数列综合应用(放缩法).doc
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数列综合应用
（1）
————用放缩法证明与数列和有关的不等式
一、备考要点
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，
是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生
综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决
这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：
一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．
二、典例讲解
1．先求和后放缩
例1．正数数列的前项的和，满足
，试求：
（1）数列的通项公式；
（2）设，数列的前项的和
为，求证：
2.先放缩再求和
①．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,
且.
（1）求证：
；
（2）求证：
②．放缩后成等比数列，再求和
例3．
（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：
；
（2）等比数列{an}中，，前n项的和为An，
且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}
前n项的和为Bn，证明：
Bn＜．
③．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列满足：
，
．求证：
④．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，
若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），
则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的
总数称为该排列的逆序数.记排列
的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的
逆序数．
（1）求a4、a5，并写出an的表达式；
（2）令，证明：
，n=1,2,….
高考真题再现：
1.（06浙江卷）已知函数，数列
（＞0）的第一项＝1，以后各项按如下方式取定：
曲线在处的切线与经过
（0，0）和（，）两点的直线平行（如图）
求证：
当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）。
2.（06福建卷）已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）证明：
3.（07浙江）已知数列中的相邻两项
是关于的方程的
两个根，且．
（I）求，，，；
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，
，
求证：
．
4.（07湖北）已知为正整数，
（I）用数学归纳法证明：
当时，
；
（II）对于，已知，
求证，；
（III）求出满足等式
的所有正整数．
5.（08辽宁）在数列中,,
且成等差数列,成等比数列.
⑴求及,由此猜测的通项
公式,并证明你的结论;
⑵证明:
.
数列综合应用
（1）
————用放缩法证明与数列和有关的不等式
一、备考要点
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，
是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生
综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决
这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：
一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．
二、典例讲解
1．先求和后放缩
例1．正数数列的前项的和，满足
，试求：
（1）数列的通项公式；
（2）设，数列的前项的和
为，求证：
2.先放缩再求和
①．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,
且.
（1）求证：
；
（2）求证：
②．放缩后成等比数列，再求和
例3．
（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：
；
（2）等比数列{an}中，，前n项的和为An，
且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}
前n项的和为Bn，证明：
Bn＜．
③．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列满足：
，
．求证：
④．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，
若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），
则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的
总数称为该排列的逆序数.记排列
的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的
逆序数．
（1）求a4、a5，并写出an的表达式；
（2）令，证明：
，n=1,2,….
高考真题再现：
1.（06浙江卷）已知函数，数列
（＞0）的第一项＝1，以后各项按如下方式取定：
曲线在处的切线与经过
（0，0）和（，）两点的直线平行（如图）
求证：
当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）。
2.（06福建卷）已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）证明：
3.（07浙江）已知数列中的相邻两项
是关于的方程的
两个根，且．
（I）求，，，；
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，
，
求证：
．
4.（07湖北）已知为正整数，
（I）用数学归纳法证明：
当时，
；
（II）对于，已知，
求证，；
（III）求出满足等式
的所有正整数．
5.（08辽宁）在数列中,,
且成等差数列,成等比数列.
⑴求及,由此猜测的通项
公式,并证明你的结论;
⑵证明:
.
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