初高中数学衔接知识点专题Word格式.docx

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就叫做繁分式，如

mnp2mnp

，

说明：

繁分式的化简常用以下两种方法：

（1）利用除法法则；

（2）利用分式的基本性质．[3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；

而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

-1-

【例题选讲】

例1解下列不等式：

（1）x21

（2）x1x3＞4．

例2计算：

（1

）（x21

3）2

（2）（m5112n）（1

25m21

10mn1

4n）2

（3）（a2）（a2）（a44a216）（4）（x22xyy2）（x2xyy2）2

例3已知x23x10，求x

例4已知abc0，求a（1

b1

c）b（1

c1

a）c（1

a1

b）的值．31x3的值．

例5计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）：

3

（1）

x1）

例6

设x

y（4）

，求xy的值．33

-2-

例7化简：

（1）

x1x

x

1x

xx

x3x9x27

2

6x9xx

3

x162x

（1）解法一：

原式=

1xx1x

x

x

x（1x）x（x1）（x1）

xx

xxx1

xxxxx1

x（x1）

x（x1）x

x1x

解法二：

（1x）xx

1（x）x

x（1x）x1

xxx

x1

（2）解：

x3x9（x3）（x3x9）

6xx（9x）

x12（3x）（x3）

1x3

6（x3）（x3）

x12（x3）

2（x3）12（x1）（x3）

2（x3）（x3）

3x2（x3）

（1）分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；

（2）分式的计算结果应是最简分式或整式．

【巩固练习】

1．解不等式x3x7

2．

1y

1，求代数式

xxyy

xy

22

的值．

3．当3aab2b0（a0,b0），求

ab

ba

abab

4．

12

，求xx2x1的值．

42

5．计算（xyz）（xyz）（xyz）（xyz）

6．化简或计算：

-3-

（1）

（2）

xyy

（4）

★专题二因式分解

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法

常用的乘法公式：

．[4]（abc）2[5]a3b3[6]a3b3

（立方和公式）（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．

2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：

（1）分组后能提取公因式

（2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法

（1）x（pq）xpq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

①二次项系数是1；

②常数项是两个数之积；

③一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵x（pq）xpqxpxqxpqx（xp）q（xp）（xp）（xq），∴x（pq）xpq（xp）（xq）

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

（2）一般二次三项式axbxc型的因式分解

由a1a2x（a1c2a2c1）xc1c2（a1xc1）（a2xc2）我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c

分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成

a1

a2

c12，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2

c

a2c1，如果它正好

等于axbxc的一次项系数b，那么axbxc就可以分解成（a1xc1）（a2xc2），其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：

（1）配方法

（2）拆、添项法

-4-

例1（公式法）分解因式：

（1）3a3b81b4；

（2）a7ab6

例2（分组分解法）分解因式：

（1）ab（c2d2）（a2b2）cd

（2）2x24xy2y28z2

例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：

（1）x25x24

（2）x22x15

（3）x2xy6y2（4）（x2x）28（x2x）12解：

（1）24（3）8,（3）85x25x24[x（3）]（x8）（x3）（x8）

（2）15（5）3,（5）32x22x15[x（5）]（x3）（x5）（x3）

（3）分析：

把x2xy6y2看成x的二次三项式，这时常数项是6y2，一次项系数是y，把6y2分解成3y与2y的积，而3y（2y）y，正好是一次项系数．

解：

x2xy6y2x2yx62（x3y）（x2y）

（4）由换元思想，只要把x2x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式a8a12．解：

（xx）8（xx）12（xx6）（xx2）（x3）（x2）（x2）（x1）222222

例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：

（1）12x25x2；

（2）5x26xy8y2

（1）12x25x2（3x2）（4x1）

3411

52

（2）5x26xy8y2（x2y）（5x4y）4y2y

用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

例5（拆项法）分解因式x33x24

1．把下列各式分解因式：

（1）ab（cd）cd（ab）

（2）x4mx8mn4n

3223432（3）x64（4）x11x31x21（5）x4xy2xy8y

2．已知ab

-5-22222223,ab2，求代数式ab2abab的值．2222

3．现给出三个多项式，结果因式分解.

4．已知abc0，求证：

a3a2cb2cabcb30．

★专题三一元二次方程根与系数的关系

1．一元二次方程的根的判断式

一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法将其变形为：

．由于可以用b24ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b24ac叫做一元二次方程

axbxc0（a0）的根的判别式，表示为：

b4ac

xx1，

x3x1，

xx，请你选择其中两个进行加法运算，并把

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有

[1]当0时，方程有两个不相等的实数根：

[2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：

[3]当Δ0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系

定理：

如果一元二次方程axbxc0（a0）的两个根为x1,x2，那么：

x1x2

x1x2

一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·

x2＝q，即p＝－（x1＋x2），q＝x1·

x2，

222

所以，方程x＋px＋q＝0可化为x－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0．因此有

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0．

例1已知关于x的一元二次方程3x2xk0，根据下列条件，分别求出k的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；

（4）方程无实数根．

-6-

例2已知实数x、y满足x2y2xy2xy10，试求x、y的值．

例3若x1,x2是方程x22x20070的两个根，试求下列各式的值：

（1）x12x22；

1x1

1x2

（3）（x15）（x25）；

（4）|x1x2|．

例4已知x1,x2是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使（2x1x2）（x12x2）

（2）求使

x1x2

x2x1

32

成立？

若存在，求出k的值；

若不存在，请说明理由．

2的值为整数的实数k的整数值．

（1）假设存在实数k，使（2x1x2）（x12x2）

成立．∵一元二次方程4kx24kxk10的两

4k0

k0，又x1,x2是一元二次方程个实数根，∴2

（4k）44k（k1）16k0

4kx4kx

x1x21

的两个实数根，∴k10k1

x1x2

4k

k94k

32k

95

∴（2x1x2）（x12x2）2（x1x2）5x1x22（x1x2）9x1x2

，但k0．

∴不存在实数k，使（2x1x2）（x12x2）

（2）∵

2

x1x2

成立．

4

4kk1

4

4k1

（x1x2）x1x2

2的值

∴要使其值是整数，只需k1能被4整除，故k11,2,4，注意到k0，要使为整数的实数k的整数值为2,3,5．【巩固练习】

1．若x1,x2是方程2x6x30的两个根，则

A．2

B．2

1x112

1x2

的值为（

）D．

92

C．

2．若t是一元二次方程axbxc0（a0）的根，则判别式b4ac和完全平方式M（2atb）的关系是（）A．M

B．M

C．M

D．大小关系不能确定

x11,x21是关于x的方程xqxp0的两实根，3．设x1,x2是方程xpxq0的两实根，则p=

-7-

，q．

4．已知实数a,b,c满足a6b,c2ab9，则a，b=_____，c=_____．

5．已知关于x的方程x23xm0的两个实数根的平方和等于11，求证：

关于x的方程

（k3）xkmxm6m40有实数根．

6．若x1,x2是关于x的方程x2（2k1）xk210的两个实数根，且x1,x2都大于1．

★专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

1．平面直角坐标系

[1]叫做x轴或横轴，叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点o称为直角坐标系的原点。

[2]平面直角坐标系称y是x的一次函数，记为：

ykxb（k、b是常数，k≠0）

特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。

[2]正比例函数的图象与性质：

函数y=kx（k是常数，k≠0）象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；

当时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而．

[3]一次函数的图象与性质：

函数ykxb（k、b是常数，k≠0）的图象是过点（0，b）且与直线y=kx平行的

-8-

一条直线.设ykxb（k≠0），则当时，y随x的增大而；

当时，y随x的增大而．

[4]反比例函数的图象与性质：

函数yk

x（k≠0）是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象

限中，y随x的增大而；

当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线yx与yx；

又是中心对称图形，对称中心是原点．

例1已知A2,y1、Bx2,3，根据下列条件，求出A、B点坐标．

（1）A、B关于x轴对称；

（2）A、B关于y轴对称；

（3）A、B关于原点对称．

例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数yk

x的图象与一次函数ymxb的图象交于A（1，1）两点．3），B（n，

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：

当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

（1）A（1，3）在yk

x的图象上，k3，y3

x又B（n，1）在y3

x的图象

3mbn3上，，即B（3，解得：

m1，b2，反比例函数的1），13mb，

3解析式为y，一次函数的解析式为yx2，图（12）x

（2）从图象上可知，当x3或0x1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。

1．函数ykxm与ym

x（m0）在同一坐标系）

-9-

2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知AB

6，AD，求B,C,D点的坐标．

3．如图，已知直线y

（1）求k的值；

（2）过原点O的另一条直线l交双曲线y

kx

（k0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点P为顶点

A．

B．

D．

x与双曲线y

（k0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

★专题五二次函数

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

问题[1]函数y＝ax与y＝x的图象之间存在怎样的关系？

问题[2]函数y＝a（x＋h）＋k与y＝ax的图象之间存在怎样的关系？

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的方法：

由于y＝ax＋bx＋c＝a（x＋

4a2a4a4a

ax＋bx＋c（a≠0）的图象可以看作是将函数

y＝ax的图象作左右平移、上下平移得到的，

x）＋c＝a（x＋

x＋

b

）＋c－

a（x

）

b4ac

，所以，y＝

-10-

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）具有下列性质：

[1]当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；

顶点坐标为，对称轴为直

线；

当时，y随着x的增大而；

当时，函数取最小值．

[2]当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；

当时，函数取最大值．

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借

助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

2．二次函数的三种表示方式

[1]二次函数的三种表示方式：

（1）．一般式：

（2）．顶点式：

（3）．交点式：

．

确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

①给出三点坐标可利用一般式来求；

②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．

③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点（x1,0）.（x2,0）时可利用交点式来求．

3．分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？

并画出该函数的图象．

例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关

-11-

多少元？

此时每天的销售利润是多少？

例3已知函数yx2,2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

例4根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）；

（2）已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2；

（3）已知二次函数的图象过点（－1，－22），（0，－8），（2，8）．

例5在国（）

（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）

2

（2）函数y＝－x＋4x＋6的最值情况是（）

（A）有最大值6（B）有最小值6

（C）有最大值10（D）有最大值2

-12-

（3）函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（）

（A）－3≤y≤1（B）－7≤y≤1

（C）－7≤y≤11（D）－7≤y＜11

2．填空：

（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（1，0），且过点C（2，4），则该二次函数的表达

式为．

（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为．

3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，0），C（1，2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，2），且与x轴两交点间的距离为4．

4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已

知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？

5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

（1）求函数y的解析式；

C

（2）画出函数y的图像；

（3）求函数y的取值范围．

P

图2.2－10

★专题六二次函数的最值问题

1．二次函数yaxbxc（a0）的最值．

-13-2

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况（当a0时，函数在x无最大值；

当a0时，函数在xb

2ab2a处取得最小值4acb4a2，处取得最大值4acb

4a2，无最小值．

2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

3．求二次函数在某一范围

（2）yx3x4．

2例2当1x2时，求函数y