普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国I卷解析版Word下载.docx

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二6a〔d=48

（2ai+7d=24①

联立求得1-

阳+15d=48②

①3-②得21-15d=24

6d=24

d=4

选C

5.函数fx在」：

，•：

单调递减，且为奇函数.若f1]=-1，则满足-Kfx-2<

1的x的取值范围是（）

A.1-2,2丨B.1-1,11C.0,4]D.1,3丨

【答案】D

【解析】因为fx为奇函数，所以f-1二-f1=1,

于是-1<

fx-2<

1等价于f1<

f-1|

又fx在-：

亠「1单调递减

.-1<

x-2<

.1<

故选D

6.1*孑1*x展开式中x2的系数为

A.15B.20C.30D.35

【答案】C.

i16616

【解析】・1+-TJ+x）=1叮+x）f1+x）

IX丿x

6^5

对1x6的x2项系数为c6=——=15

对-T^+x）的x2项系数为c6=15,

二x2的系数为1575=30

故选C

某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为

【解析】由三视图可画出立体图

该立体图平面内只有两个相同的梯形的面

S弟42-2=6

S全梯=62=12

A1000和n=n■1

A-1000和n=n2

Aw1000和n=n■1

1000和n=n2

【答案】

因为要求A大于1000时输出，且框图中在

否”时输出

”中不能输入A1000

排除A、B

又要求n为偶数，且n初始值为0,

”中n依次加2可保证其为偶

得到曲线C2

{2“

【解析】G：

y=cosx,C2：

y=sin]2x=

3丿

首先曲线G、C2统一为一三角函数名，可将C1：

y=cosx用诱导公式处理.

2xsin2x亠

I3丿I3丿

y=sin

注意「的系数，在右平移需将，=2提到括号外面，这时XI平移至x3,

菽，即再向左平移$

根据“左加右减”原则，“x；

”到“x；

”需加上

10.已知F为抛物线C:

y=4x的交点，过F作两条互相垂直线12与C交于D,

【解析】

E两点，ab|-|de的最小值为（）

B.14

C.12

AK2垂直x轴

l1,I2，直线h与C交于

D.10

A、B两点，直

AFcost-GF||AK1（几何关系）易知AK1!

AF（抛物线特性）

GP=PI-

「2I2丿

.AFcosvP=AF

同理AF二

1—cos8

..2P.AB和「os=z

1-cosu

，BFJ

sin2t1

又DE与AB垂直,

即DE的倾斜角为一-二

DE三—sin2；

而y=4x，即P=2.

cos2r

•••ABDE=2P研

sin2cos4

sin2cos2t1

cosrsin2vcos?

二

-sin22r

-2>

16，当r取等号

sin24

即AB|-|DE最小值为16，故选A

11.设x,y,z为正数，且2x=3y=5z，则（）

2x<

3yc5zb.5zc2x<

取对数：

A.【答案】【答案】

3y：

5z：

D.3yc2xc5z

xln2=yIn3=1n5.

xln3

yln2

2x3y

xln2=zln5

则―亜二

zIn22

2x：

5z3y：

2x:

5z，故选D

12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，

数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知数列

1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是接下来的三项式

和为2的整数幕.

440

为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解

A.【答案】【解析】

设首项为第

26,21,22，依次类推，求满足如下条件的最小整数那么该款软件的激活码是（

B.330

1组，接下来两项为第2组,

设第n组的项数为n，则n组的项数和为

）

C.220

20，接下来的两项是20，21，在

N100且该数列的前N项

D.110

再接下来三项为第3组，以此类推.

n1n

由题，N100，令100Tn>

14且n・N*，即N出现在第13组之后

12n

第n组的和为匕兰=2n_1

1-2

n组总共的和为_n=2n一2_n

1—2

若要使前N项和为2的整数幕，贝UN_——项的和2^1应与<

「n互为相反数

即2k_1=2nkN*,n>

k=log2n3

tn=29,k=5

“29xf1+29\

则N5=440

故选A

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a,b的夹角为60,a=2,b=1，则a+2b=.

【答案】2.3

片彳2专专2^2呻|呵42212

【解析】a+2b|=（a+2b）2=d+2a2bcos60°

+（2b）=2+22X2沃？

+2=4+4+4=12•••：

2^=12=23

x2y_1

14.设x,y满足约束条件£

2x+yK—1，则z=3x-2y的最小值为.

x—y_0

【答案】-5

不等式组2x•y一-1表示的平面区域如图所示

x-y_0

由z=3x-2y得y=3x-Z,

22'

求z的最小值，即求直线y二-|的纵截距的最大值当直线丫二彳乂-兰过图中点A时，纵截距最大

J2xy=_1由x2y=1

解得A点坐标为（-1,1），此时z=3（一1）一21=-5

15.已知双曲线C:

-y2,（a0,b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲b

线C的一条渐近线交于M,N两点，若NMAN=60。

，则C的离心率为.

【答案】U

16.如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,D、E、F为

元O上的点，△DBC,△ECA,△FAB分别是一BC,CA,AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开

后，分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB，使得D,E,F重合，得到三棱

【答案】4J5

【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，OD_BC

OG3bc，即OG的长度与BC的长度或成正比

设OG=x，贝VBC=2「3x,DG=5_x

三棱锥的高

h=.DG_OG虫25_10xx_x=*25_10x

Saabc—233x•-=3、,3x

则VABC

h=3x25_10x=3.25x4_10x5

4553

fx二25x-10x,x三©

）,fx二100x-50x

fx0，即x4-2x3：

0,X：

fx<

f2=80

则

则V<

、3.80=45

三、解答题：

共都必须作答。

第

（一）必考题：

共60分。

70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17-21题为必考题，每个试题考生

17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知△ABC的面积为

3sinA

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周长.

【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用

a21

（1）•/△ABC面积S=—.且S=—bcsinA

3sinA2

-bcsinA

3sinA2

232

abcsinA

t由正弦定理得sin2AsinBsinCsin2A

2，

由sinA严0得sinBsinC.

（2）由

（1）得sinBsinC=-cosBcosC

3，

•/ABC二n

.cosA=cosn—B-C=—cosBC二sinBsinC-cosBcosC*

A=60,

由余弦定理得

J31

sinA,cosA=一

=b2c2—be=9①

由正弦定理得

=—sinB,c=—asinCsinA'

sinA

…bC2.

sinA

由①②得b-e=]33

•••a•b•e=3•33，即△ABC周长为333

sinBsinC=8②

18.（12分）

如图，

在四棱锥

/CDP=90

证明：

平面PAB_平面PAD;

若PA=PD二AB二DC,/APD=90，求二面角

（1）证明：

•••.BAP=/CDP=90

•PA_AB,PD_CD

又•••ABIICD,.PD_AB

又•••PD门PA=P,PD、PA二平面PAD

•AB_平面PAD，又AB二平面PAB

•平面PAB_平面PAD

（2）取AD中点O,BC中点E，连接PO,OE

•/AB二CD

•••四边形ABCD为平行四边形

•OE：

由

（1）知，

（1）

（2）【解析】

AB_平面PAD

•OE_平面PAD，又PO、AD平面PAD

•OE_PO,OE_AD

又•••PA二PD,•PO_AD

•PO、OE、AD两两垂直

•••以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

O_xyz

设PA=2,•D-2,0,0、B2,2,0、P0,0,2、。

[一；

；

2,2,0,

PD--.2,0,-2、PB=[®

2,-2、BC--2.2,0,0

n=x,y,z为平面PBC的法向量

”―（

nPB=02x2y-.2z=0

得

nBC=0-2.2x=0

y=1，则z=、、显,x=0,可得平面PBC的一个法向量

•/.APD=90,•PD_PA又知AB_平面PAD,PD二平面PAD

•PD_AB，又PA「AB=A

•••PD_平面PAB

即PD是平面PAB的一个法向量，PD=（t/2,0,—心2）

I彳-

cosPD,n

PDn__3

PDn2、33

由图知二面角A_PB_C为钝角，所以它的余弦值为__2

19.（12分）

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量

其尺寸（单位：

cm）•根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N：

=,；

「2.

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在：

二「3二，匚之外的零件数，求PX>

1及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在二，」•士之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：

（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

_162'

1.■■■16-

经计算得Xi=9.97,s瓦（Xi_x）=」一臣Xi2—16M2*0.212，其中X为抽取的第i个零7¥

16y'

‘丫16（二丿

件的尺寸，i=1,2，⑴,16.

用样本平均数X作为"

的估计值?

用样本标准差s作为二的估计值■:

利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除？

-3；

之外的数据，用剩下的数据估计’和匚（精确到

0.01）.

附：

若随机变量Z服从正态分布N：

A,¥

则P：

［L「3二：

Z•；

」-=0.9974.

0.997416：

0.9592,.0.008：

0.09.

（1）由题可知尺寸落在"

-3二，=【3二之内的概率为0.9974，落在-3二,J之外的概

率为0.0026.

0016

PX=0i=c061—0.99740.9974160.9592

PX_1］=1-PX=01-0.9592=0.0408

由题可知X~B16,0.0026

.EX严160.0026=0.0416

（2）（i）尺寸落在卩-3二,."

3二之外的概率为0.0026,

由正态分布知尺寸落在［丄-3二，二之外为小概率事件，

因此上述监控生产过程的方法合理.

（ii）

.二「3；

丁=9.97-30.212=9.334

J3；

「-9.9730.212=10.606

二一3二-9.334,10.606

‘9.22「-9.334,10.606,需对当天的生产过程检查.

因此剔除9.22

剔除数据之后：

宀15叫10.02.

222222

=[9.95_10.02|-,10.12_10.02|-（9.96-10.029.96_10.02|-,10.0^10.02

22222

9.92—10.029.98-10.02-10.04—10.0210.26-10.029.91-10.02

222221

10.13—10.02]亠|10.02—10.02j亠110.04—10.02j亠门0.05—10.02j「9.95—10.02]

0.008

二=0.0080.09

20.（12分）

22（

已知椭圆C:

冷+占=1（a>

0），四点P（1,1）,B（0,1）,R—1

—

p£

中恰有三

a2b2（

2丿

I2丿

点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过巳点且与C相交于A、B两点，若直线&

A与直线F2B的斜率的和为-1，证明:

1过定点.

（1）根据椭圆对称性，必过F3、P4

又P4横坐标为1,椭圆必不过P1，所以过P2,P3,P4三点

冷代入椭圆方程得

8kb2-8k_8kb28kb

1+4k

4b2—4

14k2

=b--2k-1，此时厶--64k，存在k使得=;

-0成立.

•••直线l的方程为y二kx-2k—1所以I过定点2，一1.

21.（12分）

已知函数fx=ae2xa一2ex-x.

（1）讨论fx的单调性；

（2）若fx有两个零点，求a的取值范围.

（1）由于fx=ae2x亠［a-2ex-x

故fx=2ae2xa-2ex-1二aex-12ex1

1当a冬0时，aex_1：

0,2ex10.从而fx:

0恒成立.fx在R上单调递减

2当a0时，令fx=0，从而aex一1=0，得x=-Ina.

（—,—Ina）

-Ina

（—Ina,）

（x）

f（x）

单调减

极小值

单调增

综上，当a岂0时，f（x）在R上单调递减；

当a0时，f（x）在（-：

，-1na）上单调递减，在（-1na,；

）上单调递增

（2）由

（1）知，

当a岂0时，fx在R上单调减，故fx在R上至多一个零点，不满足条件.

当a0时，fmin=f—Ina=1Ina.

令ga=1Ina.

111

令ga=1Inaa0，则g'

a20.从而ga在0,•二上单调增，而

aaa

g1=0.故当0:

a.1时，ga：

0.当a=1时ga=0.当a1时ga0

1工

若a1，则fmin=1-•Ina=ga0，故fx0恒成立，从而fx无零点，不满足条件.

若a=1，贝yfmin=1Ina=0，故fx=0仅有一个实根x=-Ina=0，不满足条件.

1aa2

若0：

a：

1，则fmin-1Ina<

0，注意到Tna0.f^=-10.

aeee

『3）1

故fx在-1,-1na上有一个实根，而又In--1In；

=Tna.

fin（a-i）

个实根.

-Ina,In!

3-1上有

IVa丿丿

又fX在na上单调减，在—Ina,•:

单调增，故fx在R上至多两个实根.

C（3H

又fx在：

-1，-Ina及|Ina，出一1丿J上均至少有一个实数根，故fX在R上恰有两个实

根.

综上，0:

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、

22.［选修4-4：

坐标系与参考方程］

23题中任选一题作答。

如果多做,

则按所做的第一题计分。

x=3cosr,

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（v为参数）

』=sin日,

，直线I的参数方程为

4-x=a4t,

\（t为参数）.

y=1-t,

（1）若a=—1，求C与I的交点坐标；

（2）若C上的点到I距离的最大值为,17，求a.

（1）a=_1时，直线I的方程为x，4y-3“.

曲线C的标准方程是—y2=1,

x亠4y-3=0

联立方程x22，解得:

6y「

x=3

y=0

或丿2f，

y』

（

则C与I交点坐标是3,0和—，V2525丿

（2）直线I一般式方程是x•4y-4「a=0.

设曲线C上点p3cosv,sinv.

2124

则p到I距离丄论卄響一4^」5sin（日二）-4"

|，其中ta^.3.

V17J174

依题意得：

dmax二17，解得a=T6或a=8

23.［选修4-5：

不等式选讲］已知函数f_-x2ax4,gx=x1x-1.

（1）当a=1时，求不等式fx>

gx的解集；

（2）若不等式fx>

gx的解集包含〔-1,11,求a的取值范围.

（1）当a=1时，fX=_xx4，是开口向下，对称轴

x的二次函数.

2x,x1gx=x1_1=2,-1<

-2x,x：

当X.（1,；

）时，令_x2x^2x，解得

17-1

gx在1,•：

上单调递增，fx在1,•：

上单调递减

（J171

•••此时f（x尸g（x）解集为1,*.

当x：

=[1,1]时，gX=2,fx>

f-1=2.

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