2010年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析.doc
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2010年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2010•重庆）（x+1）4的展开式中x2的系数为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．20
【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2得展开式中x2的系数
【解答】解：
（x+1）4的展开式的通项为Tr+1=C4rxr
令r=2得T3=C42x2=6x
∴展开式中x2的系数为6
故选项为B
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
2．（5分）（2010•重庆）在等差数列{an}中，a1+a9=10，则a5的值为（ ）．
A．5 B．6 C．8 D．10
【考点】等差数列的通项公式．菁优网版权所有
【分析】本题主要是等差数列的性质等差中项的应用，用求出结果．
【解答】解：
由等差数列的性质得a1+a9=2a5，
∴a5=5．
故选A
【点评】给出等差数列的两项，若两项中间有奇数个项，则可求出这两项的等差中项，等比数列也有这样的性质，等比中项的求解时注意有正负两个结果．
3．（5分）（2010•重庆）若向量=（3，m），=（2，﹣1），=0，则实数m的值为（ ）
A． B． C．2 D．6
【考点】平面向量坐标表示的应用．菁优网版权所有
【分析】根据两个向量的数量积为零，写出坐标形式的公式，得到关于变量的方程，解方程可得．
【解答】解：
=6﹣m=0，
∴m=6．
故选D
【点评】由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
4．（5分）（2010•重庆）函数的值域是（ ）
A．[0，+∞） B．[0，4] C．[0，4） D．（0，4）
【考点】函数的值域．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】本题可以由4x的范围入手，逐步扩充出的范围．
【解答】解：
∵4x＞0，∴．
故选C．
【点评】指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的值域为（0，+∞）．
5．（5分）（2010•重庆）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A．7 B．15 C．25 D．35
【考点】分层抽样方法．菁优网版权所有
【分析】先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．
【解答】解：
青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：
5：
3，所以样本容量为．
故选B
【点评】本题考查基本的分层抽样，属基本题．
6．（5分）（2010•重庆）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】分析法．
【分析】先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．
【解答】解：
C、D中函数周期为2π，所以错误
当时，，
函数为减函数
而函数为增函数，
故选A．
【点评】本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性．属基础题．三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键．
7．（5分）（2010•重庆）设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．3
【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：
不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线z=3x﹣2y过点D时，在y轴上截距最小，z最大
由D（0，﹣2）知zmax=4．
故选C．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
8．（5分）（2010•重庆）若直线y=x﹣b与曲线（θ∈[0，2π））有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由题意将参数方程化为普通方程，因为直线与圆有两个不同的交点，可得，从而求出b的范围；
【解答】解：
化为普通方程（x﹣2）2+y2=1，表示圆，
因为直线与圆有两个不同的交点，所以解得
法2：
利用数形结合进行分析得，∴
同理分析，可知．
故选D．
【点评】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．
9．（5分）（2010•重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）
A．只有1个 B．恰有3个 C．恰有4个 D．有无穷多个
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】压轴题；存在型．
【分析】本题考查的知识点是空间中点到直线的距离，要判断到两互相垂直的异面直线的距离相等的点的个数，我们可以借助熟悉的正方体模型，在正方体中找到两条异面直线，然后进行分析，可用排除法得到答案．
【解答】解：
放在正方体中研究，显然，线段OO1、EF、FG、GH、
HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，
同时亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等．
所以排除A、B、C，
故选D．
【点评】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
10．（5分）（2010•重庆）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
【考点】组合及组合数公式．菁优网版权所有
【专题】常规题型；压轴题．
【分析】根据题意，分析可得，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值14日或乙值16日的排法数，再加上甲值14日且乙值16日的排法，进而计算可得答案．
【解答】解：
根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值14日或乙值16日的排法数，再加上甲值14日且乙值16日的排法，
即C62C42﹣2×C51C42+C41C31=42，
故选C．
【点评】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中，要注意各种排法间的关系，避免重复、遗漏．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）（2010•重庆）设A={x|x+1＞0}，B={x|x＜0}，则A∩B= {x|﹣1＜x＜0} ．
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【分析】先化简集合A，即解一元一次不等式x+1＞0，再与B求交集．
【解答】解：
根据题意知：
A={x|x＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜0}．
故答案是{x|﹣1＜x＜0}
【点评】本题主要考查交集的运算．
12．（5分）（2010•重庆）已知t＞0，则函数的最小值为 ﹣2 ．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】将函数变为﹣4，用基本不等式求解即可．
【解答】解：
，
当且仅当t=1时等号成立，
故ymin=﹣2．
【点评】考查灵活变形的能力及基本不等式．
13．（5分）（2010•重庆）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|= 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|=2，则到准线的距离也为2，根据图形AFKA1是正方形．
则易得AB⊥x轴，即可得答案．
【解答】解：
由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．
已知|AF|=2，则到准线的距离也为2．根据图形AFKA1，是正方形．
可知|AF|=|AA1|=|KF|=2∴AB⊥x轴故|AF|=|BF|=2．
故填|BF|=2．
【点评】活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法．到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化到准线的距离求解．
14．（5分）（2010•重庆）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 ．
【考点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】首先分析题目要求加工出来的零件的次品率，可以求其反面加工出来零件的正品率，然后用1减去正品率即可的答案．
【解答】解：
加工出来的零件为次品的对立事件为零件是正品，而零件是正品需要三道工序全部是正品．
由对立事件公式得，加工出来的零件的次品率．
=．
故答案为．
【点评】此题主要考查相互独立事件概率的乘法公式，其中应用到求对立面的思想，这种思想在解题的时候非常重要，需要理解并学会应用．
15．（5分）（2010•重庆）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi（i=1，2，3），则= ．
【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ公式的逆运算得，由题意可知，α1+α2+α3=4π得到cos=cos=．
【解答】解：
，可令同过P点的三圆的交点分别是A，B，C，连接PA，PB，PC，可得得出∠APB+∠APC+∠BPC=2π，
因为在各个圆的半径相等，故此三个角的大小都为，
由于在圆中同弦所对的圆周角互补，故在各个圆中，AB，BC，CA所与三角相对的圆周角为
故AB，BC，CA所对的圆心角是，
又α1+α2+α3=4π，所以cos=﹣．
故答案为：
．
【点评】此题考查学生利用两角和与差的余弦函数的能力．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（13分）（2010•重庆）已知{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
（Ⅰ）求通项an及Sn；
（Ⅱ）设{bn﹣an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）先根据等差数列的通项公式和求和公式求得an和Sn．
（Ⅱ）根据等比数列的通项公式求得{bn﹣an}的通项公式，根据
（1）中的an求得bn，可知数列{bn}是由等差数列和等比数列构成，进而根据等差数列和等比数列的求和公式求得Tn．
【解答】解：
（Ⅰ）∵{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列
∴an=19﹣4（n﹣1）=﹣4n+23．．
∵{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列其和为
（Ⅱ）由题意{bn﹣an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴bn﹣an=2n﹣1，所以bn=an+2n﹣1=2n﹣1﹣4n+23
∴Tn=Sn+1+2+22+…+2n﹣1=﹣2n2+21n+2n﹣1
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．
17．（13分）（2010•重庆）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．
【考点】等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】
（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，满足条件的事件是甲和乙的演出序号都是偶数，根据等可能事件的概率公式得到结果．
（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，甲和乙两个单位的演出序号不相邻，的对立事件是甲和乙两个单位的演出序号相邻，根据对立事件的概率公式得到结果．
【解答】解：
（1）考虑甲和乙两个单位的排列，
甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，
设A表示甲和乙的演出序号都是偶数，共有A32=6种结果，
∴所求的概率P（A）==
（2）考虑甲和乙两个单位的排列，
甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，
设B表示甲和乙两个单位的演出序号不相邻，
则表示甲和乙两个单位的演出序号相邻，共有5A22=10种结果
∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=．
【点评】本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题时要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加容易．
18．（13分）（2010•重庆）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求的值．
【考点】余弦定理的应用；弦切互化．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）先把题设条件代入关于A的余弦定理中，求得cosA的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值．
（Ⅱ）利用三角形的内角和，把sin（B+C+）转化为sin（π﹣A+），进而利用诱导公式，两角和公式和化简整理后，把sinA和cosA的值代入即可．
【解答】解：
（Ⅰ）由余弦定理得
又
（Ⅱ）原式=
==
==．
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用以及用诱导公式和两角和公式化简求值．考查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力．
19．（12分）（2010•重庆）已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；奇函数．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）由f'（x）=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数g（x）是奇函数，由g（﹣x）=﹣g（x），利用待系数法求解．
（2）由
（1）知，再求导g'（x）=﹣x2+2，由g'（x）≥0求得增区间，由g'（x）≤0求得减区间；求最值时从极值和端点值中取．
【解答】解：
（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b
因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b
因为函数g（x）是奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），
即对任意实数x，有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]
从而3a+1=0，b=0，
解得，因此f（x）的解析表达式为．
（2）由（Ⅰ）知，
所以g'（x）=﹣x2+2，令g'（x）=0
解得
则当时，g'（x）＜0
从而g（x）在区间，上是减函数，
当，
从而g（x）在区间上是增函数，
由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在时取得，
而，
因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为，最小值为．
【点评】本题主要考查构造新函数，用导数研究函数的单调性和求函数的最值．
20．（12分）（2010•重庆）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（1）求证：
AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．
【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有
【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题．
【分析】
（1）要证AB⊥平面PCB，只需证明直线AB垂直平面PCB内的两条相交直线PC、CD即可；
（2）取AP的中点O，连接CO、DO；说明∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角，然后解三角形求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．
【解答】
（1）证明：
∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．
（2）解：
取AP的中点O，连接CO、DO．
∵PC=AC=2，∴C0⊥PA，CO=，
∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．
∴∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角．
由
（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，
又∵AB=BC，AC=2，求得BC=
PB=，CD=
∴
cos∠COD=．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
21．（12分）（2010•重庆）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：
x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：
x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】
（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），由题意知a=2，b=1，由此可求出C的标准方程和渐近线方程．
（2）由题意知，点E（xE，yE）在直线l1：
x1x+4y1y=4和l2：
x2x+4y2y=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，则，设MN与x轴的交战为Q，则，由此可求△OGH的面积．
【解答】解：
（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），
则由题意知，，
∴a=2，b=1，
∴C的标准方程为．
∴C的渐近线方程为，即x﹣2y=0和x+2y=0．
（2）由题意知，点E（xE，yE）在直线l1：
x1x+4y1y=4和l2：
x2x+4y2y=4上，
因此有xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4．
设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，
由方程组及，解得，
设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4k，令y=0得，
∵xE2﹣4yE2=4，
∴
=
=．
【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．
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