2014年高考湖南文科数学试题及答案(word解析版).docx

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文科）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

（1）【2014年湖南，文1，5分】设命题，则为（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选B．

（2）【2014年湖南，文2，5分】已知集合，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】由题可得，故选C．

（3）【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即，故选D．

（4）【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A、B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，所以排除C、D选项．由二次函数的图像可得选项B在是单调递减的，根据排除法选A．因为函数在是单调递减的且在是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A在是单调递减的，故选A．

（5）【2014年湖南，文5，5分】在区间上随机选取一个数，则的概率为（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】在上符合的区间为，因为的区间长度为5且区间的区间长度为3，所以根据几何概型的概率计算公式可得，故选B．

（6）【2014年湖南，文6，5分】若圆与圆外切，则（）

（A）21（B）19（C）9（D）

【答案】C

【解析】因为，所以且圆

的圆心为，半径为，根据圆和圆外切的判定可得

，故选C．

（7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】当时，运行程序如下：

，，当时，，

则，故选D．

（8）【2014年湖南，文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、

加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直

角三角形）所对应的内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切

圆的半径，则，故选B．

（9）【2014年湖南，文9，5分】若，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】设，则时，的符号不确定，的单调性不确定．设，则时，，在上单调递减，

，故选C．

（10）【2014年湖南，文10，5分】在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】点D的轨迹是以为圆心的单位圆，设，

则．

因为的取值范围是，

故，故选D．

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

（11）【2014年湖南，文11，5分】复数（为虚数单位）的实部等于．

【答案】

【解析】由题可得所以，的实部为．

（12）【2014年湖南，文12，5分】在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为．

【答案】

【解析】联立，消可得．

（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量满足约束条件，则的最大值为．

【答案】7

【解析】作出不等式组表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数

在点处取得最大值7．

（14）【2014年湖南，文14，5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直

线的距离相等．若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是．

【答案】

【解析】由题设知机器人在以点为焦点的抛物线上，且与抛物线无交点，方程无实根，则且或，所以．

（15）【2014年湖南，文15，5分】若是偶函数，则．

【答案】

【解析】因为为偶函数，所以

．

三、解答题：

本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（16）【2014年湖南，文16，12分】已知数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

解：

（1）当时，，当时，，∴．

（2）由题意得：

，∴数列的前项和为

．

（17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：

其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败．

（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平

均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；

（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．

解：

（1）甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为．

方差为；

乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为．

方差为

，∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平．

（2）记{恰有一组研发成功}，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是

共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得．

（18）【2014年湖南，文18，12分】如图，已知二面角的大小为60°，菱形

在面内，两点在棱上，60°，是的中点，面，垂足为

．

（1）证明：

平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

解：

（1）∵，，∴．∵四边形问菱形，，连结，则为正

三角形．又为的中点，∴．而，∴平面．

（2）∵，∴是直线，所成的角．由

（1）知，平面，

∴，，∴是二面角的平面角，∴．

设，则，，．连结，则，

∴异面直线，所成的角的余弦值为．

（19）【2014年湖南，文19，13分】如图，在平面四边形中，，，，，，．

（1）求的值；

（2）求的长．

解：

（1）在中，．即，，

（舍去），设，，即，．

（2），，，，

在中，，．

（20）【2014年湖南，文20，13分】如图，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．

（1）求的方程；

（2）是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且

？

证明你的结论．

解：

（1）设的焦距为，则，∴．在上，∴，．

由椭圆定义知，，∴，，

∴的方程分别为．

（2）不存在符合题设条件的直线．

①若轴，∵与只有一个公共点，∴的方程为或．当时，易得，

，，此时．

②若不垂直轴，设，代入双曲线方程整理得．

当与有两个交点，时，，，

于是，

再将代入椭圆方程整理得，

∵与只有一个公共点，∴由，可得，于是有

∴，即．

综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．

（21）【2014年湖南，文21，13分】已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）记为的从小到大的第个零点，证明：

对一切，有．

解：

（1），令，则．当时，，

当时，，∴的单调减区间为，

的单调增区间为．

（2）由

（1）知，在区间上单调递减，∵，∴．

当时，∵，

且的图像是连续不断的，∴在区间内至少有一个实根，

又在区间上是单调的，∴．由此可得

综上可知，对一切，都有．

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