理解三角函数(章建跃).ppt
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把数学教得更本质更简单以三角函数的教学为例,章建跃,一、三角函数定位的变化,强调“函数的角度”，强调刻画周期现象的数学模型。
三角函数与其它学科的联系与结合非常重要。
最重要的是它与振动和波动的联系，“可以说，它几乎是全部高科技的基础之一”，这是当前数学教学的薄弱环节。
强调发挥单位圆的作用，强调利用向量方法，淡化三角恒等变换的技巧性内容。
三角函数16课时，三角恒等变换8课时，解三角形8课时。
思考：
三角函数与其它函数的不同点到底在哪里？
为什么要强调单位圆的作用？
强调单位圆作用的根本理由,三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现。
匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是重大问题，三角学源自天文学。
角是“转”出来的：
平面有向线段绕起点（原点）在此平面内旋转就得到一个角。
“旋转”就有始边、终边之分，由转的大小和方向决定。
有向线段的长度对角的性质无影响，所以只讨论单位有向线段旋转所成的角。
把它的起点置于（0，0），终点是（x，y），x2+y2=1。
于是，角就是单位圆上的点（x，y）在其圆周上旋转所成的，称为任意角。
任意角不仅是可取任意值的角，还有其他丰富内容，主要是有方向。
匀速旋转的研究内容,首先是角，=t+0，0是角的初始位置。
这不仅有数学意义，更重要的是有物理意义。
研究匀速旋转最重要的是研究（x，y）的变化，即是研究x和y作为的函数这是为什么要采用“单位圆定义法”的理由，“正弦函数和余弦函数是天造地设的一对圆满姻缘”。
更重要的，在这一定义下，三角函数的性质都是定义的推论。
三角恒等变换可以进一步简化已没有太大用处了，因为过去是为了制作三角函数表，应付天文学、测量学的需要，现在这种计算用微积分的方法可以轻易完成（有人认为是“培养能力”）。
三角函数中需要加强的内容,三角函数与振动和波动现象的关系越来越成为人们关注的焦点。
人类从自然界和社会生活中得到的关于振动和波动的信息越来越多，如三相交流电，某地日出时间在一年中的变化，各种乐器发出的声音，各种各样的无线电波、雷达、电视，地震波，甚至物种种群大小的周期变化，都被归结为Asin（t+）（或Acos（t+））变换的角度。
重要的是三角函数的图象与性质的教学，应该充分利用它来解释三角函数的奇偶性、单调性、周期性，解释诱导公式（简化公式）的几何意义诱导公式就是图像的平移、轴对称的解析表示变换的角度。
由于平移后正弦曲线与余弦曲线完全重合，所以正弦函数、余弦函数实际上是一回事，用物理的知识解释，就是它们仅在位相上相差了变换的角度。
“诱导公式”的重要性在那里？
诱导公式重要性在于它表现了三角函数的对称性、变换中的不变性，几何意义是圆的对称性（这是圆的最重要的性质）。
所有变换（k=0，1，2）都可以由和生成。
变换是整个数学的核心概念之一。
T1：
，则；（画个图就可以明白它是正确的，证明可以用向量法：
经过T1，ij，ji，所以向量xi+yj变为xjyi=yi+xj。
）T2：
，则。
上述结果用三角函数表示就是：
由此可导出所有“公式”，由变换导出的！
“诱导公式”是圆的对称性的表现。
必须抓住三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，这样才真正抓住了要领，才能以简驭繁：
只要让学生真正懂得两个变换所表示的意义，再放手让他们逐步学着由此推导出需用的公式，当然还要在理解的基础上记住。
要坚决避免把三角函数的理论变成一大堆公式!
教诱导公式的三个要点：
依据三角函数的定义；思想方法变换（旋转、对称）；工具单位圆。
如何认识“和（差）角公式”,归根到底是圆对称性的解析表示：
“诱导公式”解决了旋转一直角的问题，这里要解决旋转任意角的问题。
更上位地看,函数及其图象、函数的变换（映射）与坐标系的变换及其关系、对称性与不变性等等都是18-19世纪以后的新思想，而且是当代的主流我们应该教给学生先进的东西。
从联系的观点、发展的眼光看,这样处理三角函数，可以充分利用单位圆，发挥向量的作用，并充分体现了变换的思想、对称性思想、不变性思想，使三角函数简单、好懂、有用、好用。
“向量就是复数，复数就是向量”：
把z=x+yi作为单位圆上点P（x，y）的复数坐标，则z=cos+isin。
令z1=cos+isin，z2=cos+isin，就有z1z2=（cos+isin）（cos+isin）=cos（+）+isin（+）。
结束语,改变习惯很难，但必须要改，否则跟不上发展的要求；更深刻地理解所教的内容是改变习惯的基础；“教什么”是数学教学的首要问题；在透彻了解内容本质的基础上，再用学生能理解的方式呈现出来。
敬请批评指正谢谢,
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