北师大版七下《三角形》拔高试题.docx

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北师大版七下《三角形》拔高试题

北师大版七下《三角形》拔高试题

一．选择题（共8小题）

1．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

2．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）

A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了

C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可

3．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（　　）

A．4B．5C．1D．2

5如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．

下列判断正确的有（　　）

①△ABE≌△DCE；②BE=EC；③BE⊥EC；④EC=

DE．

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：

①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

7．下列命题：

①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

8．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对

二．填空题（共5小题）

9．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为　　　　　　．

10．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积　　　　　　．

11．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是　　　　　　．

12．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　　　　　　度．

13．如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中A点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，请你把它分出来．（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．

　　　　　　．

三．解答题（共11小题）

14．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为　　　　　　，线段CF、BD的数量关系为　　　　　　；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

15．已知：

△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：

AF⊥AQ．

16．问题背景：

如图1：

在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　　　　　　；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=

∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由.

17．将两块大小不一的透明的等腰直角三角板ABC和DCE如图所示摆放，直角顶点C重合，三角板DCE的一个顶点D在三角板ABC的斜边BA的延长线上，连结BE．

（1）求证：

BE=AD；

（2）求证：

BE⊥AD．

18．如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．

（1）求证：

△AOB≌△DOC；

（2）求∠AEO的度数．

19．

（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD．

求证：

EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

20．已知：

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：

AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

21．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？

若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？

请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？

（不需证明）

（3）根据

（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】根据全等三角形的判定分别求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可．

【解答】解：

以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，

共3+0+1=4个，

故选D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．

2．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）

A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了

C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可

【分析】②④虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带①、④可以用“角边角”确定三角形；带③、④也可以用“角边角”确定三角形．

【解答】解：

带③、④可以用“角边角”确定三角形，

带①、④可以用“角边角”确定三角形，

带②④可以延长还原出原三角形，

故选D．

【点评】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．

3．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=

∠ABC，∠A1CD=

∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的

，根据此规律即可得解．

【解答】解：

∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，

∴∠A1BC=

∠ABC，∠A1CD=

∠ACD，

又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，

∴

（∠A+∠ABC）=

∠ABC+∠A1，

∴∠A1=

∠A，

∵∠A1=α．

同理理可得∠A2=

∠A1=

α

则∠A2013=

．

故选D．

【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．

4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（　　）

A．4B．5C．1D．2

【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC﹣EH，即AE﹣EH即可求出HC的长．

【解答】解：

∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠ADB=∠AEH=90°，

∵∠AHE=∠CHD，

∴∠BAD=∠BCE，

∵在△HEA和△BEC中，

，

∴△HEA≌△BEC（AAS），

∴AE=EC=4，

则CH=EC﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．

故选C

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

5．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．

下列判断正确的有（　　）

①△ABE≌△DCE；②BE=EC；③BE⊥EC；④EC=

DE．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCE全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC，然后推出∠BEC=∠AED，从而判断出③小题正确；根据等腰直角三角形斜边等于直角边的

倍，用DE表示出AD，然后得到AB、AC，再根据勾股定理用DE与EC表示出BC，整理即可得解，从而判断出④小题正确．

【解答】解：

∵AC=2AB，点D是AC的中点，

∴CD=

AC=AB，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=DE，

∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°﹣45°=135°，

∴∠BAE=∠CDE，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（SAS），故①小题正确；

∴BE=EC，∠AEB=∠DEC，故②小题正确；

∵∠AEB+∠BED=90°，

∴∠DEC+∠BED=90°，

∴BE⊥EC，故③小题正确；

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴AD=

DE，

∵AC=2AB，点D是AC的中点，

∴AB=

DE，AC=2

DE，

在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=（

DE）2+（2

DE）2=10DE2，

∵BE=EC，BE⊥EC，

∴BC2=BE2+EC2=2EC2，

∴2EC2=10DE2，

解得EC=

DE，故④小题正确，

综上所述，判断正确的有①②③④共4个．

故选D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE是等腰直角三角形推出AE=DE，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．

6．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：

①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AE=CE；④BE=DE；⑤AD=CB．其中符合要求有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．

【解答】解：

延长DA、BC使它们相交于点F．

∵∠DAB=∠BCD，∠AED=∠BEC，

∴∠B=∠D，

又∵∠F=∠F，AB=CD，

∴△FAB≌△FCD

∴AF=FC，FD=FB，

∴AD=BC

∴△ADE≌△CBE①对

同理可得②对

∵AE=CE，AB=CD

∴DE=BE

又∵∠AED=∠BEC

∴△ADE≌△CBE（SAS）③对

同理可得④对

连接BD，∵AD=CB，AB=CD，BD=BD，

∴△ADB≌△CBD，

∴∠A=∠C，

∴△ADE≌△CBE

故选D．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、AAS、ASA．难点在于添加辅助线来构造三角形全等．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．

7．下列命题：

①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

【分析】结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．

【解答】解：

①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；

②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；

如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，

∴△ADC≌△EDB，

∴BE=AC，

同理：

B′E′=A′C′，

∴BE=B′E′，AE=A′E′，

∴△ABE≌△A′B′E′，

∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，

∴∠CAD=∠C′A′D′，

∴∠BAC=∠B′A′C′，

∴△BAC≌△B′A′C′．

③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．

故选A．

【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．

8．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对

【分析】如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解．

【解答】解：

如图：

（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形；

（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形．

所以三角形的形状不能确定．

故选D．

【点评】解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定．

二．填空题（共5小题）

9．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为　1　．

【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE计算即可得解．

【解答】解：

∵BE=CE，

∴S△ACE=

S△ABC=

×6=3，

∵AD=2BD，

∴S△ACD=

S△ABC=

×6=4，

∴S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE=4﹣3=1．

故答案为：

1．

【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．

10．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积　7　．

【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．

【解答】解：

如图，连接AB1，BC1，CA1，

∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，

∴S△ABB1=S△ABC=1，

S△A1AB1=S△ABB1=1，

∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，

同理：

S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，

∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．

故答案为：

7．

【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．

11．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是　1＜AD＜4　．

【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．

【解答】解：

如图，延长AD到E，使DE=AD，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中，

，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴CE=AB，

∵AB=5，AC=3，

∴5﹣3＜AE＜5+3，

即2＜AE＜8，

1＜AD＜4．

故答案为：

1＜AD＜4．

【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

12．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　85　度．

【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．

【解答】解：

∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，

∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，

∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．

故答案为：

85．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

13．如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中A点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，请你把它分出来．（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．

　答案如图　．

【分析】因为按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，所以需要把三角形的面积平均分为4份，甲占1份，其余的是乙的，由此把BC四等分即可．

【解答】解：

如图所示：

【点评】本题需仔细分析题意，结合图形利用等分点即可解决问题．

三．解答题（共11小题）

14．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为　垂直　，线段CF、BD的数量关系为　相等　；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

【分析】

（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．

（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由

（1）①可知CF⊥BD．

【解答】证明：

（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．

由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．

即CF⊥BD．

【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

15．已知：

△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：

AF⊥AQ．

【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ．

【解答】证明：

∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，

∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，

∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ABQ和△ACF中

，

∴△ABQ≌△ACF（SAS），

∴∠F=∠BAQ，

∵∠F+∠FAE=90°，

∴∠BAQ+∠FAE═90°，

∴AF⊥AQ．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．

16．问题背景：

如图1：

在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，