小升初数学总复习 行程专题.docx

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小升初数学总复习行程专题

小升初总复习行程专题

【※平均速度※】平均速度=总路程÷总时间，只有分段时间相等时才等于速度的平均。

【例1】

【分析与解】设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：

（x+2x）÷（x÷22.5+2x÷36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关。

因此共需要72÷30＝2.4（时）。

【例2】

【分析与解】解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟

解法2：

设走一半路程时间是x分钟，则80*x+70*x=6*1000，解方程得：

x=40分钟,因为80*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟。

答：

他走后一半路程用了42.5分钟。

【例3】

【分析与解】由于要求速度的比例关系，所以可将原定速度设13，那么前半路程速度为11，然后假设总路程的一半的长度为143，那么原定总时间为143×2÷13＝22．而前半段时间为143÷11＝13，所以后半段时间为22－13＝9，后半段速度为143÷9＝

所以所求比例为

【评析】因为求的是“比”，所以可充分运用“特殊值法”。

【例4】

【分析与解】设总路程中上坡的路程为“1”个单位．那么下坡的路程也为“1”个单位，上坡所花的时间为

，下坡所花的时间为

，上坡下坡所花的总时间为

，所以在坡路上的平均速度为

，学生们在平路和坡地上的平均速度都等于4千米／小时，所以他们整个春游中的平均速度为4千米／小时，6个小时中一共行走了6×4=24（千米／小时）.

【※2倍关系解线段多次相遇问题※】

两段同时出发的线段多次相遇问题：

全程数，各自的时间，各自所行路程的2倍关系解题。

环形跑道：

每相遇一次，总路程多了一圈，不存在以上关系。

所以如果速度和不变，则每相遇一次所用时间相同。

【例1】

【分析与解】画图易知，利用路程的2倍关系，第二次相遇的地点距离B点：

（30×2－10）÷2=25公里；

所以

（1）A，B两地距离30＋10＋25=65公里；

（2）甲，乙的速度比为30：

35=6：

7

【例2】

【分析与解】2倍关系，确定第二次相遇点在第一次相遇点的左还是右，最后得到答案为4:

5，可解得答案为80千米。

【例3】

【分析与解】按2倍关系，确定第二次相遇点在第一次相遇点的左还是右，最后得到答案为4:

5

【例4】

【提示】假设A、B两地相距单位“1”，确定第一次相遇时，甲、乙两人的行程．甲、乙两人第四次相遇时行程共为2×4－1＝7，第五次相遇时行程共为2×5－1＝9.

【解】假设A、B两地相距单位“1”，甲乙两人第四次相遇时行程共为2×4－1＝7，第五次相遇时行程共为2×5－l＝9．第四次相遇时甲走了

，第五次相遇时甲走了

，可见两次相遇地点相距

，所以A、B全程两地为150÷

=250（米）

【※相遇次数※】在求一段时间内的相遇次数常用时间折线图求解。

例如：

假设A、B两地相距6千米，甲从A地出发在A、B两地间往返运动，速度为6千米／小时，乙从B地出发．在A、B两地间往返运动，速度为4千米／小时．我们可以依次求出甲、乙每次到达A地或B地的时间．

折线示意图能将整个行程过程比较清晰地呈现出来．

（1）相遇次数：

迎面相遇与追及相遇。

（2）相遇点距两端的距离远近。

（3）周期。

（4）迎面相遇时所行全程数：

1、3、5、……，全程数=2倍迎面相遇次数－1。

【例1】

【分析与解】作图法，分别算出两人到达两端的时间，最后可得共相遇5×（12÷3）=20次。

【例2】

【分析与解】根据题意,两车所行速度比为30︰20=3︰2,所以两车各行完一个单程所需要时间比为2︰3,

可作两车运动的折线图如下:

由图可知,每五次相遇时,共行了十个单程程,正好是一个周期,（这个周期应看作包括五相遇点,第六次应算作下一个周期.）所以每行两个单程相遇一次，所以根据甲乙速度和与时间,求出甲乙共行了多少个单程:

从早上5:

00到晚上6:

00,共行了13时,（30+20）×13÷4=162（个）……2（千米），162÷2=81（次）

【例3】

【分析与解】甲、乙的运行图如下，图中实线为甲，虚线为乙。

图上每一格代表5分钟。

由上图知，第2次相遇时距B地最近。

第2次相遇时两人共行两个来回，用

1100×4÷（60+160）=20分。

距B地60×20-1100=100米。

【评析】行程问题的时间折线图在两人两地多次往返问题中常常用到.

【例4】

【分析与解】当两人的行程和分别为100米，300米，500米，…时，恰好是他们第1次，第2次，第3次，…相遇，10分钟两人共跑了（3＋2）×60×10＝3000（米），即300÷100＝30个全程．我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇（不包括追上）1,3,5,7，…29．共15次．

【评析】这道题只是求相遇次数（不含追上），所以可以这样处理，如果含追上只能用时间拆线图。

【例5】

【分析与解】运用“折线示意图”来解．从“8：

30”引出的线段与其他线段一共有5个端点，所以8：

30从A站发出的车一共遇到5辆从B站发出的车，同样的9：

00从A站发出的车一共遇到6辆从B站发出的车，11：

00从A站发出的车一共遇到3辆从B站发出的车．

【评析】运用“折线示意图”能很好地说明整个行程过程．

【※多人追及与相遇问题※】画关键时刻示意图，分析两两是追及还是相遇问题，步步求解。

【例1】

【分析】：

　画图如下：

结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（40＋60）×15=1500（米）。

又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50-40＝10（米/分），这样就可求出乙从B到C的时间为1500÷10＝150（分钟），也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。

【解】：

①甲和丙15分钟的相遇路程：

（40＋60）×15=1500（米）。

　　②乙和丙的速度差：

　　50-40=10（米/分钟）。

　　③甲和乙的相遇时间：

　　1500÷10=150（分钟）。

　　④A、B两地间的距离：

　　（50＋60）×150＝16500（米）＝16.5千米。

答：

A、B两地间的距离是16.5千米.

【评析】对于多人行程，一般的解题思路仍然是从两人之间“抓等量”，不过因为是多人，请注意某两人之间的等量与另外两人之间的等量的同一关系。

具体来说，本题的要点在于：

甲乙两人的相遇时间=乙丙两人的追及时间,乙丙两人的路程差（这是追及关系的标志）=甲丙两人的路程和.

总体来说，要看出本题的两次相遇和一次追及关系。

【例2】

【分析与解】甲与丙行驶7分钟的距离差为（1000－800）×7＝1400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了14－7＝7（分）追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为1400÷（14－7）＝200（米／分），骑摩托车人的速度为800－200＝600（米／分），三辆车与骑摩托车人的初始距离为（1000－600）×7=2800（米）,乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为2800÷8＋600＝950（米／分）.

【例3】

【分析与解】火车速度为30×1000÷60＝500（米／分）．要求军人与农民何时相遇，必须先知道军人和农民的速度．由题目条件可知，从军人被火车头追上到车尾离他而去，一共有15秒，这十五秒可以看做车尾追及军人的时间，所以根据追及公式，火车速度减去军人速度等于110÷（15－60）＝440（米／分），所以军人的速度为500－440＝60（米／分）．同理我们还可以求出农民的速度110÷（12÷60）－500＝50（米／分）.8点06分火车与农民相遇，所以8点时火车头与农民的距离为（500+50）×6＝3300（米）,

军人与农民相遇需要3300÷（60＋50）＝30（分）．此时的时间为8点30分．

【※环形跑道问题※】

【例1】

【分析与解】当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（300米）需300÷（90－70）＝15（分），此时甲走了90×15÷300＝4.5（条）边，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙．但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了，即甲从出发走5条边后可看到乙，共需

（分）即16分40秒．

【例2】

【分析与解】假设甲与乙休息次数相同（即第

（1）种情况）。

设甲不算休息共行了t秒。

根据甲比乙多行80米，可得方程

解得t=320（秒）。

甲走一条边需80÷

=35

（秒），因为320÷35

=9，所以甲正好走了9条边，假设成立。

甲休息了9-1=8（次），甲追上乙共需320+5×8=360（秒）=6分钟。

甲走了9条边，追上的位置在B点。

【补充】

【提示】“逗号”的周长与外圆的周长相等（2πr）．都是40厘米。

所以可以假设两只蚂蚁在同一段跑道上，求出相遇点后再进行判断．乙比甲多爬半圈，即20厘米需20÷（5－3）＝l0（秒），多爬1.5圈需60÷（5－3）＝30（秒）.

【分析与解】“逗号”的周长与外圆的周长相等，都是40厘米，所以可以假设两只蚂蚁在同一段跑道上，乙比甲多爬半圈，即20厘米需20÷（5－3）＝10（秒），多爬1.5圈需60÷（5－3）＝30（秒）．第一次乙比甲多爬20厘米时，甲爬了30厘米，位于圆内的弧线上，而乙位于外圆周上．两只蚂蚁没有相遇．

乙比甲多爬60厘米需60÷（5－3）＝30（秒）．此时两只蚂蚁都在外圆周上，是第一次相遇，乙爬了5×30＝150（厘米）.

【例3】

【分析与解】第一次在B1点相遇，甲、乙共跑了400厘米（见左下图）。

第二次在B

点相遇，甲、乙共跑了700厘米（见右上图）。

同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。

共用时间（400+700+700）÷（6+4）=180（秒），

甲跑了6×180=1080（厘米），

距A点400×3—1080=120（厘米）。

【评析】多次相遇问题时，有一种常见思考方法——分段考虑。

【例4】

【分析与解】分析各个时间段甲、乙两人的行程．C表示甲、乙第一次相遇的地点．因为乙从B地到C地和从C地又返回B地时所花的时间相等，而整个过程中甲恰好转一圈回到A地，所以甲、乙在C地第一次相遇时，甲刚好走了半圈．C地距B地180－90＝90（米）．而甲从A地到C地用了180÷20＝9（分），所以乙每分行驶90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相遇，即分别同时从A、B地出发相向而行相遇还需要90÷（20+10）＝3（分钟）.

【例5】

【分析与解】如下图，长方形ABCD中AB︰BC=5︰4。

将AB，CD边各5等分，BC，DA边各4等分。

设每份长度为a。

由于两只蚂蚁第一次在B点相遇，所以第一只蚂蚁走5a,第二只蚂蚁走4a.接下来，第一只蚂蚁由B走到E点时，第二只蚂蚁由B走到F点，再接下来，当第一只蚂蚁由E走到G点时，第二只蚂蚁由F也走到G，这时，两只蚂蚁第二次相遇在DA边上。

【例6】

【分析与解1】先来详细讨论一下：

（1）先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时,他们相差30厘米,每秒钟B能追上C的路程为5-3=2（厘米）;30÷（5-3）=15（秒）.因此,15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置,B要追上C一圈,也就是追上90厘米,需要90÷（5-3）=45（秒）.B与C到达同一位置,出发后的秒数是15,60,105,150,195，…

（2）再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是出发后30÷（10-5）=6（秒）,以后再要到达同一位置是A追上B一圈,需要90÷（10-5）=18（秒）.A与B到达同一位置,出发后的秒数是6,24,42,60,78,96,…对照两行列出的秒数,就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.

【例7】

【分析与解】对于这一种类型,我们可以先求出A追上B用时：

90÷（10-5）=18（秒）；

B追上C用时：

90÷（5-3）=45（秒）；那么，当A追上B且B追上C时，也就是A追上C，则三人同时到某一点，这个时间既是18的倍数，又是45的倍数，则最小是[18，45]=90（秒）

【评析】由此，可以看出，多人行程也好，多次相遇也好，行程题的数量关系在用了相遇或者追及关系以外，还可能出现诸如最小公倍数之类的数论知识。

【例8】

【分析与解】对于这一类型，其实整合了例6，例7。

即，我们算出第一次到某一点的时间是60秒，以后每一次到达同一位置的时间还需90秒，那么，可以得到：

60+90×（8-1）=690（秒）。

【※发车间隔问题※】常常用到等量代换，列方程解题。

【例1】

【分析与解】设两车之间相距S．发车间隔时间为t．根据公式得

【例2】

【分析与解】题目条件涉及到的数量关系有

汽车间距＝（公交速度－骑车速度）×9分钟，汽车间距＝（出租车速度－公交速度）×9分钟．

所以，公交速度－骑车速度＝出租车速度－公交速度。

将上面这条等式变形得到，公交速度＝（骑车速度＋出租车速度）÷2＝3×骑车速度。

所以公交车站每隔6分钟发一辆公交车．

【评析】等量代换，超车问题。

【※超车、错车、会车、过桥问题※】

【例1】

解法一：

画出图示，知两车为一相遇问题（推荐解法错车问题肯定是相遇问题）

货车总长

=0.52（千米）；

则两车的速度和为0.52÷

=104（千米/小时）

货车的速度为104-60=44（千米/小时）

解法二：

货车总长

=0.52（千米）；

客车行进的距离60×

=0.3（千米）

货车行进的距离0.52-0.3=0.22（千米）

货车的速度：

0.22÷

=44（千米/小时）

【例2】

解法一：

用火车问题常用公式求解（推荐解法火车过桥问题常用“速度=路程差÷时间差”来求解）

如果后来的速度不增加，则用时为96÷（4/5）=96×（5/4）=120秒，根据“速度=路程差÷时间差”得火车通过隧道的速度为：

（864-320）÷（120-52）=8（米/秒），所以过大桥时的速度为8×（5/4）=10（米/秒）

火车车长=52×8-320=96（米）

说明：

请学生思考车长如何求解。

并说明“速度=路程差÷时间差”的得来。

解法二：

列方程求解,设火车长x米，根据速度可列方程

（864+96）÷96=10（米/秒）

说明：

请学生说明解法二与解法一的内在联系。

【例3】

【分析与解】错车问题是典型的相遇问题。

慢车速度为250÷5÷（1+1.5）=20（米/秒）快车速度为20×1.5=30（米/秒）

【评析】请注意是坐在慢车上的人所记时间对应路程为快车车长，

请学生思考：

那么坐在快车上的人记了一个时间呢？

【※流水行船问题※】

【例1】

【分析与解】甲船上行需要10小时，则甲船逆水速度为360÷10=36千米/时

甲船下行需要5小时，则甲船顺水速度为360÷5=72千米/时

水速为（72-36）÷2=18（千米）又乙船上行需要15小时，则乙船逆水速度360÷15=24千米/时

乙船船速24+18=42千米/时乙船顺水速度42+18=60千米/时

乙船下行时间360÷6=6（小时）

【评析】1.在流水行程问题中，对于“静水速度、水流速度、逆水速度、顺水速度”四个量，只要知道其中两个量，就可以求出另外两个量。

知道这个关系对我们求流水问题很有必要。

2.基本公式：

顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速

高级公式：

船速=（顺+逆）÷2，水速=（顺-逆）÷2

【例2】

【分析与解】注意画图帮助学生分析.该人丢失水壶后继续逆流而上20分钟，水壶顺流而下：

速度和=该人的逆水速度+水速=该人的静水速度-水速+水速=该人的静水速度，该人与水壶的距离=二者速度和×时间=20×该人的静水速度．该人发现水壶丢失后返回，与水壶一同顺流而下．二者速度差=该人的静水速度，追及距离=该人的静水速度×追及时间，追及时间=2÷水速，所以有：

20×该人的静水速度=2÷水速×该人的静水速度，所以水速=1/10，追及时间=2÷水速=20分钟.

【例3】

【分析与解】船速：

1000÷4=250（米/分）。

　　相遇时间：

45000÷250=180（分）=3（小时）.

【评析】同为顺水或同为逆水时的追及问题，求解追及时间时，速度差与水速无关。

一顺一逆的相遇问题，求解相遇时间时，速度和与水速无关。

【例4】

【分析与解】首先，两艘船从相距15千米的两港出发后5小时，其中一艘船赶上另一艘船，可得

货船静水速度－游船静水速度＝15÷5＝3（千米／小时），即这两艘船的静水速度差为3千米／小时．

因为两艘船的速度差为3千米／小时，所以一小时后两船之间的距离为3千米．又过了6分钟，货船与物品之间的距离可以表示为货船静水速度×6分钟．因此货船回去找物品所需要的时间为：

货船静水速度×6分钟÷货船静水速度＝6分钟．

所以从物品掉落到两艘船相遇，共过了12分钟，即游船追上掉落的物品之间距离花了12分钟，即0.2小时．游船静水速度×0.2小时＝3千米，游船的静水速度为15千米／小时．

【例5】

【提示】首先应该知道水的速度就是物品移动的速度，船与物品的相对速度（单位时间的距离变化）与船的静水速度相等．由于甲、乙两船同时碰到物品，所以从甲掉头到两船相遇，两船与物品的距离总是相等的，甲船掉头之时，两船距离物品都是30千米．

【分析与解】首先应该知道水的速度就是物品的速度，船与物品的相对速度（单位时间的距离变化）与船的静水速度相等．而从两船出发到甲船掉头，两船之间无论顺水速度差、静水速度差还是逆水速度差都相等，所以两船之间的距离总是保持60千米不变．

由于甲、乙两船同时碰到物品，所以从甲掉头到两船相遇，两船与物品的距离总是相等的，甲船掉头之时，两船距离物品都是30千米，甲船到物品这段距离所用时间，相当于船在静水中航行30千米的时间．在这段时间内，河水流动了30÷6＝5（千米），所以甲掉头时，已经行驶了30－5＝25（千米）.

【例6】

【分析与解】这道题涉及到两个人在3种水流环境中的6种速度，所以整个行程过程非常复杂．但如果各个速度之间的关系已知，那么只要知道其中一个速度就可以求得所有的速度．设乙的静水速度为x米／秒，根据两人的第一次相遇时时间相等，可列出方程

解得x＝3，所以甲的速度为4千米/秒

则甲游一圈需要

，乙游一圈需要

，

5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多

秒，多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈．因为每次两人相遇时，他们的游程之和增加了一圈，所以两人共相遇了5次．

【评析】本题综合了方程，流水行船，环形跑道问题，是一道很好的综合题，学生应该好好把握。

【※扶梯问题※】

（1）基本公式：

顺行速度=人速＋扶梯运行速度，顺行路程=扶梯长度=顺行速度×顺向时间

逆行速度=人速－扶梯运行速度，逆行路程=扶梯长度=逆行速度×逆向时间

（2）高级公式：

扶梯长度是一定的，所以我们常用扶梯长度相等列等式，利用时间比巧解扶梯问题。

扶梯长度=顺行路程=人速×顺行时间＋扶梯速度×顺行时间=人行路程＋扶梯行走路程

扶梯长度=逆行路程=人速×逆行时间－扶梯速度×逆行时间=人行路程－扶梯行走路程

【例1】

【分析与解】解题关键是找出两人上下楼的时间比．因为男孩的速度是女孩的2倍．所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，女孩顺行，男孩逆行，所行总路程都为扶梯静止时的长度。

扶梯长=80－扶梯速度×时间=20＋扶梯速度×时间,所以“扶梯速度×时间”为（80-40）÷2=20，所以扶梯长为80-20=60（级）。

【评析】因为此题中两人行走的时间即扶梯运行的时间相等，所以男孩多行走的路程等于女孩少行走的路程，可以不用列出方程直接利用和差问题公式算出扶梯运行级数，但是当时间不相等时．就应该根据电梯问题中的两个基本关系式，列出方程进行解答．对于扶梯问题建议大家根据扶梯长度相等列方程求解。

【例2】

【分析与解】扶梯长度=120-扶梯速度×（120÷2）×a=90＋扶梯速度×（90÷1）×a，化简可得：

120－60a=90+90a,所以150a=30,60a=12,自动扶梯静止时的可见长度=120-12=108（级）

【例3】

【分析与解】扶梯长度=20+（20÷1）×扶梯速度=30+（30÷2）×扶梯速度，可得5×扶梯速度=10，则扶梯速度为每秒2级，扶梯长度=20+20×2=60（级）

【例4】

【分析与解】自动扶梯长度=28×2＋28×扶梯速度=20×3＋20×扶梯速度，得扶梯速度=0.5（级/秒），

扶梯长度=56＋28×0.5=70（级），70÷2=35（秒）

【※行程中的比例问题※】

【例1】甲

【分析与解1】从甲出发到相遇两人走的路程之比是5︰4=15︰12,

而相遇地点离A，B两地距离之比是3︰4=15︰20,说明乙走的336米占全程的

，

所以，全程为336÷

=1470（米）

【分析与解2】

如图，由题意知AD︰DC=5︰4；AD︰DB=3︰4,所以可以把AD看作“1”的量，BC=（

-

）AD

所以AD=336÷（

-

）=630（米）,所以AB=630÷3×7=1470（米）

【评析】本题综合运用了比例关系，解法1考虑通比，通比的要点的是“不变量”为中介，而解法2运用“量率对应”思想，要点在于“以不变量为单位‘1’”。

【例2】

【分析提示】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系．

【分析与解】由于两班速度相同，所以要使时间最少，必须同时出发，同时到达，因此行走的路程要相同，即AD＝CB，画图如下：

在某一班行走CB的时间内，车行走的路程就是C→A→B，即CB+BA+AB，这样得出CB:

（CB+BA+AB）=4:

48=1:

12,该比例式可以化为：

。

所以CB和总路程的比为1:

（l+5.5+1）＝1：

7.5＝2：

15，CB的长度为15÷15×2＝2（千米）.所以每个班步行的距离为2千米．

【评析】此题的解决主要有两个关键点：

①两个班的行走路程一样．②找出步行与汽车在相同时间内行走的路程，根据路程与速度成正比的关系得出相应路程的比例关系，最终求出答案．

线段图及份数关系可以帮助我们直观清晰地解决这样一类“接送问题”.

【例3】

【分析提示】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系．

【分析与解】由于题目条件只涉及速度和总路程，所以如果要求出时间必须首先将速度和路程对应起来，即明确学生或者大巴车的行程路段，因此我们应该画出整个行程过程的线段示意图，如下图：

图中虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11倍，所以大巴车第一次折返点D地到出发点A地的距