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NBA
NBA赛程的分析与评价
摘要
本文要求对NBA的赛程表进行定量分析评估。
故考虑层次分析法的模型（目标层：
各队的综合优势分；准则层：
“士气度”、“负疲劳度”；决策层：
30支球队）
为分析赛程对球队的利弊，分别考虑利因：
士气；弊因：
疲劳（其权重都为0.5）。
并计算相应的“士气度”、“疲劳度”。
最终求得各队的“综合优势分”，用它来评价赛程利弊：
若综合分=0，该队不占优势也不吃亏；若>0，则该队占优；若<0，则不利于该队。
考虑因连续比赛引起的疲劳（据此计算相应的疲劳指数，单位化成疲劳度），建模型一并求解，得出结论：
赛程对火箭队不利，对开拓者队最有利，对篮网、步行者最不利。
考虑因连续往返东西部比赛引起的疲劳（据此计算相应的疲劳指数，单位化成疲劳度），建模型二并求解，得出结论：
赛程对火箭队不利，对湖人队，国王队最有利，对森林狼队最不利。
问题三中，本文给出了选取赛三场的球队的方法。
作图示意所提的新赛程方案。
在选取安排的过程中，我们始终坚持尽可能均衡的原则.。
注意到每一支球队与同部不同区的6支队伍比赛4场（2主2客）的情况是比较均衡的状态，故先确定这6支队伍（剩余的4支就是赛3场的）。
为了使同部3个区的球队间保持均衡，因此这6支队伍，将分别从2个区中各找出3支（赛4场）。
显然，剩下的4支球队就是赛3场的（每区2支）
在确定赛4场的队伍时，我们尽量安排实力相当（均衡原则）的对手进行比赛（实力用区内排名来衡量）。
而每个区中剩下的2支球队就被安排赛3场，安排与其中较强的那个队进行2主1客，与其中较弱的那个队进行2客1主。
（这是为了平衡“客场”、“以弱对强”两项不利因素，避免出现极端情况弱队以2客一主对战强队）
最后我们对本文所提模型进一步思考，考虑可以改进之处：
比如在准则层中可以增加考虑对手强弱带来的影响。
比如提出新的更合理的疲劳度的量化准则：
连续两天往返东西部比赛（对该队的“疲劳指数”贡献了1分，）、连续两天往返不同区（同部）比赛（为与前面跨部拉开差距，不妨认为对该队的“疲劳指数”贡献了0.5分）。
关键词：
层次分析法、疲劳度、士气度、综合优势分
问题的提出
对于2008~2009新赛季，NBA将有1230场赛事，每支球队都要进行82场比赛。
现提供了2008~2009赛季常规赛的赛程表（附件1）及各球队分部、分区和排名情况（附件2）。
要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：
1）考虑在安排赛程时哪些因素会影响球队，并根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。
2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。
3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。
试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。
这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。
问题的假设与说明
说明：
题目所给数据有误，实际仅有1225场比赛记录，而非题目所提及的1230场比赛，本文就将错就错，进行建模求解分析。
假设一：
由赛程可知基本上同一支球队不会在同一天参加两场比赛，故忽略具体比赛时刻，只关注比赛日期。
假设二：
从2008-10-29到2009-4-16的常规赛阶段里，并不是每天都有比赛，（如圣诞节那天就没有安排比赛），故只关注有安排比赛的日期。
假设三：
“士气”这一利因及“疲劳”这一弊因重要性相同，权重W1=W2=0.5。
假设四：
如果某一球队打了一场主场比赛，休息了几天后再次比赛，仍然是主场的话，就认为它是连续主场比赛。
假设五：
球队连续两天进行比赛，由于没有休息，球员感到疲劳，就认为会对球队产生不利影响。
（模型一）
假设六：
球员在连续的两天里往返东西两部比赛时，由于长途旅行，会感到特别的疲劳，对其产生不利影响。
如果某一球队在东部（或西部）打了一场比赛，休息了几天后再次赶到西部（或东部）打比赛，就认为球员的疲劳已经通过休息得到缓解，对其没有不利影响。
至于球员在连续的两天里往返同部的赛区比赛，则对其没有不利影响。
（模型二）
符号说明
名称
符号
说明
新赛程表
SC
将所给赛程数字化后生成的1225×3的数表，包含了1225场比赛的相关信息（比赛日期、客队号码、主队号码），数据保存在文件book.xls
主场状态变量
ZC（I,J）
162×30的数表，表示第I个比赛日时第J队是否主场
（是主场则取值1，否则0）
客场状态变量
KC（I,J）
162×30的数表，表示第I个比赛日时第J队是否客场
（是客场则取值1，否则0）
主客场状态变量
ZKC（I,J）
162×30的数表，表示第I个比赛日时第J队的状态
（是主场则取值1，是客场则取值-1，不比赛则取值0）
主客场连续变量
ZKL（I,J）
82×30的数表，表示第J队在进行他的第I场比赛时（每队一共82场比赛）的状态，该表是上表的缩略版
分部比赛状态变量
FB（I,J）
162×30的数表，表示第I个比赛日时第J队的状态
（在东部则取值1，在西部则取值-1，不比赛则取值0）
士气分
sq
1×30的数表，表示第J队的连续主场次数
士气度
SQD
1×30的数表,对“士气分”向量作单位化处理
疲劳指数
pl
1×30的数表，
疲劳度
PLD
1×30的数表,为“疲劳指数”向量作单位化
权重向量
W
（W1,W2）分别对应了“士气”、“疲劳”两因素的权重
综合
优势分
Z
1×30的数表,
问题的简要分析
●为了分析赛程对球队的利弊，我们打算从利弊两方面来考虑因素。
从生活常识，我们很快想到“主场”是个有利的因素。
但注意到题目中提及每支球队的主客场数量相同（都是41场），显然单纯计算每支队伍的主场次数没什么用处。
于是我们关注每支球队连续主场作战的次数，以此得出士气分。
另一方面，我们也想到如果某支球队连续两天（或更久）进行比赛，势必会累积疲劳，形势不利。
于是，我们关注每支球队发生此类情况的次数，以此计算疲劳指数。
这样，本题就可看作是一个层次分析法的模型。
（目标层：
各队的综合优势；
准则层：
士气度、负疲劳度；决策层：
30支球队）
模型的准备
●为了能够定量分析赛程，首先利用excel对所给的赛程表作数字化处理：
1.根据假设一，只关注比赛日期，故删去“时刻”、“星期”两列的数据；
2.由假设二，只对有安排比赛的日期依序标号，非比赛日不予考虑，直接跳过，不标号。
并且保证同一日期对应的数字标号相同。
3.将30支球队按照附件二中所列次序分别标记1~30的球队号码。
4.得到新的赛程表：
1225*3的数表（见“模型的准备”文件夹中book文件）如下表示例：
1
12
6
1
15
14
1
23
26
2
9
2
…..
其第一列的数据表示是整个赛季的第几个比赛日，
其第二列的数据表示该场比赛的客队号码，
其第三列的数据表示该场比赛的主队号码。
●为了便于定量分析，我们需要从这张新的赛程表中产生出一些反映主场状态、客场状态等数表。
（每张表格中变量的含义可参考前文“符号的说明”）用mathcad软件编程实现了目的。
（程序及表格保存在“模型的准备”文件夹中）这里以计算主场状态表（162×30的数表，第I个比赛日时第J队是主场则取1，否则0）的程序为例说明我们的编程思路：
首先读取赛程表SC,分别取出第1、2、3列向量，命名为DAY、K、Z
下面确定162×30的数。
最外层是对i从1～162循环（对行循环）
内层是对j从1～30循环（对列循环）
最内层是对l从1~1225循环（1225条记录）
找到某条记录，其DAY值正好等于i，且Z值正好等于j，则令
第i行第j列元素为1，并中断最内层的循环。
当读完1225条记录仍然没有找到符合上述要求的记录，则令第i行第j列元素为0
建立模型（问题一）
●评价赛程利弊的数量指标——目标层
为了能够便于评价赛程的利弊。
我们不妨考虑士气”这一利因及“疲劳”这一弊因重要性相同，权重W1=W2=0.5。
又注意到“士气分”、“疲劳指数”的得分很可能不平衡，（如公务员招聘模型中面试满分16分，笔试满分300，不平衡），干脆将它们单位化成相应的士气度、疲劳度。
在层次分析法模型中，我们的目标是综合优势分，显然，疲劳度的增加会减少综合优势分。
这就是为什么，我们在准则层中考虑了负疲劳度。
这样我们就可以将各支队伍的综合优势分作为评价赛程利弊的指标。
如果综合优势分等于0，说明利弊正好互相抵消，该球队不占优却也不吃亏。
综合优势分大于0，说明利的影响超过了弊的影响，球队占优；且值越大，该队所占优势越大。
综合优势分小于0，说明利的影响不敌弊的影响，对球队不利；且值越小，对该队越不利。
●计算30支球队各自的士气分sq
对主客场连续表（82×30），针对每一列，统计“1”连续出现的情况，当连续出现两次1则认为士气分加1；若连续出现三次1，则认为士气分加2，以此类推。
利用mathcad软件编了程序实现这一算法。
（见“计算程序”文件夹）
●计算30支球队各自的疲劳指数pl
对主客场状态表（162×30），针对每一列，统计非零的数（1或-1）连续出现的次数。
此时说明该队连续比赛没有休息（休息对应“0”）利用mathcad软件编了程序实现这一算法。
（见“计算程序”文件夹中“计算各队疲劳指数（连续比赛）”文件）
●将士气分、疲劳指数单位化成相应的士气度SQD、疲劳度PLD
●计算30支球队的综合优势分Z
第i支球队的综合分Zi=W1*SQDi+W2*PLDi
模型的求解与分析（问题二）
●模型一
按照上述模型，得各队得分表
队号
士气分（sq）
士气度（SQD）
疲劳指数（pl）
疲劳度（PLD）
综合优势分（Z）
1
17
2.94%
18
2.88%
0.0003
2
17
2.94%
20
3.19%
-0.0013
3
23
3.97%
23
3.67%
0.0015
4
20
3.45%
22
3.51%
-0.0003
5
20
3.45%
19
3.04%
0.0021
6
18
3.11%
19
3.04%
0.0004
7
20
3.45%
19
3.04%
0.0021
8
18
3.11%
24
3.83%
-0.0036
9
16
2.76%
23
3.67%
-0.0046
10
19
3.28%
19
3.04%
0.0012
11
17
2.94%
15
2.40%
0.0027
12
17
2.94%
21
3.35%
-0.0021
13
15
2.59%
22
3.51%
-0.0046
14
19
3.28%
23
3.67%
-0.0020
15
20
3.45%
24
3.83%
-0.0019
16
19
3.28%
20
3.19%
0.0004
17
18
3.11%
21
3.35%
-0.0012
18
20
3.45%
23
3.67%
-0.0011
19
19
3.28%
18
2.88%
0.0020
20
19
3.28%
22
3.51%
-0.0012
21
20
3.45%
22
3.51%
-0.0003
22
21
3.63%
23
3.67%
-0.0002
23
24
4.15%
19
3.04%
0.0055
24
17
2.94%
24
3.83%
-0.0045
25
19
3.28%
20
3.19%
0.0004
26
22
3.80%
22
3.51%
0.0014
27
21
3.63%
20
3.19%
0.0022
28
21
3.63%
16
2.56%
0.0054
29
22
3.80%
21
3.35%
0.0022
30
21
3.63%
24
3.83%
-0.0010
结论：
1.从表中发现第23个队（开拓者队）综合分最高，即赛程对其最有利。
2.从表中发现第9、13个队（篮网队、步行者队）综合分最低，即赛程对其最不利。
3.火箭队的综合得分-0.0011<0，即赛程对火箭队不利。
●模型二
我们还注意到赛程中，有些队连续两场比赛在东西不同部。
显然，这对球队不利。
所以，我们不再从“是否连续比赛”的角度，定义疲劳度。
提出新的假设，见假设六，主要关注各支球队连续往返东西部的次数。
模型二大致类同模型一，只是计算30支球队各自的疲劳指数pl的方法不同：
对分部比赛的状态表（162×30的数表，表示第I个比赛日时第J队的状态，在东部则取值1，在西部则取值-1，不比赛则取值0），（见“模型准备”文件夹）
针对每一列，统计1和-1连续出现的次数。
利用mathcad软件编了程序实现这一算法。
（见“计算程序”文件夹中“各队疲劳指数（连续往返东西部）”文件）
经计算，得得各队得分表
队号
士气分（sq）
士气度（SQD）
疲劳指数（pl）
疲劳度（PLD）
综合优势分（Z）
1
17
2.94%
3
4.48%
-0.008
2
17
2.94%
1
1.49%
0.007
3
23
3.97%
2
2.99%
0.005
4
20
3.45%
3
4.48%
-0.005
5
20
3.45%
2
2.99%
0.002
6
18
3.11%
2
2.99%
0.001
7
20
3.45%
1
1.49%
0.010
8
18
3.11%
0
0.00%
0.016
9
16
2.76%
1
1.49%
0.006
10
19
3.28%
3
4.48%
-0.006
11
17
2.94%
1
1.49%
0.007
12
17
2.94%
0
0.00%
0.015
13
15
2.59%
0
0.00%
0.013
14
19
3.28%
2
2.99%
0.001
15
20
3.45%
5
7.46%
-0.020
16
19
3.28%
5
7.46%
-0.021
17
18
3.11%
5
7.46%
-0.022
18
20
3.45%
3
4.48%
-0.005
19
19
3.28%
2
2.99%
0.001
20
19
3.28%
7
10.45%
-0.036
21
20
3.45%
0
0.00%
0.017
22
21
3.63%
2
2.99%
0.003
23
24
4.15%
1
1.49%
0.013
24
17
2.94%
8
11.94%
-0.045
25
19
3.28%
4
5.97%
-0.013
26
22
3.80%
0
0.00%
0.019
27
21
3.63%
0
0.00%
0.018
28
21
3.63%
1
1.49%
0.011
29
22
3.80%
0
0.00%
0.019
30
21
3.63%
3
4.48%
-0.004
结论：
1.从表中发现第26、29个队（湖人队，国王队）综合分最高，即赛程对其最有利。
2.从表中发现第24个队（森林狼队）综合分最低，即赛程对其最不利。
火箭队的综合得分-0.005<0，即赛程对火箭队不利。
问题三
1.处理原则
由题目知：
每一支球队在与同部不同区的10支球队比赛时会有2种情况：
与其中6支战4场（2主2客）、与另外2支战3场（2主1客）、与剩下的2支战3场（2客1主）。
故,面临一个不确定的情况，需要决定选取哪些球队（同部不同区的）赛3场。
我们的原则是尽可能公平、均衡。
注意到与6支队伍比赛4场（2主2客）的情况是比较均衡的状态，故我们考虑先确定这6支队伍（剩余的4支就是赛3场的）。
又因为题目要求同部3个区的球队间保持均衡，因此我们只需要在另2个区中各找出3支队伍赛4场即可。
考虑到比赛的赛程是双向的，对于A区而言，如果在B区中确定了赛4场的队，反过来，对于B区而言，与A区中赛4场的队伍也就确定了。
因此，在安排同部三个区的赛程时，先以某个区为主，确定它在另两区赛4场的对手，这样我们只需再完成另外2区之间的赛程即可。
在确定赛4场的队伍时，我们始终坚持尽可能均衡的原则，尽量安排实力相当的对手进行比赛（其中实力我们用区内排名来衡量）
2.处理步骤
现提出了具体选取方法。
为了便于说明，不妨将同部的三个区比较其整体实力（用上赛季的胜率衡量）排序为A、B、C（A为整体实力最强的区，C为最弱的区）
步骤一：
为A区中每支队伍，在B、C两区确定其赛4场的对手。
（原则：
尽量安排实力相当的对手进行比赛。
）
为安排实力尽可能相当的对手，从理论上来说，A区中的第i名应与B（C）区的第i+1、i、i-1名比赛。
但是，这样会使B（C）区中的有些队伍与A区三支以上的队伍进行比赛，违反了限制条件。
这种情况也不适用于安排A区中的第一名和最后一名。
所以做如下调整：
●将A区中第i名的球队与B（C）区中第i名的队进行比赛。
●将A区中第3名的球队与B（C）区中第2、3、4名的队进行比赛。
●将A区中第1、5名的球队分别与B（C）区中最强的三个队（1、2、3）、最弱的三个队（3、4、5）进行比赛。
●将A区中第2名的球队与B（C）区中第1、2、5名的队进行比赛。
●将A区中第4名的球队与B（C）区中第4、5、1名的队进行比赛。
步骤二：
为A区中每支队伍，在B（C）区确定其赛3场的对手
显然对A区中的每支队伍，B（C）区剩下的两支队将与其赛3场。
步骤三：
对步骤二中所确定的对手进一步确定与其中哪支球队进行2主1客的比赛。
注意到两队比赛有“以弱对强”、“己队客场比赛”这两个不利因素，因此为尽可能公平，避免出现失衡状态，尽量在一场比赛中避免球队同时面临这两个不利因素。
所以，我们只要安排A区中的队与B（C）区中它的两个对手中实力较强的那支队打2主1客，而与实力较弱的那支球队打2客1主的比赛。
3.提出方案
按上述步骤和原则提出赛3场方案见下图。
（与不同区10支队的所有比赛安排见“结果”文件夹）说明：
连线表示两个队要比赛，箭头指向的就是比赛地（即主场队）
西部赛区同部不同区赛3场分布图
东部赛区同部不同区赛3场分布图
4.评价
此方案是基于尽可能公平、均衡的原则提出的。
显然，依此所确定的赛程表相对而言，保证了各球队之间尽可能均衡。
另外一方面，避免了（最）强队和（最）弱队赛4场，减少了比赛的不稳定性。
而在赛3场的比赛中，避免了在遇到实力稍强队时，打客场的不利因素，也使比赛的可看性增加。
模型的进一步探讨
●疲劳度的测定
在模型一中，我们用连续比赛的次数，量化疲劳指数，主要考虑球队因连续作战没有休息而引起的疲劳。
在模型二中，我们关注长途旅行给球队带来的疲劳，用连续两天往返东西部比赛的
次数，量化疲劳指数。
事实上，我们也可以提出测定疲劳度的其他标准。
比如，进一步改进模型二，认为球队除了因连续两天往返东西部比赛会产生疲劳
外，连续两天往返不同区（同部）比赛也会增加球员的疲劳度。
显然，前一情况对球队的不利影响更厉害（因为奔走的距离更远，球员更加疲劳）。
为体现这两种情况的差别，不妨认为出现一次前种情况，就对该队的“疲劳指数”贡献了1分；出现一次后种情况，就对该队的“疲劳指数”贡献了0.5分，以此来计算相应的疲劳指数。
●因素的考量
在本文的模型中只考虑了两项因素：
“士气度”、“疲劳度”。
但是，直观而言，
对手的情况应该也会对球队产生影响。
经过对赛程安排的仔细分析，我们发现，大多数球队间进行的主客场比赛数目都是均等的（2主2客或者1主1客）。
认为这部分对手的情况对球队不产生影响。
仅仅关注不均等的部分，即每支球队与同部不同区（共10支队）的4支球队赛3场（2主1客或2客1主），（这一部分赛程：
即选择跟哪四支队打，怎么打都是不定的）。
考虑到某球队与其对手赛3场时可能会面临“已队客场”、“以弱对强”2种不利情况。
对此分别用其（主场次数-客场次数）、（主场队的主场胜率-客队的客场胜率）来量化，提出对手差距分这一数量化指标。
计算方法如下：
●对于确定的某一支球队，找出与其赛3场的4个对手（姑且称为a,b,c,d）
●对于该球队，计算其与对手a的差距：
Cj（a）=（主场次数-客场次数）*（主队胜率-客队胜率）
●同上步计算Cj（b）、Cj（c）、Cj（d）
●对于该球队，计算得到差距分:
Cj（a）+Cj（b）+Cj（c）+Cj（d）
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