2014年江苏省高考数学试卷答案与解析.doc

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2014年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）

1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=　{﹣1，3}　．

考点：

专题：

集合．

分析：

根据集合的基本运算即可得到结论．

解答：

解：

∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，

∴A∩B={﹣1，3}，

故答案为：

{﹣1，3}

点评：

本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为　21　．

考点：

专题：

数系的扩充和复数．

分析：

根据复数的有关概念，即可得到结论．

解答：

解：

z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，

故z的实部为21，

故答案为：

点评：

本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．

3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是　5　．

考点：

专题：

算法和程序框图．

分析：

算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．

解答：

解：

由程序框图知：

算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，

∵24=16＜20，25=32＞20，

∴输出n=5．

故答案为：

5．

点评：

本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．

4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是　　．

考点：

专题：

概率与统计．

分析：

首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．

解答：

解：

从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，

所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，

故所求概率P=．

故答案为：

．

点评：

本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．

5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是　　．

考点：

专题：

三角函数的求值；三角函数的图像与性质．

分析：

由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．

解答：

解：

∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，

∴=．

∵0≤φ＜π，∴，

∴+φ=，

解得φ=．

故答案为：

．

点评：

本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．

6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：

cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有　24　株树木的底部周长小于100cm．

考点：

专题：

概率与统计．

分析：

根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．

解答：

解：

由频率分布直方图知：

底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，

∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．

故答案为：

24．

点评：

本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．

7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是　4　．

考点：

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

利用等比数列的通项公式即可得出．

解答：

解：

设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．

∵a8=a6+2a4，

∴，

化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．

∴a6===1×22=4．

故答案为：

4．

点评：

本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．

8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是　　．

考点：

专题：

立体几何．

分析：

设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．

解答：

解：

设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；

∵=，

∴，它们的侧面积相等，

∴，

∴===．

故答案为：

．

点评：

本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．

9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为　　．

考点：

专题：

直线与圆．

分析：

求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．

解答：

解：

圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，

∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，

∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=

故答案为：

．

点评：

本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．

10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　（﹣，0）　．

考点：

专题：

函数的性质及应用．

分析：

由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．

解答：

解：

∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，

对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，

即，解得﹣＜m＜0，

故答案为：

（﹣，0）．

点评：

本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．

11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是　﹣3　．

考点：

专题：

导数的概念及应用．

分析：

由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．

解答：

解：

∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，

曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，

∴y′=2ax﹣，

∴，

解得：

，

故a+b=﹣3，

故答案为：

﹣3

点评：

本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键．

12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是　22　．

考点：

专题：

平面向量及应用．

分析：

由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．

解答：

解：

∵=3，

∴=+，=﹣，

又∵AB=8，AD=5，

∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，

故•=22，

故答案为：

22．

点评：

本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．

13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　（0，）　．

考点：

专题：

函数的性质及应用．

分析：

在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．

解答：

解：

f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：

由图象可知．

故答案为：

（0，）．

点评：

本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．

14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是　　．

考点：

专题：

三角函数的图像与性质；解三角形．

分析：

根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．

解答：

解：

由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），

由余弦定理得cosC===

=≥=，

当且仅当时，取等号，

故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．

故答案为：

．

点评：

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分）

15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．

（1）求sin（+α）的值；

（2）求cos（﹣2α）的值．

考点：

专题：

三角函数的求值；三角函数的图像与性质．

分析：

（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；

（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．

解答：

解：

α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=

（1）sin（+α）=sincosα+cossinα==﹣；

∴sin（+α）的值为：

﹣．

（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣

∴cos（﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣．

cos（﹣2α）的值为：

﹣．

点评：

本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．

16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．

考点：

专题：

空间位置关系与距离；空间角；立体几何．

分析：

（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；

（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．

解答：

证明：

（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，

又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，

∴PA∥平面DEF；

（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；

又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；

∴DE2+EF2=DF2，

∴∠DEF=90°，

∴DE⊥EF；

∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；

∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；

∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．

点评：

本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．

17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．

（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；

（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

考点：

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．

（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．

解答：

解：

（1）∵C的坐标为（，），

∴，即，

∵，

∴a2=（）2=2，即b2=1，

则椭圆的方程为+y2=1．

（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），

∵B（0，b），

∴直线BF2：

y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，

解得x=0，或x=，

∵A（，），且A，C关于x轴对称，

∴C（，﹣），

则=﹣=，

∵F1C⊥AB，

∴×（）=﹣1，

由b2=a2﹣c2得，

即e=．

点评：

本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．

18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：

新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．

（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

考点：

专题：

直线与圆．

分析：

（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；

（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．

解答：

解：

（1）如图，

过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，

∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，

∴∠ABF=∠BCE，

∴．

设AF=4x（m），则BF=3x（m）．

∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，

∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），

∴BE=（3x+60）m．

∵，

∴CE=（m）．

∴（m）．

∴，

解得：

x=20．

∴BE=120m，CE=90m，

则BC=150m；

（2）如图，

设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，

∵∠POM=∠PQC=90°，

∴∠PMO=∠BCO．

设OM=xm，则OP=m，PM=m．

∴PC=m，PQ=m．

设⊙M半径为R，

∴R=MQ=m=m．

∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，

则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，

∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．

解得：

10≤x≤35．

∴当且仅当x=10时R取到最大值．

∴OM=10m时，保护区面积最大．

点评：

本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．

19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．

（1）证明：

f（x）是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）已知正数a满足：

存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．

考点：

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；

（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；

（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．

解答：

解：

（1）∵f（x）=ex+e﹣x，

∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：

f（x）是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，

即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，

∵x＞0，

∴ex+e﹣x﹣1＞0，

即m≤在（0，+∞）上恒成立，

设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，

∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，

∴m．

（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），

则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），

当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，

故此时g（x）的最小值g

（1）=e+﹣2a，

由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，

故e+﹣2a＜0，

即a＞（e+），

令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，

则h′（x）=1﹣，

由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，

当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，

当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，

∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），

注意到h

（1）=h（e）=0，

∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h

（1）=0，

当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，

∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．

①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，

②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，

③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1．

点评：

本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．

20．（16分）（2014•江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．

（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：

{an}是“H数列”；

（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；

（3）证明：

对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．

考点：

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出．

（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；

（3）设{an}的公差为d，构造数列：

bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．

解答：

解：

（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，

当n=1时，a1=S1=2．

当n=1时，S1=a1．

当n≥2时，Sn=an+1．

∴数列{an}是“H”数列．

（2）Sn==，

对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，

取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，

∵d＜0，∴m＜2，

又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．

（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，

对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，

cn=（n﹣1）（a1+d），

对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，

则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列．

数列{bn}的前n项和Tn=，

令Tn=（2﹣m）a1，则．

当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．

当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．

因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列．

数列{cn}的前n项和Rn=，

令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=．

∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．

因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列．

因此命题得证．

点评：

本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）

（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：

几何证明选讲】

21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：

∠OCB=∠D．

考点：

专题：

直线与圆．

分析：

利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．

解答：

证明：

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠B，

∵∠B=∠D，

∴∠OCB=∠D．

点评：

本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

【选修4-2：

矩阵与变换】

22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．

考点：

专题：

矩阵和变换．

分析：

利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．

解答：

解：

∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，

∴，

∴x=﹣，y=4，

∴x+y=

点评：

本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．

【选修4-3：

极坐标及参数方程】

23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中

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