2014年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc
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2014年安徽省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.(5分)(2014•安徽)设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i•=( )
A.
﹣2
B.
﹣2i
C.
2
D.
2i
考点:
复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
把z及代入+i•,然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.
解答:
解:
∵z=1+i,
∴,
∴+i•=
=.
故选:
C.
点评:
本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.
2.(5分)(2014•安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
考点:
充要条件.菁优网版权所有
专题:
计算题;简易逻辑.
分析:
根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
解答:
解:
∵x<0,∴x+1<1,当x+1>0时,ln(x+1)<0;
∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0,
∴“x<0”是ln(x+1)<0的必要不充分条件.
故选:
B.
点评:
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比较基础.
3.(5分)(2014•安徽)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A.
34
B.
55
C.
78
D.
89
考点:
程序框图;程序框图的三种基本逻辑结构的应用.菁优网版权所有
专题:
算法和程序框图.
分析:
写出前几次循环的结果,不满足判断框中的条件,退出循环,输出z的值.
解答:
解:
第一次循环得z=2,x=1,y=2;
第二次循环得z=3,x=2,y=3;
第三次循环得z=5,x=3,y=5;
第四次循环得z=8,x=5,y=8;
第五次循环得z=13,x=8,y=13;
第六次循环得z=21,x=13,y=21;
第七次循环得z=34,x=21,y=34;
第八次循环得z=55,x=34,y=55;退出循环,输出55,
故选B
点评:
本题考查程序框图中的循环结构,常用的方法是写出前几次循环的结果找规律,属于一道基础题.
4.(5分)(2014•安徽)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.
B.
2
C.
D.
2
考点:
点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程.菁优网版权所有
专题:
坐标系和参数方程.
分析:
先求出直线和圆的直角坐标方程,求出半径和弦心距,再利用弦长公式求得弦长.
解答:
解:
直线l的参数方程是(t为参数),化为普通方程为x﹣y﹣4=0;
圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=4x,
即(x﹣2)2+y2=4,表示以(2,0)为圆心、半径r等于2的圆.
弦心距d==<r,∴弦长为2=2=2,
故选:
D.
点评:
本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于中档题.
5.(5分)(2014•安徽)x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.
或﹣1
B.
2或
C.
2或1
D.
2或﹣1
考点:
简单线性规划.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+z斜率的变化,从而求出a的取值.
解答:
解:
作出不等式组对应的平面区域如图:
(阴影部分ABC).
由z=y﹣ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大.
若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,
若a>0,目标函数y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行,此时a=2,
若a<0,目标函数y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0,平行,此时a=﹣1,
综上a=﹣1或a=2,
故选:
D
点评:
本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.注意要对a进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义.
6.(5分)(2014•安徽)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x<π时,f(x)=0,则f()=( )
A.
B.
C.
0
D.
﹣
考点:
抽象函数及其应用;函数的值.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
利用已知条件,逐步求解表达式的值即可.
解答:
解:
∵函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x<π时,f(x)=0,
∴f()=f()
=f()+sin
=f()+sin+sin
=f()+sin+sin+sin
=sin+sin+sin
=
=.
故选:
A.
点评:
本题考查抽象函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.
7.(5分)(2014•安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )
A.
21+
B.
18+
C.
21
D.
18
考点:
由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
判断几何体的形状,结合三视图的数据,求出几何体的表面积.
解答:
解:
由三视图可知,几何体是正方体的棱长为2,截去两个正三棱锥,侧棱互相垂直,侧棱长为1,
几何体的表面积为:
S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+.
故选:
A.
点评:
本题考查三视图求解几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状.
8.(5分)(2014•安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有( )
A.
24对
B.
30对
C.
48对
D.
60对
考点:
排列、组合及简单计数问题;异面直线及其所成的角.菁优网版权所有
专题:
排列组合.
分析:
利用正方体的面对角线形成的对数,减去不满足题意的对数即可得到结果.
解答:
解:
正方体的面对角线共有12条,两条为一对,共有=66条,
同一面上的对角线不满足题意,对面的面对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数,
不满足题意的共有:
3×6=18.
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有:
66﹣18=48.
故选:
C.
点评:
本题考查排列组合的综合应用,逆向思维是解题本题的关键.
9.(5分)(2014•安徽)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为( )
A.
5或8
B.
﹣1或5
C.
﹣1或﹣4
D.
﹣4或8
考点:
带绝对值的函数;函数最值的应用.菁优网版权所有
专题:
选作题;不等式.
分析:
分类讨论,利用f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,建立方程,即可求出实数a的值.
解答:
解:
<﹣1时,x<﹣,f(x)=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1>﹣1;
﹣≤x≤﹣1,f(x)=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1;
x>﹣1,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>a﹣2,
∴﹣1=3或a﹣2=3,
∴a=8或a=5,
a=5时,﹣1<a﹣2,故舍去;
≥﹣1时,x<﹣1,f(x)=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1>2﹣a;
﹣1≤x≤﹣,f(x)=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1;
x>﹣,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>﹣+1,
∴2﹣a=3或﹣+1=3,
∴a=﹣1或a=﹣4,
a=﹣1时,﹣+1<2﹣a,故舍去;
综上,a=﹣4或8.
故选:
D.
点评:
本题主要考查了函数的值域问题.解题过程采用了分类讨论的思想,属于中档题.
10.(5分)(2014•安徽)在平面直角坐标系xOy中.已知向量、,||=||=1,•=0,点Q满足=(+),曲线C={P|=cosθ+sinθ,0≤θ≤2π},区域Ω={P|0<r≤||≤R,r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线,则( )
A.
1<r<R<3
B.
1<r<3≤R
C.
r≤1<R<3
D.
1<r<3<R
考点:
向量在几何中的应用.菁优网版权所有
专题:
平面向量及应用;直线与圆.
分析:
不妨令=(1,0),=(0,1),则P点的轨迹为单位圆,Ω={P|(0<r≤||≤R,r<R}表示的平面区域为:
以Q点为圆心,内径为r,外径为R的圆环,若C∩Ω为两段分离的曲线,则单位圆与圆环的内外圆均相交,进而根据圆圆相交的充要条件得到答案.
解答:
解:
∵平面直角坐标系xOy中.已知向量、,||=||=1,•=0,
不妨令=(1,0),=(0,1),
则=(+)=(,),
=cosθ+sinθ=(cosθ,sinθ),
故P点的轨迹为单位圆,
Ω={P|(0<r≤||≤R,r<R}表示的平面区域为:
以Q点为圆心,内径为r,外径为R的圆环,
若C∩Ω为两段分离的曲线,
则单位圆与圆环的内外圆均相交,
故|OQ|﹣1<r<R<|OQ|+1,
∵|OQ|=2,
故1<r<R<3,
故选:
A
点评:
本题考查的知识点是向量在几何中的应用,其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P|(0<r≤||≤R,r<R}表示的平面区域,是解答的关键.
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡相应位置.
11.(5分)(2014•安徽)若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 .
考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得图象对应的函数解析式为y=sin(2x+﹣2φ),再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+,k∈z,由此求得φ的最小正值.
解答:
解:
将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x﹣φ)+]=sin(2x+﹣2φ)关于y轴对称,
则﹣2φ=kπ+,k∈z,即φ=﹣﹣,故φ的最小正值为,
故答案为:
.
点评:
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属于中档题.
12.(5分)(2014•安徽)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= 1 .
考点:
等比数列的通项公式.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
设出等差数列的公差,由a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差,则由化简得答案.
解答:
解:
设等差数列{an}的公差为d,
由a1+1,a3+3,a5+5构成等比数列,
得:
,
整理得:
,
即+5a1+a1+4d.
化简得:
(d+1)2=0,即d=﹣1.
∴q==.
故答案为:
1.
点评:
本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题.
13.(5分)(2014•安徽)设a≠0,n是大于1的自然数,(1+)n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= 3 .
考点:
二项式定理的应用;二项式系数的性质.菁优网版权所有
专题:
二项式定理.
分析:
求出(1+)n的展开式的通项为,由图知,a0=1,a1=3,a2=4,列出方程组,求出a的值.
解答:
解:
(1+)n的展开式的通项为,
由图知,a0=1,a1=3,a2=4,
∴,,
,,
a2﹣3a=0,
解得a=3,
故答案为:
3.
点评:
本题考查解决二项式的特定项问题,关键是求出展开式的通项,属于一道中档题.
14.(5分)(2014•安徽)设F1,F2分别是椭圆E:
x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A、B两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为 x2+=1 .
考点:
椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
求出B(﹣c,﹣b2),代入椭圆方程,结合1=b2+c2,即可求出椭圆的方程.
解答:
解:
由题意,F1(﹣c,0),F2(c,0),AF2⊥x轴,∴|AF2|=b2,
∴A点坐标为(c,b2),
设B(x,y),则
∵|AF1|=3|F1B|,
∴(﹣c﹣c,﹣b2)=3(x+c,y)
∴B(﹣c,﹣b2),
代入椭圆方程可得,
∵1=b2+c2,
∴b2=,c2=,
∴x2+=1.
故答案为:
x2+=1.
点评:
本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.
15.(5分)(2014•安徽)已知两个不相等的非零向量,,两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个排列而成,记S=•+•+•+•+•,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 ②④ (写出所有正确命题的编号).
①S有5个不同的值;
②若⊥,则Smin与||无关;
③若∥,则Smin与||无关;
④若||>4||,则Smin>0;
⑤若||=2||,Smin=8||2,则与的夹角为.
考点:
命题的真假判断与应用;平行向量与共线向量.菁优网版权所有
专题:
平面向量及应用;简易逻辑.
分析:
依题意,可求得S有3种结果:
S1=++++,S2=+•+•++,S3=•+•+•+•+,可判断①错误;
进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0,即S中最小为S3;再对②③④⑤逐一分析即可得答案.
解答:
解:
∵xi,yi(i=1,2,3,4,5)均由2个和3个排列而成,
∴S=xiyi可能情况有三种:
①S=2+3;②S=+2•+2;③S=4•+.
S有3种结果:
S1=++++,
S2=+•+•++,
S3=•+•+•+•+,故①错误;
∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0,
∴S中最小为S3;
若⊥,则Smin=S3=,与||无关,故②正确;
③若∥,则Smin=S3=4•+,与||有关,故③错误;
④若||>4||,则Smin=S3=4||•||cosθ+>﹣4||•||+>﹣+=0,故④正确;
⑤若||=2||,Smin=S3=8||2cosθ+4=8,
∴2cosθ=1,∴θ=,
即与的夹角为.
综上所述,命题正确的是②④,
故答案为:
②④.
点评:
本题考查命题的真假判断与应用,着重考查平面向量的数量积的综合应用,考查推理、分析与运算的综合应用,属于难题.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答早答题卡上的指定区域.
16.(12分)(2014•安徽)设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求sin(A+)的值.
考点:
正弦定理;两角和与差的正弦函数.菁优网版权所有
专题:
综合题;三角函数的求值.
分析:
(Ⅰ)利用正弦定理,可得a=6cosB,再利用余弦定理,即可求a的值;
(Ⅱ)求出sinA,cosA,即可求sin(A+)的值.
解答:
解:
(Ⅰ)∵A=2B,,b=3,
∴a=6cosB,
∴a=6,
∴a=2;
(Ⅱ)∵a=6cosB,
∴cosB=,
∴sinB=,
∴sinA=sin2B=,cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣,
∴sin(A+)=(sinA+cosA)=.
点评:
本题考查余弦定理、考查正弦定理,考查二倍角公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
17.(12分)(2014•安徽)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.
(Ⅰ)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(Ⅱ)记X为比赛决胜出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).
考点:
离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
(1)根据概率的乘法公式,求出对应的概率,即可得到结论.
(2)利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求X的分布列;以及均值.
解答:
解:
用A表示甲在4局以内(含4局)赢得比赛的是事件,Ak表示第k局甲获胜,Bk表示第k局乙获胜,
则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5
(Ⅰ)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=()2+×()2+××()2=.
(Ⅱ)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=,
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=,
P(X=5)=P(A1B2A3B4A5)+P(B1A2B3A4B5)+P(B1A2B3A4A5)+P(A1B2A3B4B5)==,
或者P(X=5)=1﹣P(X=2)﹣P(X=3)﹣P(X=4)=,
故分布列为:
X
2
3
4
5
P
E(X)=2×+3×+4×+5×=.
点评:
本题主要考查概率的计算,以及离散型分布列的计算,以及利用期望的计算,考查学生的计算能力.
18.(12分)(2014•安徽)设函数f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3,其中a>0.
(Ⅰ)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
(Ⅱ)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.
考点:
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有
专题:
导数的综合应用.
分析:
(Ⅰ)利用导数判断函数的单调性即可;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,讨论两根与1的大小关系,判断函数在[0,1]时的单调性,得出取最值时的x的取值.
解答:
解:
(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1+a﹣2x﹣3x2,
由f′(x)=0,得x1=,x2=,x1<x2,
∴由f′(x)<0得x<,x>;
由f′(x)>0得<x<;
故f(x)在(﹣∞,)和(,+∞)单调递减,
在(,)上单调递增;
(Ⅱ)∵a>0,∴x1<0,x2>0,
①当a≥4时,x2≥1,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.
②当0<a<4时,x2<1,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,x2]单调递增,在[x2,1]上单调递减,
因此f(x)在x=x2=处取得最大值,又f(0)=1,f
(1)=a,
∴当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;
当a=1时,f(x)在x=0和x=1处取得最小值;
当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.
点评:
本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识,考查学生分类讨论思想的运用能力,属中档题.
19.(13分)(2014•安徽)如图,已知两条抛物线E1:
y2=2p1x(p1>0)和E2:
y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1、A2两点,l2与E1、E2分别交于B1、B2两点.
(Ⅰ)证明:
A1B1∥A2B2;
(Ⅱ)过O作直线l(异于l1,l2)与E1、E2分别交于C1、C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
专题:
向量与圆锥曲线.
分析:
(Ⅰ)由题意设出直线l1和l2的方程,然后分别和两抛物线联立求得交点坐标,得到的坐标,然后由向量共线得答案;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行,进一步得到两三角形相似,由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案.
解答:
(Ⅰ)证明:
由题意可知,l1和l2的斜率存在且不为0,
设l1:
y=k1x,l2:
y=k2x.
联立,解得.
联立,解得.
联立,解得.
联立,解得.
∴,
.
,
∴A1B1∥A2B2;
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知A1B1∥A2B2,
同(Ⅰ)可证B1C1∥B2C2,A1C1∥A2C2.
∴△A1B1C1∽△A2B2C2,
因此,
又,
∴.
故.
点评:
本题是直线与圆锥曲线的综合题,考查了向量共线的坐标表示,训练了三角形的相似比与面积比的关系,考查了学生的计算能力,是压轴题.
20.(13分)(2014•安徽)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC,过A1、C、D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.
(Ⅰ)证明:
Q为BB1的中点;
(Ⅱ)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;
(Ⅲ)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.
考点:
二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;用空间向量求平面间的夹角.菁优网版权所有
专题:
综合题;空间位置关系与距离.
分析:
(Ⅰ)证明平面QBC∥平面A1D1DA,可得△QBC∽△A1AD,即可证明Q为BB1的中点;
(Ⅱ)设BC=a,则AD=2a,则==,VQ﹣ABCD==ahd,利用V棱柱=ahd,即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比;
(Ⅲ)△ADC中,作AE⊥DC,垂足为E,连接A1E,则DE⊥平面AEA1,DE⊥A1E,可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角,求出S△ADC=4,AE=4,可得tan∠AEA1==1,即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.
解答:
(Ⅰ)证明:
∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,
∴平面QBC∥平面A1D1DA,
∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行,∴QC∥A1D
∴△QBC∽△A1AD,
∴=,
∴Q为BB1的中点;
(Ⅱ)解:
连接QA,QD,设AA1=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1,V2,
设BC=a,则AD=2a,∴==,VQ﹣ABCD==ahd,