2016年高考浙江理科数学试题及答案(word解析版).docx

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2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

（1）【2016年浙江，理1，5分】已知集合，，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】，即有，则，故选B．

【点评】本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．

（2）【2016年浙江，理2，5分】已知互相垂直的平面，交于直线．若直线，满足，，则

（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】∵互相垂直的平面，交于直线，直线，满足，∴或或，，

∵，∴，故选C．

【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

（3）【2016年浙江，理3，5分】在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的投影．由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则（）

（A）（B）4（C）（D）6

【答案】C

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

（阴影部分），区域内的点在直线

上的投影构成线段，即，而，由得，

即，由得，即，

则，故选C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．

（4）【2016年浙江，理4，5分】命题“，，使得”的否定形式是（）

（A），，使得（B），，使得

（C），，使得（D），，使得

【答案】D

【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，，使得”的否定形式是：

，，使得，故选D．

【点评】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：

①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．

（5）【2016年浙江，理5，5分】设函数，则的最小正周期（）

（A）与有关，且与有关（B）与有关，但与无关

（C）与无关，且与无关（D）与无关，但与有关

【答案】B

【解析】∵设函数，∴是图象的纵坐标增加了，横坐标不变，故周期与无关，

当时，的最小正周期为，当时，

，∵的最小正周期为，的最小正周期为，

∴的最小正周期为，故的最小正周期与有关，故选B．

【点评】本题考查了三额角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．

（6）【2016年浙江，理6，5分】如图，点列、分别在某锐角的两边上，且

，，，，，，（

表示点与不重合）若，为的面积，则（）

（A）是等差数列（B）是等差数列

（C）是等差数列（D）是等差数列

【答案】A

【解析】设锐角的顶点为，，，，，由于，不确定，则不一定是等差数列，不一定是等差数列，设的底边上的高为，由三角形的相似可得，，两式相加可得，，即有，由，可得，

即为，则数列为等差数列，故选A．

【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．

（7）【2016年浙江，理7，5分】已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则（）

（A）且（B）且（C）且（D）且

【答案】A

【解析】∵椭圆与双曲线的焦点重合，∴满足，

即，∴，则，排除C，D，则，，则．

，，，则，则

，∴，故选A．

【点评】本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．

（8）【2016年浙江，理8，5分】已知实数，，（）

（A）若，则（B）若，则

（C）若，则（D）若，则

【答案】D

【解析】A．设，，则，；B．设，，

，则，；C．设，，，则

，，故选D．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：

本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

（9）【2016年浙江，理9，6分】若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是．

【答案】9

【解析】抛物线的准线为，∵点到焦点的距离为10，∴点到准线的距离为10，∴点到轴的距离为9．

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．

（10）【2016年浙江，理10，6分】已知，则，．

【答案】；1

【解析】∵，，．

【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．

（11）【2016年浙江，理11，6分】某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．

【答案】72；32

【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，

则其表面积为cm2，其体积为．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体

的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．

（12）【2016年浙江，理12，4分】已知，若，，则，．

【答案】4；2

【解析】设，由知，代入得，即，解得或（舍去），所以，即，因为，所以，则，解得，．

【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．

（13）【2016年浙江，理13，4分】设数列的前项和为，若，，，则__，__．

【答案】1；121

【解析】由时，，可得，又，即，即有，解得；

由，可得，由，可得，，

．

【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：

n=1时，a1=S1，n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，考查运算能力，属于中档题．

（14）【2016年浙江，理14，4分】如图，在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积的最大值是．

【答案】

【解析】如图，是的中点．①当时，如图，此时高为到的距离，

也就是到的距离，即图中，，由，可得

，，

②当时，如图，此时高为到的距离，也就是到的距离，

即图中，，由等面积，可得，∴，

∴，∴，

综上所述，，令，则，

∴时，．

【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大．

（15）【2016年浙江，理15，5分】已知向量，，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是．

【答案】

【解析】∵，∴，平方得：

，

即，则，故的最大值是．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

三、解答题：

本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（16）【2016年浙江，理16，14分】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）证明：

；

（2）若的面积，求角的大小．

解：

（1）由正弦定理得，，

于是．又，故，所以或，

因此（舍去）或，所以，．

（2）由得，故有，因，得．

又，所以．当时，；当时，．综上，或．

【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．

（17）【2016年浙江，理17，15分】如图，在三棱台中，已知平面平面，，，，．

（1）求证：

平面；

（2）求二面角的余弦值．

解：

（1）延长，，相交于一点，如图所示．因为平面平面，且，；

所以，平面，因此，．又因为，，，所以

为等边三角形，且为的中点，则．所以平面．

（2）解法1：

过点作，连结．因为平面，所以，则

平面，所以．所以，是二面角的平面角．在中，

，，得．在中，，，得．

所以，二面角的平面角的余弦值为．

解法2：

如图，延长，，相交于一点，则为等边三角形．取的

中点，则，又平面平面，所以，平面．以点为原

点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系．由题意

得，，，，，．

因此，，，．设平面的法向量为，

平面的法向量为．由，得，取；

由，得，取．于是，．

所以，二面角的平面角的余弦值为．

【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

（18）【2016年浙江，理18，15分】已知，函数，其中．

（1）求使得等式成立的的取值范围；

（2）（i）求的最小值；

（ii）求在上的最大值．

解：

（1）由于，故当时，，

当时，．

所以，使得等式成立的的取值范围为．

（2）（i）设函数，，则，，

所以，由的定义知，即．

（ii）当时，，当时，

．所以，．

【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

（19）【2016年浙江，理19，15分】如图，设椭圆．

（1）求直线被椭圆截得到的弦长（用，表示）；

（2）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取

值范围．

解：

（1）设直线被椭圆截得的线段为，由得，故，

．因此．

（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足．

记直线，的斜率分别为，，且，，．由

（1）知，，

，故，所以．

由于，，得，因此①

因为①式关于，的方程有解的充要条件是：

，所以．

因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为，

由得，所求离心率的取值范围为．

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力．

（20）【2016年浙江，理20，15分】设数列满足．

（1）求证：

；

（2）若，，证明：

，．

解：

（1）由得，故，，

所以，

因此．

（2）任取，由

（1）知，对于任意，

，故．

从而对于任意，均有．由的任意性得①否则，存在，有，取正整数且，则，与①式矛盾．

综上，对于任意，均有．

【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大．

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