初高中数学衔接课程平面几何知识补充.doc
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高中所需平面几何知识补充
1.合比性质与等比性质
1.已知，则=________，=________。
2.已知（b+d+f≠0）.b+2d-3f≠0。
则=_____，=____。
3.已知，则k=_________。
2.三角形内角与外交平分线定理
1）内角平分线定理
已知：
如图所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证：
BA/AC=BD/DC;
思路1：
过C作角平分线AD的平行线。
证明1：
过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。
则：
BA/AE=BD/DC;
∵ ∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等）
∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等）
∠BAD=∠CAD；（已知）
∴ ∠AEC=∠ACE；（等量代换）
∴ AE=AC；
∴ BA/AC=BD/DC。
结论1：
该证法具有普遍的意义。
引出三角形内角平分线定理：
三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
思路2：
利用面积法来证明。
已知：
如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证：
BA/AC=BD/DC
证明2：
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；
∵ ∠BAD=∠CAD；（已知）
∴ DE=DF；
∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）
BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
∴ BA/AC=BD/DC
结论2：
遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。
2）*外角平分线定理
已知：
如图所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证：
BA/AC=BD/DC
思路1：
作角平分线AD的平行线。
证明1：
过C作CE∥DA与BA交于E。
则：
BA/AE=BD/DC
∵ ∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等）
∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等）
∠DAF=∠DAC；（已知）
∴ ∠CEA=∠ECA；（等量代换）
∴ AE=AC；
∴ BA/AC=BD/DC。
结论1：
该证法具有普遍的意义。
引出三角形外角平分线定理：
如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例
思路2：
利用面积法来证明。
已知：
如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证：
BA/AC=BD/DC.
证明2：
过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；
∵ ∠DAC=∠DAF；（已知）
∴ DE=DF；
∵ BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）
BD/DC=S△BAD/△DAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
∴ BA/AC=BD/DC
结论2：
使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。
在该证法中，我们看△BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。
然后以BD和DC为底，而高是同高
3．如图，在△ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.
图3.1-8
2.圆心角与圆周角
圆心角
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？
为什么？
=，AB=A′B′
理由：
∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′
∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
∴与重合，弦AB与弦A′B′重合
∴=，AB=A′B′
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？
请同学们现在动手作一作．
（学生活动）老师点评：
如图1，在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
（1）
（2）
你能发现哪些等量关系？
说一说你的理由？
我能发现：
=，AB=A/B/．
现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？
为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？
AB与CD的大小有什么关系？
为什么？
∠AOB与∠COD呢？
2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？
若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）（4）
练习题
一、选择题．
1．如果两个圆心角相等，那么（）
A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）
A．=2B．>C．<2D．不能确定
3．如图5，⊙O中，如果=2，那么（）．
A．AB=ACB．AB=ACC．AB<2ACD．AB>2AC
（5）（6）
二、填空题
1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．
2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．
三、解答题
1．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．
（1）求证：
=；
（2）若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？
2．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求的度数和的度数．
3．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：
AE=BF=CD．
圆周角
问题：
如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．
老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=∠AOC
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？
请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：
连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？
请同学们独立完成证明．
老师点评：
连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从
（1）、
（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：
===2R．
练习题
一、选择题
1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．
A．140°B．110°C．120°D．130°
（1）
（2）（3）
2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）
A．∠4<∠1<∠2<∠3B．∠4<∠1=∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2D．∠4<∠1<∠3=∠2
3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（）．
A．3B．3+C．5-D．5
二、填空题
1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．
（4）（5）
3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______．
三、综合提高题
1．如图，弦AB把圆周分成1：
2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°
（1）求证：
△ABC是等边三角形．
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：
AB为⊙C直径．
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
3.圆幂定理
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.根据图7-162
（1）、
（2）、（3），让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割
线定理的内容.
2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?
提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，
从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.
（1）如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：
一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.（如图7-164）
二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.（图7-165）
（2）点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的切割线定理的推论（割线定理）.（图7-166）
（3）在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠
近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.（图7-167）
（4）如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可
得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.（图7-168）
至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和
切线长定理之间有着密切的联系.
3.启发学生理解定理的实质.
经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.
观察图7-169，可以得出：
（设⊙O半径为R）
在图
（1）中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF
＝（R-OP）（R+OP）
＝R2-OP2；
在图
（2）中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2
＝OP2-R2
在图（3）中，PA·PB＝PC·PD＝PT2
＝OP2-R2.
教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论（割线定理）统称为圆幂定理.
二、例题分析（采用师生共同探索、讲练结合的方式进行）
1.如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径.
2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.
求证：
AX·AY=BP·BQ.
方法1在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有
AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ.
再连结CO，AO，DO，BO，
易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD
所以AX·AY＝BP·BQ.
方法2在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有
AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE.
易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.
所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.
所以AX·AY＝BP·BQ.
方法3如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有
AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD.
易证AE＝BC，AF＝BD，
所以AE·AF＝BC·BD.
从而AX·AY＝BP·BQ.
通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，
沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此
题?
练习题
1.已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB＝BC.如果OA＝7，PA＝2，求PC的长.
2.如图7-175，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证：
PN2＝NM·NQ.
四、小结
用投影重新打出圆幂定理的基本图形（如图7-176），让学生观察并说出相应的定理.
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