高考数学技巧均值不等式问题拼凑8法.docx

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高考数学技巧均值不等式问题拼凑8法

高考数学技巧：

均值不等式问题—拼凑8法

一、拼凑定和

通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１已知，求函数的最大值。

解：

。

当且仅当，即时，上式取“=”。

故。

评注：

通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2求函数的最大值。

解：

。

因，

当且仅当，即时，上式取“=”。

故。

评注：

将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3已知，求函数的最大值。

解：

。

当且仅当，即时，上式取“=”。

故，又。

二、拼凑定积

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件

例4设，求函数的最小值。

解：

。

当且仅当时，上式取“=”。

故。

评注：

有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。

例5已知，求函数的最大值。

解：

，。

当且仅当时，上式取“=”。

故。

评注：

有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。

例6已知，求函数的最小值。

解：

因为，所以，令，则。

所以。

当且仅当，即时，上式取“=”。

故。

评注：

通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。

三、拼凑常数降幂

例7若，求证：

。

分析：

基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。

本题已知与要求证的条件是，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。

证明：

。

当且仅当时，上述各式取“=”，

故原不等式得证。

评注：

本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。

例8若，求的最大值。

解：

。

当且仅当时，上述各式取“=”，故的最大值为7。

例9已知，求证：

。

证明：

，

，又，

。

当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

四、拼凑常数升幂

例10若，且，求证。

分析：

已知与要求证的不等式都是关于的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是，故应拼凑，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。

证明：

，

。

当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

例11若，求证：

。

证明：

。

又。

当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

五、约分配凑

通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。

例12已知，求的最小值。

解：

。

当且仅当时，即，上式取“=”，故。

例13已知，求函数的最小值。

解：

因为，所以。

所以。

当且仅当时，即，上式取“=”，故。

例14若，求证。

分析：

注意结构特征：

要求证的不等式是关于的轮换对称式，当时，等式成立。

此时，

设，解得，所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。

证明：

。

。

当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

六、引入参数拼凑

某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。

例15已知，且，求的最小值。

解：

设，故有。

。

当且仅当同时成立时上述不等式取“=”，

即，代入，解得，此时，故的最小值为36

七、引入对偶式拼凑

根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。

例16设为互不相等的正整数，求证。

证明：

记，构造对偶式，

则，

当且仅当时，等号成立。

又因为为互不相等的正整数，

所以，因此

评注：

本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。

八、确立主元拼凑

在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。

例17在中，证明

分析：

为轮换对称式，即的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。

证明：

当时，原不等式显然成立。

当时，

当且仅当，即为正三角形时，原不等式等号成立。

综上所述，原不等式成立。

评注：

变形后选择A为主元，先把A看作常量，B、C看作变量，把B、C这两个变量集中到，然后利用的最大值为1将其整体消元，最后再回到A这个主元，变中求定。

综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解。

这种运用等号成立条件的拼凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力。