高等数学基本公式概念和方法文档格式.docx
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即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。
若上述三条至少一条不满足，则x0是函数的间段点。
（4）．间断点的分类：
设x0是函数的间断点
若左、右极限均存在，则x0称为第一类间断点。
（要知道分类）
若左、右极限至少有一个是无穷大，则x0称为第二类间断点。
（了解即可）
（5）．重要公式：
条件lim（x）0（极限过程不限）（必考）
*常用等价无穷小公式：
（当
x
1、x）（必考）2、
3、1
4、
5、
6、
7、
8、
*重要极限：
*公式：
2．求极限的方法：
先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）
（１）定式：
直接得结论（即常数Ｃ、不存在：
无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。
（２）不定式：
（Ａ）0型：
消去零因子或用公式《１》。
0
（Ｂ）型：
约去因子，使之变成定式。
（Ｃ）1型：
用公式《２》。
（Ｄ）0型：
取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。
（Ｅ）型：
通分或有理化，使之转化成其它类型。
注：
《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。
但要满足条件。
三．导数（必考）
（一）基本概念
1
2．导数的几何意义：
f（x0）就是曲线yf（x）在点（x0,y0）处切线的斜率k，其切线的方程是：
３．函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。
3．（uv）uvuv；
（cu）cu
9．微分：
dyydx
附：
函数在一点处几个概念之间的关系图
四．中值定理与导数应用
1．拉格朗日中值定理：
条件：
函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）（a’、b’是a、b的导数
）（必考！
）
无穷小量等价替换和罗比达法则只能在乘法中用，其中罗比达法则只有当因式极限为零或者无穷的时候用
罗比达法则未定型式的变换：
（变成或者的形式）
通过这些变换可以使更多代数式实用罗比达法则
3．单调性：
若yf（x）在（a,b）内f（x）0f（x）在（a,b）内单调递增。
若yf（x）在（a,b）内f（x）0f（x）在（a,b）内单调递减。
a）极值存在的必要条件：
若yf（x）在x0处可导且取极值f（x0）0（x0为驻点）b）极值存在的充分条件：
设函数在a点连续，则：
在a点左右函数的导数由正变负a点为函数的极大值点。
在a点左右函数的导数由负变正a点为函数的极小值点。
c）判断曲线凹凸的方法：
若在（a,b）内f（x）&
gt;
0，则曲线yf（x）在（a,b）内上凹。
如yx...ye等。
lt;
0，则曲线yf（x）在（a,b）内下凹。
如y
４．曲线拐点的求法：
2x1...ylnx等。
x
设a为函数yf（x）的连续点，若函数yf（x）在a点处二阶导数变号，则曲线上的点（a,f（a））为曲线的拐点。
５．求渐近线的方法：
（必考）
若limf（x），则x=a为曲线yf（x）的铅直渐近线。
xa
若limf（x）b，则y=b为曲线yf（x）的水平渐近线。
x
６．极值应用：
i.画图、设变量x，并将其余变量用x表示。
ii.建立函数关系，并写出定义域。
iii.求函数的一阶导数，找出驻点。
iv.说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。
五．不定积分
1．原函数：
在某区间内，若在任一点处均有F（x）f（x），则称F（x）是f（x）的一个原函数。
2．若f（x）有原函数F（x），则F（x）+C表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。
3．若f（x）有原函数F（x），则f（x）的不定积分可表示为
4．不定积分的几何意义
f（x）dxF（x）C。
f（x）dxF（x）C表示在x点处切线斜率均为f（x）的一族曲线。
（7）sec2xdxtanxC（8）csc2xdxcotx
C
6.积分性质
（1）kf（x）dxkf（x）dx
（2）[f（x）g（x）]dx
（3）[f（x）dx]f（x）（4）f（x）dxg
（x）dxf（x）dxf（x）C
（必考）f[（x）]（x）dxf（u）du。
2222设u（x）的导数连续，则（３）
（４）第二换元法：
主要是消去被积函数中的xa,ax等因子，见P286。
（不考）dxuv分部积分法：
uvuvdx或udvuv（必考）vdu，要用算式。
选u的顺序：
反、对、幂、指、三。
（５）简单的有理函数积分：
拆项法、大除法和待定系数法。
六．定积分
1．定积分特点：
（1）定积分是一个数，与积分变量无关。
（2）被积函数连续是可积的充分条件。
（3）被积函数有界是可积的必要条件。
2．定积分的几何意义
b
（1）设f（x）0，则
梯形面积。
f（x）dx表示由曲线yf（x）直线y=0;
x=a;
x=b所围成的曲边a
（2）设f（x）0，则
梯形的负面积。
（3）若yf（x）的符号不定，则
af（x）dx表示面积的代数和。
由此得到对称区间上的a
奇函数积分为0，即
3．主要性质
bbaf（x）dx0，其中函数f（x）是奇函数。
（1）kf（x）dxkf（x）dx。
aa
bbb
（2）[f（x）g（x）]dx
a
bcf（x）dxg（x）dx。
aab
（3）f（x）dxf（x）dxf（x）dx。
aac
（x）
4．变上限定积分的求导法：
[
5．牛顿---莱布尼兹公式f（t）dt]af[（x）]（x）。
设yf（x）在区间[a,b]上连续，F（x）是fx的一个原函数
结论：
f（x）dx=F（b）--F（a）
bb6.广义积分设fx在区间[a，）上连续，曲b&
a，则
在区间（，b）上类似定义。
7．几个结论
abbaf（x）dxlimf（x）dxaab
f（x）dx0，0dx0f（x）dxf（x）dxkdxk（ba）
aaaba
aa0
设fx是偶函数：
a
af（x）dx2f（x）dx2f（x）dx0a
设fx是奇函数：
af（x）dx0。
８．
（1）
（2）
（3）
（4）求定积分的方法利用几何意义（画出对应的图形）。
直接用牛顿---莱布尼兹公式（结合性质和几个结论）。
先求对应的不定积分，在用牛顿---莱布尼兹公式（注意函数的连续性）。
用定积分的换元法和分部法（换元必须换限）。
不定积分表（基本积分）
9．定积分应用
（1）求平面图形的面积
先画出这块面积，用阴影表示出。
用定积分表示面积，再求出其值。
（2）求平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积
bd
2绕x轴：
v=ydx。
绕y轴：
v=xdy
ac2
七．微分方程。
1．可分离变量：
dydyf（x）g（y）f（x）dxdxg（y）
p（x）dxp（x）dx2．一阶线性的：
yp（x）yq（x）ye[q（x）edxC]
附录1：
等价写法
几种等价写法
11nnnnnx.......xx...........lnx（lnx）......sinx（sinx）.xdydlogexlnx.....log10xlgx.......yf（x）f（x）dxdx1
xxxmnmnxm
......nxmnx
附录2：
公式
一、乘法与因式分解公式
1.1
1.2
1.4anbn（ab）（an1an2ban3b2abn2bn1）（n为奇数）
二、三角不等式
2.1
2.2
2.3
2.4
2.6
三、一元二次方程
的解
3.2（韦达定理）根与系数的关系：
四、某些数列的前n项和
4.2
4.3
4.7
五、二项式展开公式
六、三角函数公式
1两角和公式
6.1
6.2
2倍角公式
6.5sin22sincos
6.6
3半角公式
4和差化积
5万能公式2tan
1:
sin2:
cos
21tan2sec
对数：
2sec22
logaa1......loga10
logax
logalnx（换底公式）.......logaxylogaxlogaylnaxlogaxlogay........logaxyylogaxy
七、导数与微分
1求导与微分法则
2导数及微分公式
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