第25届北京市高中力学竞赛决赛试卷.doc
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第25届北京市高中力学竞赛决赛试卷
（北京四中杯）
（全卷满分150分）2012年5月20日9:
30~11:
30
题号
一
（填空）
二（计算题）
总分
7
8
9
10
11
分数
阅卷人
复查人
得分
一、填空题（6小题，每小题8分，共48分）
1.一跳远运动员在地球表面跳远，起跳时速度为10m/s，能跳出7.5m远.已知月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6，如果他在月球表面跳远，起跳速度大小也是10m/s，他跳远的记录将是m.
2.一举重运动员能举起100kg的重物，他对一根羽毛能施加1000N的力吗？
答：
，理由是
.
3.嫦娥飞船绕月球做匀速圆周运动，测出其周期为T，则飞船距月球表面的距离为h，可否不计地球引力而近似表述为，其中M是月球的质量，R是月球半径.答：
，理由是
.
v/m•s-1
t/s
图1
4.据北京晚报2012年3月17日和参考消息3月18日报道，奥地利勇士鲍姆加持纳从2.18万米高空的氦气球吊篮中跃下，下落的最高速度到163m/s.下落约3分43秒，距地面2400m高处打开伞，整个下落到地面的时间持续8分8秒.试根据报纸报道和你的分析，在图1中比较准确地画出奥地利勇士下落到地面过程的v-t图线.
5.下雨天，假设无风，雨滴以速度υ1竖直下落，雨滴在空中的分布是均匀的，单位体积的雨量是ρ.如图2所示，一个人要从A处运动到B处，他没有带伞，A、B的距离为l，人的运动速度为υ2.把人简化为长方体模型，头和肩的水平面积为S1，身体前方正面的竖直面积为S2.则人从A到B过程中，打到面积S1上的雨量为，打到面积S2上的雨量为.
υ1
υ2
S1
S2
A
B
l
图2
6.三个质量均为m的小球A、B、C，用轻杆连接，如图3所示.A、B与B、C的距离相等，A、B、C与地球中心O在一条直线上.三个小
球在高空绕地球做匀速圆周运动，如果轻杆收到扰动而偏离直线一小角度θ，则轻杆与直线的偏角θ将（增大、减小、不变），理由是
.（本题说明控制卫星天线总指向地球的基本原理）
A
B
C
O
地球
θ
图3
二、计算题（共102分）
A
B
C
b
θ
图4
得分
7.（16分）两个相同的半球，半径都是r，质量为0.5m，放在静摩擦因数为μ=0.5的水平面上.在两个半球上放一个半径为r，质量为m的光滑球，如图4所示.求在平衡状态下两球球心之间的最大距离b.
得分
8．（16分）两个质量分别为和的小球，它们之间的相互作用表现为斥力（斥力大小表达式为，是常数，为两球之间距离）.现已知以速度接近，瞄准距离为b，即到速度方向的垂直距离为b，如图5所示.求小球接近小球的最近距离d.设，小球可近似看作静止.
图5
得分
9．（20分）如图6所示，质量为m的小球，用不可伸长的线悬于固定点O，线长为l，初始线与铅垂线有一个夹角，初速为0.在小球开始运动后，线碰到铁钉O1.铁钉的方向与小球运动的平面垂直.OO1=h图6
O1
β
l
O
图7
m
m
得分
10.（25分）如图7所示，理想滑轮（轻质，无摩擦）两端悬挂两个质量均为m的砝码盘.用轻线拴住劲度系数很大的轻弹簧（弹簧劲度系数为k）两端使它压缩的长度为l，将此弹簧竖直放在左侧砝码盘上，弹簧上放一质量为m的砝码.右侧砝码盘上也放置质量为m的砝码，使两盘静止.燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离.求
（1）此系统（包括两个盘、两个砝码、弹簧和细绳）中哪些量守恒？
（2）使用守恒定律求砝码脱离弹簧后升起的高度.
得分
1
3
2
图8
11．（25分）三个质量为m的小球用两根长为l的不可伸长细绳相连.初始时刻，三个小球在一条线上，静止放在光滑水平面上，标号分别为1、2、3，如图8所示.给标号为3的小球以初速度，则这三个小球运动起来，求1、2两球相遇时的速度为多大？
第25届北京市高中力学竞赛决赛试题答案
（北京四中杯）
一、填空题
1．45．（8分）
2．不能（2分）．一根羽毛不能对运动员施加1000N的力，根据牛顿第三定律，运动员也不能对羽毛施加1000N的力．（6分）
3．可以（2分）．在地球引力所用下，月球（携带飞船）绕地球做匀速圆周运动，可认为月球飞船处于失重状态，可只考虑月球对飞船的引力作用（6分）．
t/s
163
233
488
v/m•s-1
4．
5．；（4分）．（4分）
6.减少（2分），B球受地球引力与惯性离心力平衡，A球受引力大于惯性离心力，合力指向地球，C球受引力小于惯性离心力，合力背向地球，A、C球受力的力矩使θ角减少（6分）．
A
B
C
O
地球
θ
二、计算题
7.mg
NB
fmax
y
x
解：
设最大距离时摩擦力为fmax，AB球心连线
与竖直夹角θ．
N
对A球y方向：
（3分）
对B球y方向：
（3分）
对B球x方向：
（3分）
（1分）
（3分）
（3分）
8．解：
小球受力始终指向小球中心，小球在一平面内运
动．如图所示．设z轴垂直于此平面且通过小球中心，则小球所受力对z轴的力矩为零，即对z轴角动量守恒．小球以速度v0运动，对z轴角动量是，但，故，小球最接近小球（距离为d）时，即无继续向小球运动的速度，又无远离小球的速度，此刻的速度v应与小球至小球的连线垂直，角动量是．于是
（1）（5分）
得
在散射过程中，只有斥力作用，故能量守恒。
最初，其能量为动能，到达离小球最近时，其总能量为
，
后一项为斥力势能，k为一常数．因此，
（2）（5分）
有
（1）
（2）得
（4分）
d只能为正，故式中负号无物理意义，舍去．
（2分）
9．解：
假设碰后小球能作圆周运动，运动到最高点的速度可由
（3分）
得出
设初始夹角为α
由机械能守恒得到：
（5分）
假设碰前瞬时速度为v1
则：
（2分）
碰前：
（3分）
（3分）
（4分）
10.解：
（1）该质点系能量守恒（3分），对滑轮轴的角动量守恒（2分）。
（2）设滑轮半径为R，弹簧释放后，弹簧上边的砝码获得的速度为v，方向向上，左边砝码盘及右边砝码盘及砝码获得的速度大小是v'。
该质点系对滑轮轴的角动量守恒，有：
-mvR+mv’R+2mv’R=0，（6分）即v=3v'
（1）（3分）
能量守恒（因为弹簧弹性系数很大，所以忽略重力势能的微小变化），有：
（6分）
即
（2）
左盘中的砝码脱离弹簧获得速度v后做竖直上抛运动
（3）（3分）
由⑴⑵可求得v2=3kl2/4m，代入⑶中得：
h=3kl2/8mg（2分）
11．解：
设运动起来后三小球竖直方向速度大小为，1、2球相遇时速度大小为．由于是光滑水平面，所以运动起来前后动量守恒、能量守恒，有
（1）（10分）
（2）（10分）
解得
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