高考数学理复习练习专题限时集训10 立体几何中的向量方法含答案.docx

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高考数学理复习练习专题限时集训10立体几何中的向量方法含答案

专题限时集训（十）　立体几何中的向量方法

（对应学生用书第97页）

（限时：

40分钟）

题型1　向量法求线面角

1

题型2　向量法求二面角

2,4

题型3　利用空间向量求解探索性问题

3

1．（2017·郑州二模）如图109，三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

图109

（1）证明：

EF∥平面A1CD；

（2）若三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

[解]　

（1）证明：

在三棱柱ABCA1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝

AC.

又F为A1C1的中点，可得A1F＝

A1C1，所以A1F∥DE，A1F＝DE，

因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，

又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，

所以EF∥平面A1CD.

（2）法一：

（几何法）因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面A1ABB1.

如图在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D，交直线A1D于点G，连接CG，则BG⊥平面A1CD，所以∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．

设三棱柱的棱长为a，可得A1D＝

，由△A1AD∽△BGD，

可得BG＝

，

在Rt△BCG中，sin∠BCG＝

＝

.

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为

.

法二：

（向量法）设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.

以O为坐标原点，

，

，

的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

设三棱柱的棱长为a，则O（0,0,0），B

，

C

，A1

，D（0，a,0）．所以

＝

，

＝

，

＝

.