高一物理必修二第五章 5 向心加速度教师版.docx
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高一物理必修二第五章5向心加速度教师版
5 向心加速度
[学习目标] 1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题.
一、向心加速度的方向
1.向心加速度的定义：
任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度.
2.向心加速度的作用：
向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，对速度的大小无影响.
二、向心加速度的大小
1.向心加速度公式
（1）基本公式an＝
＝ω2r.
（2）拓展公式an＝
·r＝ωv.
2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动.
1.判断下列说法的正误.
（1）匀速圆周运动的加速度始终不变.（ × ）
（2）匀速圆周运动是匀变速运动.（ × ）
（3）匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变.（ √ ）
（4）根据an＝
知向心加速度an与半径r成反比.（ × ）
（5）根据an＝ω2r知向心加速度an与半径r成正比.（ × ）
2.在长0.2m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为________，向心加速度大小为________.
答案 3rad/s 1.8m/s2
解析 角速度ω＝
＝
rad/s＝3rad/s
小球运动的向心加速度an＝
＝
m/s2＝1.8m/s2.
一、向心加速度及其方向
如图1甲所示，表示地球绕太阳近似做匀速圆周运动；图乙表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.
图1
（1）地球、小球的运动状态发生变化吗？
若变化，变化的原因是什么？
（2）地球受到的力沿什么方向？
小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？
（3）地球和小球的加速度方向变化吗？
匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案
（1）地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化.运动状态发生变化的原因是受到力的作用.
（2）地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、细线的拉力作用，合力等于细线的拉力，方向沿半径指向圆心.
（3）物体的加速度方向跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是时刻沿半径指向圆心，即加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动.
对向心加速度及其方向的理解
1.向心加速度的方向：
总指向圆心，方向时刻改变.
2.向心加速度的作用：
向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.
3.圆周运动的性质：
不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.
4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：
一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心.
例1
下列关于向心加速度的说法中正确的是（ ）
A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B.向心加速度的方向不一定指向圆心
C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D.匀速圆周运动的向心加速度不变
答案 C
解析 做匀速圆周运动的物体速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错误；向心加速度的方向总是沿着圆周运动轨迹的半径指向圆心，B错误；向心加速度描述线速度方向变化的快慢，C正确；向心加速度的方向是变化的，D错误.
二、向心加速度的大小
1.向心加速度公式
an＝
＝ω2r＝
r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.
2.向心加速度公式的适用范围
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心.
3.向心加速度与半径的关系（如图2所示）
图2
例2
如图3所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列几种说法中正确的是（ ）
图3
A.A、B两点具有相同的角速度
B.A、B两点具有相同的线速度
C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
答案 A
解析 A、B为球体表面上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin60°，B运动的半径rB＝Rsin30°，
＝
＝
＝
，B错；
＝
＝
，D错.
例3
（2019·大同一中期中）如图4所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半.A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则（ ）
图4
A.A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B.B、C两点的角速度之比为1∶2
C.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D.A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
答案 D
解析 传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，故B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由向心加速度an＝
可知A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，C错误；由于B、C两点的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C两点的向心加速度大小之比为1∶2，又A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，故D正确.
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系.
（1）先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同.
（2）在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比.
针对训练 （2019·深圳中学期中）如图5所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，当自行车悬空，大齿轮B带动后轮匀速转动时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于（ ）
图5
A.1∶1∶8B.4∶1∶4
C.4∶1∶32D.1∶2∶4
答案 C
解析 小齿轮A和大齿轮B通过链条传动，边缘线速度大小相等，即vA＝vB，小齿轮A和后轮C同轴转动，角速度相等，有ωA＝ωC，由向心加速度an＝
可得aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1，由向心加速度an＝ω2R可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，选项C正确.
1.（向心加速度公式的理解）关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A.由an＝
可知，an与r成反比
B.由an＝ω2r可知，an与r成正比
C.由v＝ωr可知，ω与r成反比
D.由ω＝2πf可知，ω与f成正比
答案 D
解析 质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关.但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能确定.当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，正确答案为D.
2.（向心加速度公式的理解）（多选）（2019·长丰二中高一下学期期末）甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，下列情况下，关于向心加速度的说法正确的是（ ）
A.当它们的角速度相等时，乙的线速度小则乙的向心加速度小
B.当它们的周期相等时，甲的半径大则甲的向心加速度大
C.当它们的线速度相等时，乙的半径小则乙的向心加速度小
D.当它们的线速度相等时，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，则甲的向心加速度比乙的小
答案 AB
解析 角速度相等，乙的线速度小，根据公式an＝vω，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故A正确；周期相等，乙的半径小，根据公式an＝（
）2r，可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度，故B正确；线速度相等，乙的半径小，根据公式an＝
，可知甲的向心加速度小于乙的向心加速度，故C错误；线速度相等，角速度大的向心加速度大，则D错误.
3.（传动装置中向心加速度的计算）（2019·山东省实验中学期中）某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图6所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为（ ）
图6
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 甲、丙边缘的线速度大小相等，根据an＝
知a丙＝
＝
，故选A.
4.（向心加速度的计算）（多选）（2019·遂宁市高一下学期期末）如图7所示，小球A用轻质细线拴着在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，当小球A运动到左侧时，在小球A的正上方高度为R的小球B水平飞出，飞出时的速度大小为
.不计空气阻力，重力加速度为g，要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，则小球A的向心加速度大小可能为（ ）
图7
A.
B.
C.
D.
答案 AD
解析 B做平抛运动，在竖直方向上有：
R＝
gt2，得：
t＝
，则水平方向的位移为x＝v0t＝
·
＝
R，若要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰，根据几何关系可知，当A运动
或
时恰能与B相碰，则有：
t＝
＝
或t＝
＝
，又向心加速度an＝
R，联立解得：
an＝
或an＝
，故选A、D.
[基础对点练]
考点一 向心加速度的理解
1.关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A.由an＝
知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.匀速圆周运动不属于匀速运动
C.向心加速度越大，物体速率变化越快
D.做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心
答案 B
解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，A错误；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，速度方向改变，B正确；向心加速度不改变速率，C错误；只有匀速圆周运动的加速度才时刻指向圆心，D错误.
2.如图1所示是A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一支，由图可知（ ）
图1
A.A物体运动的线速度大小不变
B.A物体运动的角速度大小不变
C.B物体运动的角速度大小是变化的
D.B物体运动的线速度大小不变
答案 A
解析 根据an＝
知，当线速度v大小为定值时，an与r成反比，其图象为双曲线的一支；根据an＝rω2知，当角速度ω大小为定值时，an与r成正比，其图象为过原点的倾斜直线，所以A正确.
3.（多选）如图2所示，转动悬空的自行车的脚踏板时，关于大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的A、B、C三点的向心加速度的说法正确的是（ ）
图2
A.A点的向心加速度比B点的大
B.A点的向心加速度比B点的小
C.B点的向心加速度比C点的大
D.B点的向心加速度比C点的小
答案 BD
4.如图3所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用，木块的速率不变，那么木块（ ）
图3
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心
答案 D
解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误.
考点二 向心加速度大小的比较与计算
5.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动的周期之比为3∶4，则它们的向心加速度之比为（ ）
A.1∶4B.4∶1C.4∶9D.9∶4
答案 B
解析 根据题意
＝
，
＝
，由an＝
r得：
＝
·
2＝
×
＝4，B选项正确.
6.（多选）（2019·肥东高中下学期期末）杭十四中凤起校区实验楼大厅里科普器材中有如图4所示的传动装置：
在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮.若齿轮的齿很小，大齿轮半径（内径）是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
图4
A.小齿轮逆时针匀速转动
B.小齿轮的每个齿的线速度均相同
C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍
D.小齿轮每个齿的向心加速度是大齿轮每个齿的向心加速度的3倍
答案 CD
解析 小齿轮的运动方向和大齿轮的运动方向一致，小齿轮也是顺时针匀速转动，故A错误；大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，小齿轮的每个齿的线速度方向不同，故B错误；根据v＝ωr可知，线速度大小相等，大齿轮半径（内径）是小齿轮半径的3倍时，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍，故C正确；根据an＝
，大齿轮半径（内径）是小齿轮半径的3倍，可知小齿轮每个齿的向心加速度是大齿轮每个齿的向心加速度的3倍，故D正确.
7.（多选）如图5所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，θ＝30°，则（ ）
图5
A.a、b两点的线速度相同
B.a、b两点的角速度相同
C.a、b两点的线速度之比va∶vb＝2∶
D.a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝
∶2
答案 BD
解析 球绕中心轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即ωa＝ωb，B对；因为a、b两点做圆周运动的半径不同，rb＞ra，根据v＝ωr知vb＞va，A错；θ＝30°，设球半径为R，则rb＝R，ra＝Rcos30°＝
R，故
＝
＝
，C错；又根据an＝ω2r知
＝
＝
，D对.
8.（多选）如图6所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是（ ）
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
答案 BD
解析 设A、B、C三点的线速度大小分别为v1、v2和v3，由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝
可得
＝
＝
，A错，B对.由于右边两轮共轴转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得
＝
＝
，C错，D对.
[能力综合练]
9.如图7所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，轮2与轮3是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比（ ）
A.线速度之比为1∶4
B.角速度之比为4∶1
C.向心加速度之比为8∶1
D.向心加速度之比为1∶8
答案 D
解析 由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错.设轮4的半径为r，有aa＝
＝
＝
＝
ac，即aa∶ac＝1∶8，C错，D对.
＝
＝
，B错.
10.（多选）如图8所示的靠轮传动装置中右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点，b距轴的距离为r.左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点，小轮的半径为r，c为它边缘上的一点.若传动中靠轮不打滑，则（ ）
A.b点与d点的线速度大小相等
B.a点与c点的线速度大小相等
C.c点与b点的角速度大小相等
D.a点与d点的向心加速度大小之比为1∶8
答案 BD
解析 左边两轮同轴转动，c、d两点角速度相等，根据v＝rω知，d点的线速度大于c点的线速度，而a、c的线速度大小相等，a、b两点的角速度相等，则a点的线速度大于b点的线速度，所以d点的线速度大于b点的线速度，A错误，B正确.a、c两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，根据ω＝
，知a、c两点的角速度之比为1∶2，a、b两点的角速度相等，所以b、c两点的角速度大小不等，C错误.a、c两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，根据a＝
知a、c两点的向心加速度之比为1∶2，c、d轮共轴转动，角速度相等，半径之比为1∶4，根据a＝ω2r知c、d两点的向心加速度之比为1∶4，所以a、d两点的向心加速度之比为1∶8，D正确.
11.如图9所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动.若运动员的转速为30r/min，女运动员触地冰鞋的线速度大小为4.8m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小.（π取3.14，结果均保留三位有效数字）
图9
答案 3.14rad/s 1.53m 15.1m/s2
解析 男女运动员的转速、角速度是相同的.
由ω＝2πn得ω＝
rad/s＝3.14rad/s
由v＝ωr得r＝
＝
m≈1.53m
由an＝ω2r得an＝3.142×1.53m/s2≈15.1m/s2.
[拓展提升练]
12.（2019·泉州市模拟）如图10为一个简易的冲击式水轮机的模型，水流自水平的水管流出，水流轨迹与下边放置的轮子边缘相切，水冲击轮子边缘上安装的挡水板，可使轮子连续转动.当该装置工作稳定时，可近似认为水到达轮子边缘时的速度与轮子该处边缘的线速度相同.调整轮轴O的位置，使水流与轮边缘切点对应的半径与水平方向成θ＝37°角.测得水从管口流出速度v0＝3m/s，轮子半径R＝0.1m.不计挡水板的大小，不计空气阻力.取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：
图10
（1）轮子转动的角速度ω及边缘上某点的向心加速度大小；
（2）水管出水口距轮轴O的水平距离l和竖直距离h.
答案
（1）50rad/s 250m/s2
（2）1.12m 0.86m
解析
（1）水流出后做平抛运动，设水流到达轮子边缘的速度为v，v＝
＝5m/s
轮子边缘的线速度v′＝v＝5m/s
所以轮子转动的角速度ω＝
＝50rad/s
a＝
＝250m/s2
（2）设水流到达轮子边缘的竖直分速度为vy，平抛运动时间为t，水平、竖直分位移分别为x、y：
vy＝
＝4m/s
t＝
＝0.4s
x＝v0t＝1.2m
y＝
gt2＝0.8m
水管出水口距轮轴O的水平距离l和竖直距离h为：
l＝x－Rcos37°＝1.12m
h＝y＋Rsin37°＝0.86m
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