答案
（1）√
（2）√ （3）√ （4）√
2．教材衍化
（1）（必修A5P10A组T4）在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
答案 1
解析 由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cosA＝＝＝，所以＝＝2××＝1.
（2）（必修A5P20A组T11）若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．
答案 7
解析 因为△ABC的面积S△ABC＝AB·ACsinA，所以10＝×5×8sinA，解得sinA＝，因为角A为锐角，所以cosA＝.根据余弦定理，得BC2＝52＋82－2×5×8cosA＝52＋82－2×5×8×＝49，所以BC＝7.
3．小题热身
（1）（2016·天津高考）在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝
120°，则AC＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 A
解析 在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2abcosC，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1（负值舍去），即AC＝1.故选A.
（2）（2016·全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.
答案
解析 由已知可得sinA＝，sinC＝，则sinB＝sin（A＋C）＝×＋×＝，再由正弦定理可得＝⇒b＝＝.
题型1 利用正、余弦定理解三角形
（2018·郑州预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝（ ）
A．－B.C．－D.
边角互化法．
答案 B
解析 由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，由B∈（0，π），所以B＝，所以cosB＝cos＝.故选B.
（2018·重庆期末）在△ABC中，已知AB＝4，AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积是（ ）
A．4B．8
C．4或8D.
注意本题的多解性．
答案 C
解析 在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝42＝（4）2＋BC2－2×4BCcos30°，
解得BC＝4或BC＝8.
当BC＝4时，AC＝BC，∠B＝∠A＝30°，△ABC为等腰三角形，∠C＝120°，
△ABC的面积为AB·BCsinB＝×4×4×＝4.
当BC＝8时，△ABC的面积为AB·BCsinB＝×4×8×＝8.故选C.
方法技巧
正、余弦定理在解三角形中的应用技巧
1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC能够实现边角互化．见典例1.
2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2.
3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2.
冲关针对训练
1．（2017·河西五市联考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b－a）sinA＝（b－c）·（sinB＋sinC），则角C等于（ ）
A.B.C.D.
答案 A
解析 由题意，得（b－a）a＝（b－c）（b＋c），∴ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝＝，∴C＝.故选A.
2．（2018·山东师大附中模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A＝－，c＝，sinA＝sinC.
（1）求a的值；
（2）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．
解
（1）在△ABC中，c＝，sinA＝sinC，由正弦定理＝，得a＝c＝×＝3.
（2）由cos2A＝1－2sin2A＝－得，sin2A＝，由0则cosA＝＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
化简，得b2－2b－15＝0，
解得b＝5（b＝－3舍去）．
所以S△ABC＝bcsinA＝×5××＝.
题型2 利用正、余弦定理判断三角形的形状
（2017·陕西模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
用边角互化法．
答案 B
解析 ∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin（B＋C）＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形．故选B.
[条件探究1] 将本典例条件变为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
答案 B
解析 解法一：
由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin（A－B）＝0，
因为－π解法二：
由正弦定理得2acosB＝c，
由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.故选B.
[条件探究2] 将本典例条件变为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
答案 C
解析 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，
∴a∶b∶c＝5∶11∶13，
故设a＝5k，b＝11k，c＝13k（k>0），由余弦定理可得
cosC＝＝＝－<0，
又∵C∈（0，π），∴C∈，
∴△ABC为钝角三角形．故选C.
[条件探究3] 将本典例条件变为“若bcosB＋ccosC＝acosA”，试判断三角形的形状．
解 由已知得
b·＋c·＝a·，
∴b2（a2＋c2－b2）＋c2（a2＋b2－c2）＝a2（b2＋c2－a2）．
∴（a2＋c2－b2）（b2＋a2－c2）＝0.
∴a2＋c2＝b2或b2＋a2＝c2，即B＝或C＝.
∴△ABC为直角三角形．
方法技巧
判定三角形形状的两种常用途径
提醒：
“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．
冲关针对训练
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b－c）sinB＋（2c－b）sinC.
（1）求角A的大小；
（2）若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状．
解
（1）由2asinA＝（2b－c）sinB＋（2c－b）sinC及正弦定理，得2a2＝（2b－c）b＋（2c－b）c，
即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝，
A∈（0，π），
∴A＝60°.
（2）∵A＋B＋C＝180°，
∴B＋C＝180°－60°＝120°.
由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin（120°－B）＝，
∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝.
∴sinB＋cosB＝，即sin（B＋30°）＝1.
∵0°∴B＋30°＝90°，即B＝60°.
∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为等边三角形.
题型3 与三角形有关的最值
角度1 与三角形边长有关的最值
（2017·杏花岭区模拟）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C
的对边分别为a，b，c，且a＝bcosC＋csinB.
（1）求B；
（2）若b＝2，求ac的最大值．
本题采用转化法．
解
（1）在△ABC中，∵a＝bcosC＋csinB，
∴sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，
∴sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋sinCsinB，
化为cosBsinC＝sinCsinB，sinC≠0，
可得tanB＝，B∈（0，π），∴B＝.
（2）由正弦定理得＝2R＝，
令y＝ac＝2RsinA·2RsinC＝sinAsinC
＝sinAsin＝sin＋.
∵0故<2A－<，∴sin∈，
∴y∈.∴ac的最大值为4.
角度2 与三角形内角有关的最值
（2017·庄河市期末）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，设f（x）＝a2x2－（a2－b2）x－4c2.
（1）若f
（1）＝0，且B－C＝，求角C的大小；
（2）若f
（2）＝0，求角C的取值范围．
本题采用放缩法．
解
（1）由f
（1）＝0，得a2－a2＋b2－4c2＝0，
∴b＝2c，
又由正弦定理，得sinB＝2sinC，
∵B－C＝，
∴sin＝2sinC，
整理得sinC＝cosC，∴tanC＝.
∵角C是三角形的内角，∴C＝.
（2）∵f
（2）＝0，∴4a2－2a2＋2b2－4c2＝0，
即a2＋b2－2c2＝0，
由余弦定理，得cosC＝＝≥＝（当且仅当a＝b时取等号）．
又∵余弦函数在上递减，C是锐角，
∴0方法技巧
求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．
冲关针对训练
（2018·绵阳检测）已知向量m＝，n＝，记f（x）＝m·n.
（1）若f（x）＝1，求cos的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a－c）cosB＝bcosC，求函数f（A）的取值范围．
解
（1）f（x）＝m·n＝sincos＋cos2＝
sin＋cos＋＝sin＋.
因为f（x）＝1，
所以sin＝，
cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.
（2）因为（2a－c）cosB＝bcosC，
由正弦定理得（2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，
所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，
所以2sinAcosB＝sin（B＋C），
因为A＋B＋C＝π，所以sin（B＋C）＝sinA，且sinA≠0，
所以cosB＝，B＝，所以0所以<＋<，又因为f（x）＝m·n＝sin＋，
所以f（A）＝sin＋，
故函数f（A）的取值范围是.
1．（2017·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA（sinC－cosC）＝0，a＝2，c＝，则C＝（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 因为a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sinA＝sinC.
又B＝π－（A＋C），
故sinB＋sinA（sinC－cosC）
＝sin（A＋C）＋sinAsinC－sinAcosC
＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC
＝（sinA＋cosA）sinC
＝0.
又C为△ABC的内角，
故sinC≠0，
则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.
又A∈（0，π），所以A＝.
从而sinC＝sinA＝×＝.
由A＝知C为锐角，故C＝.
故选B.
2．（2018·南阳模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则B＝________.
答案
解析 由正弦定理，得sinB（sinAcosC＋sinCcosA）＝sinB，即sinBsin（A＋C）＝sinB，因为sinB≠0，所以sinB＝，所以B＝或，又因为a>b，故B＝.
3．（2018·沈阳模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a－b）（sinA＋sinB）＝（c－b）·sinC.若a＝，则b2＋c2的取值范围是________．
答案 5解析 由正弦定理可得，（a－b）·（a＋b）＝（c－b）·c，即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝＝，又A∈，∴A＝.∵＝＝＝2，
∴b2＋c2＝4（sin2B＋sin2C）＝4[sin2B＋sin2（A＋B）]＝4＝sin2B－cos2B＋4＝2sin＋4.
∵△ABC是锐角三角形，且A＝，∴B∈，即2B－∈，∴4．（2015·全国卷Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.
（1）若a＝b，求cosB；
（2）设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
解
（1）由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cosB＝＝.
（2）由
（1）知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面积为1.
[重点保分两级优选练]
A级
一、选择题
1．（2017·长沙模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝（ ）
A．1B．2C．4D．6
答案 C
解析 a2＝c2＋b2－2cbcosA⇒13＝c2＋9－6ccos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1（舍去）．故选C.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则（ ）
A．a>b
B．aC．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
答案 A
解析 据题意由余弦定理可得a2＋b2－2abcos120°＝c2＝（a）2，化简整理得a2＝b2＋ab，变形得a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝ab>0，故有a－b>0，即a>b.故选A.
3．（2017·湖南长郡中学六模）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于（ ）
A．2B．3C.D.
答案 A
解析 由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcosA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcosA＝sinAsinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理得a2＝b2＋4b2－b2，∴a2＝4b2，∴＝2.故选A.
4．（2017·衡水中学调研）在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则＝（ ）
A．1B．2C．－2D.
答案 B
解析 不妨设a＝2，b＝3，c＝4，故cosC＝＝－，故＝＝＝2.故选B.
5．在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2＋c2＝a2＋bc.若sinBsinC＝，△ABC的形状（ ）
A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形D．直角三角形
答案 A
解析 在△ABC中，由余弦定理，可得cosA＝，由已知，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝.
∵0∵A＋B＋C＝π，A＝，∴C＝－B.
由sinBsinC＝，得sinBsin＝.
即sinB＝.
sinBcosB＋sin2B＝，
sin2B＋（1－cos2B）＝，
sin2B－cos2B＝1，∴sin＝1.
又∵－<2B－<，
∴2B－＝，即B＝.
∴C＝，也就是△ABC为等边三角形．故选A.
6．（2014·江西高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是（ ）
A．3B.C.D．3
答案 C
解析 c2＝（a－b）2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②
由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.故选C.
7．（2018·上海杨浦质量调研）设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为（ ）
A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0,2）
答案 A
解析 由＝＝，得b＝2cosA.
又2A<，所以A<，
所以8．（2014·全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（ ）
A．5B.C．2D．1
答案 B
解析 S△ABC＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝45°或135°.若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝.故选B.
9．（2018·辽宁五校第一次联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰或者直角三角形
答案 C
解析 由两直线平行可得bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即sin2A＝sin2B，又A，B∈（0，π），且A＋B∈（0，π），所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A＋B＝，则△ABC是直角三角形．故选C.
10．（2017·武昌调研）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2bsinC，则tanA＋tanB＋tanC的最小值是（ ）
A．4B．3C．8D．6
答案 C
解析 a＝2bsinC⇒sinA＝2sinBsinC⇒sin（B＋C）＝2sinBsinC⇒tanB＋tanC＝2tanBtanC，又根据三角形中的三角恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC（注：
tanA＝tan（π－B－C）＝－tan（B＋C）＝－，即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC）⇒tanBtanC＝
，
∴tanAtanBtanC＝tanA·＝（tanA＝m），令m－2＝t⇒＝t＋＋4≥8，当且仅当t＝，即t＝2，tanA＝4时，取等号．故选C.
二、填空题
11．（2015·重庆高考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.
答案 4
解析 由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cosC＝，得－＝，解得c＝4.
12．（2018·河北唐山一模）在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝________.
答案
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∴2sinB＝sinA＋sinC.
∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin（90°＋C）＋sinC.
∴2sinB＝cosC＋sinC.
∴2sinB＝sin（C＋45°）．①
∵A＋B＋C＝180°且A－C＝90°，∴C＝45°－，代入①式中，2sinB＝sin.
∴2sinB＝cos.∴4sincos＝cos.
∴sin＝.
∴cosB＝1－2sin2＝1－＝.
13．（2018·沈阳监测）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－（b－c）2，b＋c＝8，则S的最大值为________．
答案 8
解析 由题意得4×bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，
又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，
即sinA＋cosA＝1，sin＝1，
又0∴A＝，S＝bcsinA＝bc，又b＋c＝8≥2，
当且仅当b＝c时取“＝”，∴bc≤16，
∴S的最大值为8.
14．（2017·浙江高考）已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.
答案
解析 依题意作出图形，如图所示，
则sin∠DBC＝sin∠ABC.
由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，
则cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.
所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC
＝×2×2×＝.
因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝
＝，所以CD＝.
由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.
B级
三、解答题
15．（2018·郑州质检）已知△ABC的外接圆直径为，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°.
（1）求的值；
（2）若a＋b＝ab，求△ABC的面积．
解
（1）因为＝＝＝2R＝，
所以a＝sinA，b＝sinB，c＝sinC.
所以＝＝.
（2）由c＝sinC，得c＝×＝2，
c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab，又a＋b＝ab，
所以（ab）2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1（舍去），
所以S△ABC＝absinC＝×4×＝.
16．（2017·湖北四校联考）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0.
（1）求的值；
（2）若cosC＝，求sinB的值．
解
（1）因为sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0，sinB≠0，
所以2＋－6＝0，得＝2或＝－3（舍去）．
由正弦定理得＝＝2.
（2）由余弦定理得cosC＝＝.①
将＝2，即a＝2b代入①，
得5b2－c2＝3b2，得c＝b.
由余弦定理cosB＝，得
cosB＝＝，
则sinB＝＝.
17．（2018·海淀区模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，
升级会员 