高等数学积分表推导全过程.docx

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高等数学积分表推导过程2018年11月

（一）含有ax+b的积分

1.2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

（二）含有的积分

10.

11.

12.

13.

14.

15.当b>0时，有

当b<0时，令ax+b=t,则dx=

所以

16.

17.

18.

（三）含有x2±a2的积分

19.☆设x=atant（）那么于是

20.用分部积分法，n>1时有

即于是

由此作递推公式并由即可得

21.☆

（四）含有ax2+b（a>0）的积分

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

（五）含有的积分

29.当时，有

令则

则原式=

当时有令则

则原式

综上所述

30.

其中

（六）含有的积分

31.☆由于，不妨设，那么，

于是，利用例17的结果得

作图可知，，且，因此

32.设，那么，，于是，，，

33.，不妨设，那么，，于是

=

34.设，那么，，于是

35.

36.

37.设，那么，，于是

38.设，那么，，于是

39.☆设，那么，，于是

40.设，那么，，于是

41.设，那么，，于是

42.

43.设，那么，，于是

44.设，那么，，于是

（七）含有的积分

45.☆当时，设，那么，，于是

当时，令，那么，由上段结果有

综上所述，

46.，设，则，，于是

47.，设，则，，于是

48.,设，则，，于是

49.

50.

51.,设，则，，于是，当时有

当时有，，综上所述，有

52.，设，则，，于是

53.☆,设，则，，于是

54.,设，则，，于是

;

55.,设，则，，于是

56.

57.,设，则，，于是当时，有

当时，有；综上所述，

58.，设，则，，有

，令，则

（八）含有的积分

59.☆

60.,令，则，，于是

61.☆，令，则，，于是

62.,令，则，，于是

63.,令，则，，于是

64.,令，则，，于是

65.,令，则，，于是

66.,令，则，，于是

67.☆,令，则，，于是

68.,令，则，，于是

69.,令，则，，于是

70.,令，则，，于是

71.,令，则，，于是

72.,令，则，，于是

（九）含有的积分

73.，令，则

当时，则令，则

再令,,,于是

;

当时，则令，，

令，

；

综上所述，

74.当时，令，

，再令，

当时，令，；；再令，

，于是

综上所述，

75.；令，当时，令

当时，令，于是

综上所述，

76.；令，，于是

77.；令；；于是

78.；令；；于是

（十）含有或的积分

79.；令；则；；于是

80.；令；则；；于是

81.;令；则；；于是

；令；则

82.；令；则；；于是

令；；则

（十一）含有三角函数的积分

83.☆84.☆85.☆

86.☆

87.☆

;

88.☆

89.☆90.☆91.☆92.☆

93.

94.94.

95.

96.

97.

98.

将换成有

99.

又有

；因此

100.

101.

102.

103.

104.

令；原式

105.

106.

令；则；于是原式

107.

108.（令）

109.

110.

111.

112.

（十二）含有反三角函数的积分（其中）

113.

114.

115.;令；于是

116.

117.

118.

119.

120.

121.

;令；则；；于是

（十三）含有指数函数的积分

122.☆123.124.

125.126.

127.

128.

129.

130.

（十四）含有对数函数的积分

131.

132.☆133.

134.

135.

136.

（十五）含有双曲函数的积分

137.

138.138.

139.

140.

141.由于

（十六）定积分

142.

143.

144.

当时有

当时有

145.

当时

当时

146.

当时

当时

147.

证：

右端第一项等于零，将第二项里写成。

并把积分分成两部分有

由此得，这个等式叫做积分关于下标的递推公式，如果把换成得，同样地依次进行下去直到的下标递减到零或1为止，于是

而；

因此

下面证设；则；且当时于是

令；即可以得出

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