九年级数学教案圆和圆的位置关系Word文档格式.docx

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3．通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力．

教学重点：

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系．

教学难点：

两圆位置关系及判定．

（

一）复习、引出问题

1．复习：

直线和圆有几种位置关系?

各是怎样定义的?

（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的

2．引出问题：

平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?

二）观察、分类，得出概念

1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：

外离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）这五种位置关系，准确给出描述性定义：

（1）

外离

：

两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．（图

（1））

（2）

外切

两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．（图

（2））

（3）

相交

两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．（图（3））

（4）

内切

两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．（图（4））

（5）

内含

两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））．两圆同心是两圆内含的一个特例．（图（6））

2、归纳：

（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点．

（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一

（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：

相离（外离和内含）；

相交；

相切（外切和内切）．

教师组织学生归纳，并进一步考虑：

从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；

有一个公共点则相切；

有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?

可能不可能有三个公共点?

结论：

在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．

（三）分析、研究

1、相切两圆的性质．

让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．

这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

2、两圆位置关系的数量特征．

设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．（图形略）

两圆外切d＝R+r；

两圆内切d＝R-r（R＞r）;

两圆外离d＞R+r；

两圆内含d＜R-r（R＞r）;

两圆相交R-r＜d＜R+r．

说明：

注重“数形结合”思想的教学．

（四）应用、练习

例1

如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米

求：

（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?

（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?

解：

（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则

PA=PO-OA

∴PA=3cm．

（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则

PB=PO+OB

∴PB=13cm．

例2

已知：

如图，△ABC中，∠C＝90°

，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作．

求证：

⊙O与⊙B相外切．

证明：

连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，

∴⊙O的半径，且O是AC的中点

∴，∵∠C=90°

且BC=8，

∴，

∵⊙O的半径，⊙B的半径，

∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切．

练习（P138）

（五）小结

知识：

①两圆的五种位置关系：

外离、外切、相交、内切、内含；

②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；

③两圆相切时切点在连心线上的性质．

能力：

观察、分析、分类、数形结合等能力．

思想方法：

分类思想、数形结合思想．

（六）作业

教材P151中习题A组2，3，4题．

第二课时相交两圆的性质

教学目标

1、掌握相交两圆的性质定理；

2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；

3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；

4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美．

教学重点

相交两圆的性质及应用．

教学难点

应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线．

教学活动设计

一）图形的对称美

相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢?

二）观察、猜想、证明

1、观察：

同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．

2、猜想：

“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．

3、证明：

对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；

对B、C层在教师引导下完成．

已知

⊙O1和⊙O2相交于A，B．

求证

Q1O2是AB的垂直平分线．

分析

要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．

证明

连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，

∴O1点在AB的垂直平分线上．

又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上．

因此O1O2是AB的垂直平分线．

也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：

∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴．

∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上．

∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，

∴连心线O1O2是AB的垂直平分线．

定理：

相交两圆的连心线垂直平分公共弦

．

注意：

相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．

三）应用、反思

、

已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。

求∠OlAB的度数．

分析：

由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，

又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由

∠OlAO2＝60°

，推得∠OlAB＝30°

⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆

∴OlA=O1O2=AO2

∴∠O1AO2=60°

，

又AB⊥O1O2

∴∠OlAB=30°

、已知，如图，A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。

过点A的直线MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。

AM=AN．

过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC=AM，AD=AN．

∵OlP=O2P，∴AD=AM，∴AM=AN．

例3

如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F．

EC∥DF

连结AB

∵在⊙O2中∠F=∠CAB，

在⊙Ol中∠CAB=∠E，

∴∠F=∠E，∴EC∥DF．

反思：

在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解．

四）小结

相交两圆的性质：

相交两圆的连心线垂直平分公共弦．该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据．

能力与方法：

①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；

②圆的对称性的应用．

（五）作业

教材P152习题A组7、8、9题；

B组1题．

探究活动

问题1

已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切．设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn．

（1）当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系；

（2）当n=3时，判断Cl+C2+C3与C的大小关系；

（3）当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?

证明你的结论．

提示：

假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得

（1）Cl+C2=C；

（2）Cl+C2+C3=C；

（3）Cl十C2十…十Cn=C．

问题2

有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？

1、实验：

用硬币作初步实验；

结果硬币一共转了4转．

2、分析：

当你把动圆无滑动地沿着圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了．在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长

的弧线旋转的时候，一共走过的不是转；

而是转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了转