椭圆讲义及答案.docx
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椭圆讲义及答案
椭圆（讲义）
知识点睛
一、曲线与方程
1.曲线C上的点与二元方程f（x，y）=0的对应关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2.求曲线的方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件p的点M的集合
P={M|p（M）}；
（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；
（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．二、椭圆及其标准方程
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于
|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
如图，设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0），那么焦点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）．
又设M与F1，F2的距离的和等于2a（a>0）．
由椭圆的定义，椭圆就是集合
P={M||MF1|+|MF2|=2a}．
1
因为|MF|=（x+c）2+y2，|MF|=，
12
所以
+=2a．
为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得
=2a-，
将这个方程两边平方，得
（x+c）2+y2=4a2-4a
整理得
+（x-c）2+y2，
a2-cx=a，
上式两边再平方，得
整理得
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，
（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），
两边同除以a2（a2-c2），得
x2+y2=
a2a2-c21．①
由椭圆的定义可知，2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0．
由图可知，|PF|=|PF|=a，|OF|=|OF
|=c，|PO|=
1212
令b=|PO|=
a2-c2，那么①式就是x
a2
y2
b21（ab0）．
2
椭圆的标准方程：
x
a2
y2
+=1（a>b>0）．
b2
2
三、椭圆的几何性质
标准方程
x2+y2=>>
1（ab0）
a2b2
x2+y2=>>
1（ab0）
b2a2
图象
性质
范围
x∈[-a，a]
y∈[-b，b]
x∈[-b，b]
y∈[-a，a]
对称性
对称轴对称中心
顶点
A1（-a，0），A2（a，0）
B1（0，-b），B2（0，b）
A1（0，-a），A2（0，a）
B1（-b，0），B2（b，0）
轴
长轴A1A2的长为
短轴B1B2的长为
焦点
F1（-c，0），F2（c，0）
F1（0，-c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|=
离心率
e=c，e∈
a
a，b，c
的关系
c2=
3
精讲精练
1.
已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M（-1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则点Q的轨迹方程是（）
A．2x+y+1=0
C．2x-y-1=0
B．2x-y-5=0
D．2x-y+5=0
2.已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2．一条曲线也在l的上方，它上面每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．
3.过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A，B两点，求弦
AB的中点M的轨迹方程．
4
4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；
（2）
a=4，c=，焦点在y轴上；
（3）a+b=10，c=2．
5.如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐
2
标等于右焦点的横坐标，纵坐标等于短半轴长的
3
离心率为．
，则椭圆的
6.设e是椭圆
x2+y2=
的离心率，且
e∈（1
，1），则实数k的取
1
4k2
值范围是（）
A．（0，3）
16
（3
B．，）
3
C．（0，3）（16，+∞）
3
D．（0，2）
5
x2y2
7.设F1，F2分别是椭圆25+9
=1的左、右焦点，P为椭圆上一
点，M是F1P的中点，O为坐标原点，|OM|=3，则点P到椭
圆左焦点的距离为（
）
A．4
C．3
B．6
D．7
x2+y2=>
8.已知椭圆的方程是a2
1（a
25
5），它的两个焦点分别为
F1，F2，且|F1F2|=8，过点F1的直线AB交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）
A．10B．20C．2D．4
2
2
9.
+=
已知点P是椭圆xy1上的一点，M，N分别是两圆：
259
（x+4）2+y2=1和（x-4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为（）
A．9，12B．8，11C．8，12D．10，12
6
10.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？
11.点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离之比是
1:
2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
7
12.
如图，从椭圆x
a2
y2
b21（ab0）上一点P向x轴作垂线，
垂足恰为左焦点F1．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=+，求该椭圆的方程．
8
13.
如图，已知椭圆x
2
+=1，直线l：
4x-5y+40=0．椭圆上
259
是否存在一点，它到直线l的距离最小？
最小距离是多少？
9
14.
2
如图，椭圆E：
x
a2
y2
+=1（a>b>0）的右焦点F（3，0），过点
b2
F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，-1），求E的方程．
回顾与思考
10
【参考答案】
知识点睛
三、对称轴：
x轴、y轴；
2a2b
2c
对称中心：
原点；
（0，1）a2-b2
精讲精练
1．D2．y=1x2（x≠0）
8
3．x2-3x+y2=0
4．
（1）
x2+2
16
=1；
（2）
y2+2
16
=1；
222
（3）x+=1或+x=
36163616
5．5
3
6．C7．A8．D9．C
10.点Q的轨迹是以O，A为焦点，以r为长轴长的椭圆．
11.
点M的轨迹方程是x
2
+=1，
1612
轨迹是以（2，0）、（-2，0）为焦点，以8为长轴长的椭圆．
2
12.x+y=
105
13.存在满足题意的点，最小距离是1541
41
2
14.x+y=
189
11
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