初中数学中考常考数学文化知识集锦.docx

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初中数学中考常考数学文化知识集锦

初中数学——中考常考数学文化知识集锦

一.刘徽与《海岛算经》

刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一.《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产.《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》.唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式.研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒.有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念.所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远.此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆.刘徽也曾对《九章算术》重编并加以注释.全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名.

《海岛算经》最早富裕《九章算术注》之后，唐初开始单行.刘徽在该书中精心选编了九个测量问题，都是利用存量的方法来计算高、深。

广、远问题的，因此得名.《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础.

《海岛算经》第一个问题的大意是：

如图4—29，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两竿之间的距BD=1000步，D、B、H成一线，从B处退行123步到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A、C、F三点成一线；从D处退行127步到G，从G观察A点，A、E、G三点也成一线．试计算山峰的高度AH及HB的长．（这里1步=6尺，1丈=10尺，结果用丈表示）

怎样利用相似三角形求得线段AH及HB的长呢？

请你试一试！

二.《算法统宗》

程大位（1533-1606年），明代数学家，字汝思，号宾渠，休宁率口（今属屯溪区）人.少年时代就喜爱数学.20岁左右随父经商，有感于筹算方法的不便，决心编撰一部简明实用的数学书以助世人之用.《算法统宗》就是他毕生心血的结晶.他搜集了许多书籍，遍访名师，经过数十年的努力，公元1592年六十岁的他终于写成了《直指算法统宗》一书.

《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著.《算法统宗》17卷，卷1、卷2介绍数学名词、大数、小数和度量衡单位以及珠算盘式图、珠算各种算法口诀等，并举例说明具体用法；卷3至卷12按“九章”次序列举各种应用题及解法；卷13到卷16为"难题"解法汇编；卷17“杂法”，为不能归入前面各类的算法，并列有14个纵横图.书后附录“算经源流”一篇，著录了北宋元丰七年（1084年）以来的数字书目51种.万历二十一年（1593年）刊行.

《算法统宗》是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有595个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算演算.评述了珠算规则，完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变.

《算法统宗》从初版至民国时期，出现了很多不同的翻刻本、改编本，民间还有各种抄本流传，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.明末，日本人毛利重能将《算法统宗》译成日文，开日本"和算"先河.清初，该书又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著.

在中国古代数学的整个发展过程中来看，《算法统宗》是一部十分重要的著作.从流传的长久，广泛和深入程度来讲，是任何一部数学著作不能与其相比的.

三.《孙子算经》

“鸡兔同笼”作为《孙子算经》中的经典问题，多次出现在中考考生的视野中.

下面是“鸡兔同笼”问题的四种基本公式.

（1）已知总头数和总脚数

（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数.

或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数.

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数,鸡的总脚数比兔的总脚数多

（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

　总头数-兔数=鸡数

或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；

　总头数-鸡数=兔数.

（3）已知总头数和鸡兔脚数的差数,兔的总脚数比鸡的总脚数多

（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

　　总头数-兔数=鸡数.

或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；

　　总头数-鸡数=兔数.

（4）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题）

[（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）]÷2=鸡数；

[（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）]÷2=兔数.

四.斐波那契数列

中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比萨市的一个商人家庭.因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学.成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛.

  斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究.他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展.他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料.回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202年，或叫《算盘书》）.《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家.《算经》在当时的影响是相当巨大的.这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作.在里面，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明.

  斐波那契发现了一组对世界产生深远影响的神奇数字.这组数字为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946，…

这组数字存在着许多神奇而有趣的规律，其中的规律直到今天还在被源源不断地挖掘出来.规律如下：

  ①从第三个数字开始，后一个数字都等于前两个数字之和.如2+3=5，3+5=8，34+55

=89…    

②随着数列项数的增加，每一个数字与后一个数字的比值无限接近于0.618.如

0.666，

0.625，

0.6176，

0.6181，

0.6179.

五.《九章算术》—方程

“方程”史话：

我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程.

人们对方程的研究可以上溯到很早以前，公园820年左右，中亚细亚的数学家阿尔花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学发展产生了很大的影响.

在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们，17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x,y,z这样的字母表示未知数，把这样的字母与普通数字同样看待，用运算符合和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式，后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如

等.

中国人对方程的研究有悠久的历史，汉语中“方程”一词最初源于讨论多个未知数的问题.著名中国古代著作《九章算术》大约成书于公元前200~前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法.中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数，按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非常接近，宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程，这种方法的代表作是“立天元一”相当于现在的“设未知数x”.1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始讲equation（指含有未知数的等式）一词译为方程，即将含有未知数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组，至今一直这样沿用.

随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展.但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表述涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式.这正是方程的本质所在.

《九章算术》方程：

《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”（所以称之谓“方程”）．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．

方程章第一题：

“今有上禾（指上等稻子）三秉（指捆）中禾二秉，下禾一秉，实（指谷子）三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：

其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年，如在印度最早出现在婆罗摩笈多（Brahmagupta，598-660）的著作《婆罗摩修正体系》之中；而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢（J.Buteo，1485-1572）.

《九章算术》方程章中共计18道题目，其中关于二元一次方程组的有8题，三元的6题，四元、五元的各2题皆是用直除法求解，该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法，其理论上和现在加减消元法基本一致.如第2、10题就是典型的二元一次方程组.

今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？

这里的“损实”就是减去，“益实”就是加上，故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念.同时在“术”中还给出移项的概念.

解按术计算有：

设上禾每捆打谷斗，下禾每捆打谷斗.据题意可得方程组

，解得

.

今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？

据题意可得

，解得

.

六.阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德.他甚至被人尊称为“数学之神”.

阿拉伯Al-Biruni（973年～1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.

阿基米德折弦定理:

AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.

从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.

阿基米德折弦定理3种证明方法

【方法1】补短法

如图，延长DB至F，使BF=BA,

∵M是弧ABC的中点，∴∠MCA=∠MAC=∠MBC，

∵M、B、A、C、四点共圆，

∴∠MCA+∠MBA=180°.

∵∠MBC+∠MBF=180°,∴∠MBA=∠MBF.

∵MB=MB,BF=BA,∴△MBF≌△MBA.

∴∠F=∠MAB=∠MCB,∴MF=MC,

∵MD⊥CF,

∴CD=DF=DB+BF=AB+BD.

【方法2】截长法

如图，在CD上截取DG=DB，

∵MD⊥BG，

∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.

∵M是弧ABC的中点,

∴∠MAC=∠MCA=∠MGB,

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA.

又∵∠MGB=∠MCB+∠GMC,

∴∠BMA=∠GMC.

∵MA=MC,

∴△MBA≌△MGC,∴AB=GC,

∴CD=CG+GD=AB+BD

【方法3】垂线法

如图，作MH⊥射线AB，垂足为H，

∵M是弧ABC的中点，

∴MA=MC，

∵MD⊥BC，

∴∠MDC=90°=∠H.

∵∠MAB=∠MCB，

∴△MHA≌△MDC，

∴AH=CD，MH=MD.

又∵MB=MB，

∴Rt△MHB≌Rt△MDB，

∴HB=BD，

∴CD=AH=AB+BH=AB+BD.

【推论1】设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC²-MB²=BC·AB.

【推论2】设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外.连接AB、AC、MB、MC，那么MB²-MC²=AB·BC.

七.割圆术

3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.

“圜，一中同长也”.意思是说：

圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等.早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系.认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积.我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的公式.

为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”.

利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：

先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：

只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：

14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.

八.漏壶

日常生活中，人们常常利用一次函数解决实际问题，时间的计量就是一个例子.普通钟表的指针转动的角度是所用时间的一次函数.在古代，许多民族与地区使用水钟来计时，其中容器泄水的流量也是时间的一次函数.

水钟在中国古代叫“漏刻”或“漏壶”.图4—2是一种原始漏刻的示意图：

水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）.假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高，也就是说浮子升高的高度h与所经历的时间t称正比：

h=kt（k为比例常数）.利用这一关系，在漏箭上标上适当的刻度，就可以用来计时了（中国古代天文学家通常将一昼夜分为100刻）.当然，古人注意到随着贮水壶中水的减少，漏水速度会变慢，因此就出现了设置多个贮水壶（所谓补偿壶）的多级型漏壶，使水逐级下漏，以保证最后漏入受水壶的水流的均匀性（图4—3为唐代制造的一种四级漏刻）.另外，水流速度还受到四季温度变化等诸多因素的影响，因此古人涉及漏刻时常常会根据实际情况采取相应措施来保证最后漏入受水壶的水流的均匀性和计时的准确性.

九.田亩比类乘除捷法

田亩比类乘除捷法《杨辉算法》中的一种.二卷，宋杨辉撰，成书于1275年.卷上列出了各种形状的田地求积公式及例题，并结合当时实际需要的问题进行比类.卷下择取了刘益《议古根源》中的二十二个典型问题.“详注图草”，介绍刘益求二次方程正根的“益积术”和“减从术”，还引用了《议古根源》中的一个益隅四次方程用增乘开方法求其正根.

十.海伦—秦九韶公式

如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记

那么三角形的面积

①

古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.

我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式

.②

下面我们对公式②进行变形：

=

=

=

=

=

=

这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.

证明过程

①海伦公式的证明

证明：

如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD=x，那么DC=a-x,

由于AD是△ABD、△ACD的公共边，

则h2=c2-x2=b2-（a-x）2，

解出x得x=

，

于是h=

，

S△ABC的面积=

=

a·

，

即S=

，

令p=

（a+b+c），

对被开方数分解因式，并整理得到

S=

得证.

②由海伦公式推导秦九韶公式

秦九韶公式：

.

推导过程:

.=

=

=

=

=

.

故

=

.

十一.将军饮马问题

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.

“将军饮马”问题实际是平面几何里的线段问题，平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：

①线段公理：

两点之间，线段最短.并由此得到三角形三边关系；②垂线段的性质：

从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.

【模型1】一定直线、异侧两定点

直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.

【模型2】一定直线、同侧两定点

直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.

【模型3】一定直线、一定点一动点

已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧），在直线l上找点P，使得AP+PB最小.

【模型4】一定点、两定直线

点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小.

【模型5】两定点、两定直线

点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B，使四边形PAQB的周长最小.

十二.婆罗摩笈多定理

婆罗摩笈多定理

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对.

婆罗摩笈多定理的逆定理

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边.

如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，P是垂足.N是CD中点，则MN⊥AB.

证明：

∵PC⊥PD，N是CD中点，

∴PN=NC，

∴∠NPC=∠NCP.

∵∠ACD=∠ABD，∠NPC=∠APM,

∴∠ABD=∠APM.

∵∠CPN+∠DPN=∠DPC=90°,

∠DPN=∠MPB,

∴∠MPB+∠APM=90°,

∴MN⊥AB.

十三.泰勒斯—全等

泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想.它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃.

在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：

保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑.

他曾发现了不少平面几何学的定理，诸如：

“直径平分圆周”、“三角形两等边对等角”、“两条直线相交、对顶角相等”、“三角形两角及其夹边已知，此三角形完全确定”、“半圆所对的圆周角是直角”等，这些定理虽然简单，而且古埃及、古巴比伦人也许早已知道，但是，泰勒斯把它们整理成一般性的命题，论证了它们的严格性，并在实践中广泛应用.

据说他可以利用一根标杆，测量、推算出金字塔的高度.据说，一年春天，泰勒斯来到埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能解决这个难题.泰勒斯很有把握地说可以，但有一个条件——法老必须在场.第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百姓.泰勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上.每过一会儿，他就让别人测量他影子的长度，当测量值与他的身高完全吻合时，他立刻将大金字塔在地面的投影处作一记号，然后在丈量金字塔底到投影尖顶的距离.这样，他就报出了金字塔确切的高度.在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影等于塔高”的原理.也就是今天所说的相似三角形定理.在科学上，

他倡导理性，不满足于直观的感性的特殊的认识，崇尚抽象的理性的一般的知识.譬如，等腰三角形的两底角相等，并不是指我们所能画出的、个别的等腰三角形，而应该是指“所有的”等腰三角形.这就需要论证、推理，才能确保数学命题的正确性，才能使数学具有理论上的严密性和应用上的广泛性.泰勒斯的积极倡导，为毕达哥拉斯创立理性的数学奠定了基础.

作为“科学之父”的泰勒斯，他提出并证明了下列几何学基本命题：

①圆被它的任一直径所平分；

②半圆的圆周角是直角；

③等腰三角形两底角相等；

④相似三角形的各对应边成比例；

⑤若两三角形两角和一边对应相等，则两三角形全等.

十四.杨辉三角

杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详.由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷.

杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律.

完全平方公式为：

（a+b）2=a2+2ab+b2.

由此，我们自然会想到（a+b）3，（a+b）4，（a+b）5，…的展开式是什么.

根据多项式乘法，我们把（a+b）n（n=0，1，2，…）的展开式及其系数写成下面的形式：

在展开式中，a是按其幂指数由高到低排列的，b是按其幂指数由低到高排列的；首项a的次数与末项b的次数相同，都等于二项式乘方的次数；各项中a，b的指数和也等于二项式乘方的次数；展开式中的项数比二项式乘方的次数多1.

展开式各项的系数的规律：

每一行首末两项系数都是1，中间各项系数等于它上一行相邻的两个系数之和，第n行系数的和等于2n-1.