪一中月考）据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是（　　）

A．11B．13

C．15D．17

选B　设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a（1＋q），a2＝a1＝a（1＋q），…，a5＝a（1＋2）×

（1＋1）×

×

＝a≈12.7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.

考点二　等差数列与等比数列的综合计算

[典例]　（2018·

北京高考）设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求ea1＋ea2＋…＋ean.

[解]　

（1）设{an}的公差为d.

因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.

又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋（n－1）d＝nln2.

（2）因为ea1＝eln2＝2，＝ean－an－1＝eln2＝2，

所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以ea1＋ea2＋…＋ean＝＝2n＋1－2.

[解题技法]　等差数列与等比数列综合计算的策略

（1）将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．

（2）一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇒{aan}（a>

0且a≠1）为等比数列；

{an}为正项等比数列⇒{logaan}（a>

0且a≠1）为等差数列．

1．已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝（　　）

A．95　　　　　　　　　　B．90

C．85D．80

选B　由a1，a2，a5成等比数列，得a＝a1·

a5.又等差数列{an}的公差为5，所以（a1＋5）2＝a1（a1＋4×

5），解得a1＝.所以S6＝6×

＋×

5＝90.故选B.

2．已知数列{an}是公差为整数的等差数列，前n项和为Sn，且a1＋a5＋2＝0,2S1,3S2,8S3成等比数列，则数列的前10项和为________．

设等差数列{an}的公差为d，

因为a1＋a5＋2＝0，所以2a1＋4d＋2＝0，a1＝－1－2d.

因为2S1,3S2,8S3成等比数列，所以16S1S3＝9S，

即16（－1－2d）（－3－3d）＝9（－2－3d）2.

因为d为整数，所以解得d＝－2，则a1＝3，

所以an＝3－2（n－1）＝5－2n.

则＝＝，

所以数列的前10项和为×

＋…＋×

＝×

＝－.

答案：

－

武汉调研）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.

（1）若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；

（2）若T3＝13，求Sn.

解：

（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

则an＝－1＋（n－1）d，bn＝qn－1.

由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①

由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②

联立①②，解得q＝2或q＝0（舍去），

因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.

（2）∵T3＝b1（1＋q＋q2），

∴1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，

由a2＋b2＝3得d＝4－q，∴d＝1或d＝8.

由Sn＝na1＋n（n－1）d，

得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n.

考点三　数列与函数、不等式的综合问题

[典例]　设函数f（x）＝＋，正项数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：

＋＋＋…＋<

2.

[解]　

（1）因为an＝f，

所以an＝＋an－1，n∈N*，且n≥2，

所以数列{an}是以1为首项，为公差的等差数列，

所以an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）＝.

（2）证明：

由

（1）可知＝＝4，

所以＋＋＋…＋＝4＝4＝2－<

1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略

（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．

（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．

注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．

2．数列与不等式综合问题的求解策略

解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；

若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn＋3）（n∈N*）在函数y＝3×

2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an（n∈N*），其前n项和为Tn，则下列结论正确的是（　　）

A．Sn＝2Tn　　　　　　　　B．Tn＝2bn＋1

C．Tn>

anD．Tn<

bn＋1

选D　因为点（n，Sn＋3）在函数y＝3×

2x的图象上，

所以Sn＋3＝3×

2n，即Sn＝3×

2n－3.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×

2n－3－（3×

2n－1－3）＝3×

2n－1，

又当n＝1时，a1＝S1＝3，

所以an＝3×

2n－1.

设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×

可得b1＝1，q＝2，

所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.

由等比数列前n项和公式可得Tn＝2n－1.

结合选项可知，只有D正确．

2．（2019·

昆明适应性检测）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝4n，若不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为________．

因为an＝4n，所以Sn＝2n2＋2n，不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N*恒成立，即λ≤，又＝2n＋＋2≥10（当且仅当n＝2时取等号），所以实数λ的取值范围为（－∞，10]．

（－∞，10]

A级——保大分专练

昆明高三摸底调研测试）已知等差数列{an}的公差为2，且a4是a2与a8的等比中项，则an＝（　　）

A．－2n　　　　　　　　　B．2n

C．2n－1D．2n＋1

选B　由题意得等差数列{an}的公差d＝2，所以an＝a1＋2（n－1），因为a4是a2与a8的等比中项，所以a＝a2a8，即（a1＋6）2＝（a1＋2）（a1＋14），解得a1＝2，所以an＝2n，故选B.

2．设y＝f（x）是一次函数，若f（0）＝1，且f

（1），f（4），f（13）成等比数列，则f

（2）＋f（4）＋…＋f（2n）等于（　　）

A．n（2n＋3）B．n（n＋4）

C．2n（2n＋3）D．2n（n＋4）

选A　由题意可设f（x）＝kx＋1（k≠0），则（4k＋1）2＝（k＋1）（13k＋1），解得k＝2，f

（2）＋f（4）＋…＋f（2n）＝（2×

2＋1）＋（2×

4＋1）＋…＋（2×

2n＋1）＝n（2n＋3）．

3．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则的值为（　　）

A．2B．3

C.D．4

选A　设等差数列{an}的公差为d（d≠0）．∵a1，a3，a4成等比数列，∴a1a4＝a，即a1（a1＋3d）＝（a1＋2d）2，解得a1＝－4d.∴＝＝＝2.故选A.

4．（2018·

郑州一中入学测试）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：

“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（　　）

A．96里B．48里

C．192里D．24里

选A　依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为的等比数列，记为{an}，其前6项和等于378，于是有＝378，解得a1＝192，因此a2＝a1＝96，即该人第二天走了96里，选A.

5．定义：

（n∈N*）为n个正数P1，P2，…，Pn的“均倒数”．若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为（　　）

A．an＝2n－1B．an＝4n－1

C．an＝4n－3D．an＝4n－5

选C　∵＝，∴＝2n－1，∴a1＋a2＋…＋an＝（2n－1）n，a1＋a2＋…＋an－1＝（2n－3）（n－1）（n≥2），∴当n≥2时，an＝（2n－1）n－（2n－3）（n－1）＝4n－3，又a1＝1，∴an＝4n－3.

6．（2019·

河南六市联考）若正项递增等比数列{an}满足1＋a2－a4＋λ（a3－a5）＝0（λ∈R），则a6＋λa7的最小值为（　　）

A．－2B．－4

C．2D．4

选D　设等比数列{an}的公比为q，q≠0，因为数列{an}为正项递增等比数列，所以a4－a2>

0且q>

1.

因为1＋a2－a4＋λ（a3－a5）＝0，所以1＋λq＝，

所以a6＋λa7＝a6（1＋λq）＝＝＝＝q2＋1＋＝q2－1＋＋2≥2＋2＝4，即a6＋λa7的最小值为4，故选D.

7．某公司去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为________．

每年的产值构成以a（1＋10%）＝1.1a为首项，1.1为公比的等比数列，所以从今年起到第5年的总产值S5＝＝11（1.15－1）a.

11（1.15－1）a

8．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________.

因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·

＝4，解得a2＝8，故a8＝8×

＝2.

2

9．已知等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n（n≥2），函数f（x）＝2x，bn＝log4f（an），则数列{bn}的前n项和为________．

∵等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n（n≥2），∴3an＝3n，即an＝n.又∵函数f（x）＝2x，∴f（an）＝2n，∴b1＋b2＋…＋bn＝log4[f（a1）·

f（a2）·

…·

f（an）]＝log4（2×

22×

…×

2n）＝log421＋2＋…＋n＝×

（1＋2＋…＋n）＝.

10．（2018·

沈阳质检）在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1（n≥2），则an＝________.

法一：

因为an＋1＝3an－2an－1（n≥2），所以＝2（n≥2），所以an＋1－an＝（a2－a1）2n－1＝2n－1（n≥2），又a2－a1＝1，所以an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－3，…，a2－a1＝1，累加，得an＝2n－1（n∈N*）．

法二：

因为an＋1＝3an－2an－1（n≥2），所以an＋1－2an＝an－2an－1，得an＋1－2an＝an－2an－1＝an－1－2an－2＝…＝a2－2a1＝0，即an＝2an－1（n≥2），所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1（n∈N*）．

2n－1

11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为.

（1）若S4＝，求a1.

（2）若a1＝2，cn＝an＋nb，且c2，c4，c5成等差数列，求b.

（1）∵公比q＝，S4＝，

∴＝，

∴a1＝－，解得a1＝.

（2）∵a1＝2，公比为，∴a2＝3，a4＝，a5＝.

又∵cn＝an＋nb，

∴c2＝a2＋2b＝＋2b，c4＝a4＋4b＝＋4b，c5＝a5＋5b＝＋5b.

∵c2，c4，c5成等差数列，

∴2＝＋2b＋＋5b，解得b＝－.

12．设数列{an}的前n项和为Sn，点，n∈N*均在函数y＝x的图象上．