中考数学常考易错点44 多边形与平行四边形.docx
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中考数学常考易错点44多边形与平行四边形
4.4 多边形与平行四边形
易错清单
1.平行四边形的性质.
【例1】 （2014·湖南益阳）如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是（ ）.
A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED.∠1=∠2
【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;
B.当BE=FD,
∵ 平行四边形ABCD,
∴ AB=CD,∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴ △ABE≌△CDF（SAS）,故此选项错误;
C.当BF=ED,
∴ BE=DF.
∵ 平行四边形ABCD,
∴ AB=CD,∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴ △ABE≌△CDF（SAS）,故此选项错误;
D.当∠1=∠2,
∵ 平行四边形ABCD,
∴ AB=CD,∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴ △ABE≌△CDF（ASA）,故此选项错误;
【答案】 A
【误区纠错】 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.
2.平行四边形的判定.
【例2】 （2014·云南）如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD.
（1）求证:
四边形MNCD是平行四边形;
（2）求证:
BD=MN.
【解析】
（1）根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;
（2）根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案.
【答案】
（1）∵ ABCD是平行四边形,
∴ AD=BC,AD∥BC.
∵ M,N分别是AD,BC的中点,
∴ MD=NC,MD∥NC.
∴ 四边形MNCD是平行四边形.
（2）如图,连接ND,
∵ 四边形MNCD是平行四边形,
∴ MN=DC.
∵ N是BC的中点,
∴ BN=CN.
∵ BC=2CD,∠C=60°,
∴ △NCD是等边三角形.
∴ ND=NC,∠DNC=60°.
∵ ∠DNC是△BND的外角,
∴ ∠NBD+∠NDB=∠DNC.
∵ DN=NC=NB,
【误区纠错】 本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.
名师点拨
1.掌握多边形内角和公式（n-2）·180°及外角和均为360°这个特征.
2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.
名师点拨
1.掌握多边形内角和公式（n-2）·180°及外角和均为360°这个特征.
2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.
提分策略
1.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.
由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.
【例1】 如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证:
（1）△ABE≌△CDF;
（2）四边形BFDE是平行四边形.
【解析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.
（2）由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.
【答案】
（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A=∠C,AB=CD.
在△ABE和△CDF中,
∵ AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,
∴ △ABE≌△CDF（SAS）.
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD∥BC,AD=BC.
∵ AE=CF,
∴ AD-AE=BC-CF,
即 DE=BF.
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
2.平行四边形的判定.
利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.
【例2】 （2014·甘肃白银）D,E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,求证:
四边形DGFE是平行四边形.
【解析】 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
【答案】 ∵ D,E分别是AB,AC边的中点,
∴ DE∥GF且DE=GF.
∴ 四边形DEFG是平行四边形.
3.研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.
（1）判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360°除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.
【例3】 在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是（ ）.
A.正三角形B.正六边形C.正方形D.正五边形
【解析】 A.正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;
B.正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;
C.正方形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;
D.正五边形的一个内角度数为180°-360°÷5=108°,不是360°的因数,不能镶嵌平面,符合题意.
【答案】 D
（2）判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.
【例4】 现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（ ）.
A.正方形和正六边形B.正三角形和正方形
C.正三角形和正六边形D.正三角形、正方形和正六边形
【解析】 A选项,正方形和正六边形内角分别为90°,120°,由于90m+120n=360,得
显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;
B选项,正三角形和正方形内角分别为60°,90°,由于60°×3+90°×2=360°,故能铺满;
C选项,正三角形和正六边形内角分别为60°,120°,由于60°×2+120°×2=360°,故能铺满;
D选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°,90°,120°,由于60°+90°+90°+120°=360°,故能铺满.
【答案】 A
专项训练
一、选择题
1.（2014·北京房山区二模）若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形为（ ）.
A.正八边形B.正九边形C.正十边形D.正十一边形
2.（2014·江苏常州模拟）已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是（ ）.
A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形
C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形
3.（2014·四川乐山模拟）如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于（ ）.
A.4B.6C.8D.不能确定
（第3题）（第4题）
4.（2014·安徽安庆外国语学校模拟）如图,已知点O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是（ ）.
A.70°B.110°C.140°D.150°
5.（2013·浙江海宁部分学校联考）如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是（ ）.
A.110°B.108°C.105°D.100°
（第5题）（第7题）
6.（2013·内蒙古赤峰模拟）一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°,则该多边形的边数是（ ）.
A.5B.6C.7D.8
7.（2013·云南宣威模拟）如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且AE=BE,则∠BCD的度数为（ ）.
A.30°B.60°或120°C.60°D.120°
8.（2013·陕西西安模拟）下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）.
A.1∶2∶3∶4B.2∶3∶2∶3C.2∶3∶4∶5D.1∶2∶2∶3
二、填空题
9.（2014·江苏南京二模）如图,将正五边形ABCDE的点C固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上,则至少要旋转 °.
（第9题）
10.（2013·湖北枣阳模拟）已知▱ABCD的周长为28,自顶点A作AE⊥DC,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F.若AE=3,AF=4,则CE-CF= .
三、解答题
11.（2014·上海长宁区二模）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.求证:
四边形ACEF是平行四边形.
（第11题）
12.（2014·广东深圳模拟）已知:
如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,作AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,
（1）求证:
△AED≌△CFB;
（2）若∠ABC=75°,∠ADB=30°,AE=3,求平行四边形ABCD的周长?
（第12题）
13.（2013·浙江湖州中考模拟试卷）如图,▱ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.
（1）求证:
四边形EBFD是平行四边形;
（2）若AD=AE=2,∠A=60°,求四边形EBFD的周长.
（第13题）
参考答案与解析
1.C [解析]多边形外角和均等于360°,
2.D [解析]当AC=BD时,它是矩形..因为对角线相等的平行四边形是矩形.
3.C [解析]∵ △PEF的面积是2,
∴ △PBC的面积是2×4=8.
∵ △PDC,△PAB的面积和等于△PBC的面积均是平行四边形面积的一半,
∴ S1+S2=8.
4.D [解析]∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,所以∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°.
5.D [解析]本题考查多边形的内角和,外角和的概念.
6.C [解析]（n-2）×180°=3×360°-180°.
7.D [解析]△ABE是等边三角形.
8.B [解析]平行四边形对角相等.
9.72° [解析]正五边形每个内角相等,均等于
至少旋转180°-108°=72°后新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上.
11.∵ ∠ACB=90°,E是BA的中点,
∴ CE=AE=BE.
∵ AF=AE,
∴ AF=CE.
在△BEC中,∵ BE=CE且D是BC的中点,
∴ ED是等腰三角形BEC底边上的中线.
∴ ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.
∴ ∠1=∠2.
∴ ∠AEC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1.
∵ AF=AE,
∴ ∠F=∠3.
∵ ∠1=∠3,
∴ ∠1=∠F=∠3.
∴ 在△AEF中,∠FAE=180°-∠3-∠F=180°-2∠1.
∴ ∠AEC=∠FAE,
∴ CE∥AF.
又 CE=AF,
∴ 四边形ACEF是平行四边形.
（第11题）
12.
（1）∵ 平行四边形ABCD,
∴ AD=BC,AD∥BC.
∴ ∠ADE=∠CBF.
又 AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,
∴ ∠AED=∠CFB=90°.
∴ △AED≌△CFB（AAS）.
（2）在Rt△AED中,
∵ ∠ADE=30°,AE=3,
∴ AD=2AE=2×3=6.
∵ ∠ABC=75°,∠ADB=∠CBD=30°,
∴ ∠ABE=45°.
13.
（1）在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD.
∵ E,F分别是AB,CD的中点,
∴ BE=DF.
∴ 四边形EBFD是平行四边形.
（2）∵ AD=AE,∠A=60°,
∴ △ADE是等边三角形.
∴ DE=AD=2.
又 BE=AE=2,由
（1）知四边形EBFD是平行四边形,
∴ 四边形EBFD的周长=2（BE+DE）=8.
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