线性代数实验报告汇总.docx
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线性代数实验报告汇总
数学实验报告题目
第一次实验题目
一、实验目的
1MATLAB的矩阵初等运算；．熟悉2．掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令；3MABLAB求解线性方程组．会用二、问题求解和程序设计流程
344?
221?
?
?
?
?
?
?
?
MATLABA1B、，已知命令窗口中建立．，在320B?
?
?
50?
?
3A?
?
?
?
?
?
?
?
112?
153?
?
?
?
矩阵并对其进行以下操作：
（1）A的行列式的值计算矩阵?
）?
Adet（
（2）分别计算下列各式：
、和、、、、B?
A.T112?
?
B?
BA?
2AABABAA
：
解
（1）编写程序如下：
A=[4-22;-305;153];
B=[134;-20-3;2-11];
a=det（A）
运行结果：
a=
-158
（2）编写程序如下：
C=2*A-B
D=A*B
E=A.*B
F=A/B
G=A\B
H=A*A
K=A'
运行结果：
C=
7-70
-4013
线性代数实验报告
0115
D=
121024
7-14-7
-30-8
E=
4-68
60-15
2-53
F=
002.0000
-2.7143-8.0000-8.1429
2.42863.00002.2857
G=
0.48730.41141.0000
0.3671-0.43040
-0.10760.24680
H=
2424
-7319
-81336
K=
4-31
-205
253
2MATLABrankinv求下列矩阵的秩：
中分别利用矩阵的初等变换及函数．在、函数
线性代数实验报告
3501?
?
2631?
?
?
?
?
0012?
?
?
?
（1）Rank（A）=?
2求）求（054A?
3?
?
B1?
?
B?
?
?
?
?
0201?
?
4?
?
1112?
?
?
?
2102?
?
解：
1编写程如下：
（）formatrat
A=[1-632;3-540;-1-1124];
rref（A）
运行结果：
ans=
100-8/5
0100
0016/5
AA3。
经初等变换后得到的行最简型可知：
由的秩为A=[1-632;3-540;-1-1124];
rank（A）
直接利用rank函数求出A的秩为3.
（2）编写程序如下：
B=[3501;1200;1020;1202];
inv（B）
运行结果：
ans=
2.0000-4.00000-1.0000
-1.00002.500000.5000
-1.00002.00000.50000.5000
0-0.500000.5000
3.MATLAB中判断下列向量组是否线性相关，并找出向量组中的一个最大线性在,,,?
无关组：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1,3?
?
1,1,?
1,1,3,2?
1,3,1,7?
2,8,95,?
?
?
3412：
解：
编写程序如下
formatrat
A=[1-15-1;11-23;3-181;2397];
a=det（A）;
ifa==0
线性代数实验报告
fprintf（''）以上矩阵线性相关b=rref（A）
else
fprintf（''）
以上矩阵线性无关end
运行结果：
以上矩阵线性相关b=
10012/11
01059/33
001-2/33
0000
123.，分析：
由运行结果可知：
该向量组的一个极大无关组为：
，?
?
?
4MATLAB中判断下列方程组解的情况，若有多个解，写出通解：
、在x?
x?
4x?
2x?
02x?
3x?
x?
4?
?
3221413?
?
x?
2x?
4x?
?
5x?
x?
x?
2x?
0?
?
1
（2））（3212341?
?
3x?
x?
7x?
2x?
03x?
8x?
2x?
13?
?
3121243?
?
x?
3x?
12x?
6x?
04x?
x?
9x?
?
6?
?
32314211：
编写程序如下解：
（）formatrat
A=[1-14-2;1-1-12;317-2;1-3-126];
a=rank（A）
ifa==4
fprintf（'该方程组只有零解\n'）
elsea<4
fprintf（'该方程组有多组解\n'）
a=null（A,'r'）;
symsk1k2
x=k1*a（:
1）+k2*a（:
2）
end
运行结果：
a=
4
该方程组只有零解
（2）编写程序如下：
线性代数实验报告
formatrat
B=[2314;1-24-5;38-213;4-19-6];
rref（B）
运行结果：
ans=
102-1
01-12
0000
0000
分析：
的增广矩阵的最简型可知，该方程组有无穷多组解。
由B编程如下：
formatrat
）;'r'a=null（B,k2symsk1
x=k1*a（:
1）+k2*a（:
2）
运行结果如下：
x=
[-2*k1+k2]
k1-2*k2][
k1][
k2][
分析：
k1,k2为自由未知量，则该方程组的通解为：
记x3,x4X1=-2*k1+k2
X2=k1-2*k2
X3=k1
X4=k2
2?
22?
?
?
?
.
5为对角阵、化方阵4?
5A?
2?
?
?
?
5?
2?
4?
?
解：
编写程序如下：
formatrat
A=[22-2;25-4;-2-45];
[tx,tz]=eig（A）
运行结果：
线性代数实验报告
tx=
-963/32302584/28891/3
-963/1615-1292/28892/3
-963/12920-2/3
tz=
100
010
0010
分析：
由以上运行结果可直接得出：
A的对角矩阵为tz=
100
010
0010
6化为标准型。
、求一个正交变换，将二次型222x6?
xx?
6xx5x?
5x3?
x?
2xf?
312332112解：
编写程序如下：
A=[5-13;-15-3;3-33];
[P,D]=eig（A）
运行结果：
P=
0.40820.7071-0.5774
-0.40820.70710.5774
-0.81650-0.5774
D=
-0.000000
04.00000
009.0000
分析与结论：
P为：
由以上运行结果可知，求得的正交向量P=
0.40820.7071-0.5774
-0.40820.70710.5774
-0.81650-0.5774
使得Ap=diag（0,4,9）.
因此，通过正交变换X=py，可以将f化为标准型：
+9.
f=4
线性代数实验报告
第二次实验题目
一、实验目的
（1）熟悉三维空间中的线性变换，加深对正交变换保持距离不变性的理解
（2）深刻理解矩阵特征值的内涵
二、问题求解和程序设计流程
211?
?
?
?
3232?
?
41?
?
.?
是正交矩阵A?
0?
?
323?
?
121?
?
?
?
?
3223?
?
问题：
（1）使用图形窗口的旋转工具，你发现了什么问题？
你能否说明上述向量序列（点）分布在两个不同的圆周上？
若是，你如何证明以及这两个圆的方程是什么？
（2）例4与例5生成向量序列（点）在空间分布“形状”不同是因为什么？
分别计算例4和例5中变换矩阵的行列式与特征值，你发现了什么？
（3）若上述变换矩阵为实对称正交矩阵，情况又如何？
（4）如果每次迭代的正交矩阵也在变化，即x?
Ax,k?
0,1,2,?
kk?
k1你如何描述上面迭代生成的迭代序列？
解：
（1）因为进行迭代并执行程序得：
编写程序：
x=rand（3,1）
A=[2/3,1/sqrt
（2）,1/（3*sqrt
（2））;1/3,0,-4/（3*sqrt
（2））;2/3,-1/sqrt
（2）,1/（3*sqrt
（2））];
ax=x;
n=100;
fork=1:
n
x=A*x;
ax=[ax,x];
end
plot3（ax（1,:
）,ax（2,:
）,ax（3,:
）,'*'）
运行结果:
x=
线性代数实验报告
0.9134
0.6324
0.0975
可以观察到上述向量序列（点）分布在两个不同的圆周上。
验证如下：
编写程序如下：
x=[0.9134;0.6324;0.0975];
A=[2/3,1/sqrt
（2）,1/（3*sqrt
（2））;1/3,0,-4/（3*sqrt
（2））;2/3,-1/sqrt
（2）,1/（3*sqrt
（2））];
ax=x;
n=100;
fork=1:
n
x=A*x;
ax=[ax,x];
end
fork=1:
99
dot（cross（ax（:
k）,ax（:
k+1））,ax（:
k+2））
end
运行结果:
ans=
-0.2232
ans=
0.2232
ans=
-0.2232
ans=
线性代数实验报告
0.2232
ans=
-0.2232
运行结果按照上述规律依次排列。
分析与结论：
因为三个向量混合积的结果为相隔一个分别相等，所以可以形成两个半径不同的圆。
即上述向量序列（点）分布在两个不同的圆周上。
求圆方程如下：
编写程序如下：
x=[0.9134;0.6324;0.0975];
A=[2/3,1/sqrt
（2）,1/（3*sqrt
（2））;1/3,0,-4/（3*sqrt
（2））;2/3,-1/sqrt
（2）,1/（3*sqrt
（2））];
ax=x;
n=100;
fork=1:
n
x=A*x;
ax=[ax,x];
end
fork=3:
2:
99
ifnorm（ax（:
1）-ax（:
k））1）-ax（:
k+2））
d1=norm（ax（:
1）-ax（:
k+2））;
m1=ax（:
k+2）;
end
end
fort=4:
2:
98
ifnorm（ax（:
2）-ax（:
t））2）-ax（:
t+2））
d2=norm（ax（:
2）-ax（:
t+2））;
m2=ax（:
t+2）;
end
end
r1=d1/2
A=（x+m1）;
A=A';
r2=d2/2
B=（x+m2）;
B=B';
fprintf（'圆1的方程是：
（x-%.4f）^2+（y-%.4f）^2+（z-%.4f）^2=%.4f^2\n',A
（1）/2,A
（2）/2,A（3）/2,r1）
fprintf（'圆2的方程是：
（x-%.4f）^2+（y-%.4f）^2+（z-%.4f）^2=%.4f^2\n',B
（1）/2,B
（2）/2,B（3）/2,r2）
线性代数实验报告
运行结果：
r1=
1.1047
r2=
1.1047
圆1的方程是：
（x--0.0587）^2+（y-0.1072）^2+（z-0.0901）^2=1.1047^2
圆2的方程是：
（x--0.0315）^2+（y-0.1026）^2+（z--0.1381）^2=1.1047^2
分析与结论：
上述向量序列（点）分布在两个不同的圆周上，且该两圆半径相等。
（2）两者空间分布不同时由于变换矩阵的行列式互为相反数。
编程如下：
format
A=[-0.6068,0.4443,-0.6591;-0.4007,-0.8871,-0.2290;-0.6865,0.1251,0.7163];
B=[2/3,1/sqrt
（2）,1/（3*sqrt
（2））;1/3,0,-4/（3*sqrt
（2））;2/3,-1/sqrt
（2）,1/（3*sqrt
（2））];
[a,tza]=eig（A）
[b,tzb]=eig（B）
q=det（A）
w=det（B）
运行结果：
a=
0.3864+0.0000i-0.0081-0.6521i-0.0081+0.6521i
0.0298+0.0000i0.7068+0.0000i0.7068+0.0000i
-0.9219+0.0000i0.0195-0.2734i0.0195+0.2734i
tza=
1.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i-0.8888+0.4583i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.8888-0.4583i
b=
线性代数实验报告
0.3819+0.0000i0.6535+0.0000i0.6535+0.0000i
-0.6982+0.0000i0.2040+0.4633i0.2040-0.4633i
-0.6056+0.0000i0.1769-0.5342i0.1769+0.5342i
tzb=
-1.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i0.9512+0.3086i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.9512-0.3086i
q=
1.0000
w=
-1.0000
分析与结论：
由于两矩阵一行列式为1，另一为-1，导致结果不同。
（3）编写程序如下：
x=rand（3,1）
A=[100;010;001];
ax=x;
n=100;
fork=1:
n
x=A*x;
ax=[ax,x];
end
plot3（ax（1,:
）,ax（2,:
）,ax（3,:
）,'*'）
运行结果：
分析与结论：
线性代数实验报告
选取最简单的以实对称正交矩阵，单位矩阵。
得到上述结果，只有一个点。
（4）编写程序如下：
x=rand（3,1）;
A=rand（3,3）;
ax=x;
n=100;
fork=1:
n
B=rand（3,3）;
A=orth（B）;
x=A*x;
ax=[ax,x];
end
plot3（ax（1,:
）,ax（2,:
）,ax（3,:
）,'*'）
运行结果：
分析与结论：
增大时，形成的球体越规n由n+1个点够成一个球，且当上述程序中循环次数1000时，结果如下：
整。
如当n取
三、实验总结与体会
线性代数实验报告
通过此次对matlab的上机学习，我掌握了其基本操作方法，对利用matlab
对矩阵进行基本计算，和基本编程都有了了解与学习，，并对matlab在矩阵方面的应用有了一定程度的了解和认识。
学会了如何用matlab对实际线性代数问题进行解决，可以利用matlab进行基本的运算和编程操作，对矩阵的运算有了进一步的了解。
掌握了：
1MATLAB的矩阵初等运算；．熟悉2．掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令；3MABLAB求解线性方程组．会用但在学习中还发现一些问题：
（1）如对较复杂的方程组求解过程还需进一步学习与掌握；
（2）在解决问题时应灵活处理，并力争去寻找其最简方法；
（3）应进一步强化自己对矩阵相关知识的理解，学会将个方面知识串通起来灵活运用。
在今后的学习和工作中，应进一步深入学习matlab，使自己熟练掌握其应用，并利用Matlab平台对线性代数矩阵问题进行学习。
41．
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