2009年天津市高考数学试卷(理科).doc
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2009年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）i是虚数单位，=（ ）
A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i
2．（5分）设变量x，y满足约束条件：
，则目标函数z=2x+3y的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．23
3．（5分）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0 B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0
C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0
4．（5分）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（ ）
A．在区间（，1），（l，e）内均有零点
B．在区间（，1），（l，e）内均无零点
C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点
D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点
5．（5分）阅读程序框图，则输出的S=（ ）
A．26 B．35 C．40 D．57
6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
9．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）
A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取 名学生．
12．（4分）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a= ．
13．（4分）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为 ．
14．（4分）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= ．
15．（4分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是 ．
16．（4分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）
三、解答题（共6小题，满分76分）
17．（12分）已知：
△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA
（1）求AB的值．
（2）求的值．
18．（12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：
（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
19．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．
20．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．
21．（14分）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．
22．（14分）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞1）．设sn=a1b1+a2b2+…+anbn，Tn=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+，
（1）若a1
（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；
（Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=，n∈（10）N+；
（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，kn和l1，l2，…，ln是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn，c2=al1b1+al2b2+…+alnbn证明c1≠c2．
2009年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2009•天津）i是虚数单位，=（ ）
A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．
【解答】解：
，
故选D．
2．（5分）（2009•天津）设变量x，y满足约束条件：
，则目标函数z=2x+3y的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．23
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：
根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．
【解答】解：
画出不等式．表示的可行域，如图，
让目标函数表示直线在可行域上平移，
知在点B自目标函数取到最小值，
解方程组得（2，1），
所以zmin=4+3=7，
故选B．
3．（5分）（2009•天津）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0 B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0
C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0
【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆．
【解答】解：
结论的否定形式为：
2x2﹣1＞0
∴原命题的否定为：
D．
故选D．
4．（5分）（2009•天津）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（ ）
A．在区间（，1），（l，e）内均有零点
B．在区间（，1），（l，e）内均无零点
C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点
D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点
【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．
【解答】解：
由题得，令f′（x）＞0得x＞3；
令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，
故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，
在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．
故选C．
5．（5分）（2009•天津）阅读程序框图，则输出的S=（ ）
A．26 B．35 C．40 D．57
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值．
【解答】解：
分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值
∵S=2+5+8+…+14=40．
故选C．
6．（5分）（2009•天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值
【解答】解：
因为3a•3b=3，所以a+b=1，
，
当且仅当即时“=”成立，
故选择B．
7．（5分）（2009•天津）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【分析】由周期函数的周期计算公式：
，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．
【解答】解：
由题知ω=2，
所以，
故选择A．
8．（5分）（2009•天津）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．
【解答】解：
由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a
即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．
故选C
9．（5分）（2009•天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得
=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得
的值，则三角形的面积之比可得．
【解答】解：
如图过B作准线l：
x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，
∵=，
又∵△B1BC∽△A1AC、
∴=，
由拋物线定义==．
由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=﹣，
∴AB：
y﹣0=（x﹣）．
把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，
∴|AF|=|AA1|=．
故===．
故选A．
10．（5分）（2009•天津）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）
A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3
【分析】要使关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，
【解答】解：
由题得不等式（x﹣b）2＞（ax）2
即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，它的解应在两根之间，
因此应有a2﹣1＞0，解得a＞1或a＜﹣1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1，
故有△=4b2+4b2（a2﹣1）=4a2b2＞0，
不等式的解集为或（舍去）．
不等式的解集为，
又由0＜b＜1+a得，
故，，这三个整数解必为﹣2，﹣1，0
2（a﹣1）＜b≤3（a﹣1），
注意到a＞1，并结合已知条件0＜b＜1+a．
故要满足题设条件，只需要2（a﹣1）＜1+a，即a＜3即可，
解得1＜a＜3．
故选：
C．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2009•天津）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取 40 名学生．
【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．
【解答】解：
∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，
由分层抽样原理，应抽取名．
故答案为：
40
12．（4分）（2009•天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a= ．
【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．
【解答】解：
由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，
底边上的高为a的等腰三角形，
所以有．
故答案为：
13．（4分）（2009•天津）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为 ．
【分析】先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可．
【解答】解析：
由题直线l1的普通方程为3x﹣y﹣2=0，
故它与l2的距离为．
故答案为
14．（4分）（2009•天津）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= 1 ．
【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．
【解答】解：
由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），
公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：
|a+|
由图可知，解之得a=1．
故答案为：
1．
15．（4分）（2009•天津）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是 ．
【分析】根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，再由向量数量积运算的应用可得和，最终可得四边形ABCD的面积
【解答】解：
由题，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，
所以cos∠BAD==﹣，
故sin∠BAD=，SABCD=（）2×=．
故答案为：
．
16．（4分）（2009•天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 324 个（用数字作答）
【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：
由题意知本题需要分类来解：
当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：
+=90种；
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：
+=234种，
根据分类计数原理得到
∴共有90+234=324个．
故答案为：
324．
三、解答题（共6小题，满分76分）
17．（12分）（2009•天津）已知：
△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA
（1）求AB的值．
（2）求的值．
【分析】
（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案．
（2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到△ABC是Rt△且∠ABC=90°，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案．
【解答】解：
（1）在△ABC中，∵sinC=2sinA
∴由正弦定理得AB=2BC
又∵BC=1
∴AB=2
（2）在△ABC中，∵AB=2，BC=1，∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△且∠ABC=90°
∴，
∴
=
=
=
18．（12分）（2009•天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：
（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
【分析】（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k，写出概率，分布列和期望．
（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．
【解答】解：
（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
由于从10件产品中任取3件的结果为C103，
从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k，
那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P（X=k）=，k=0，1，2，3．
∴随机变量X的分布列是
x
0
1
2
3
p
∴X的数学期望EX=
（Ⅱ）解：
设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，
“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1
“恰好取出2件一等品“为事件A2，
”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，
且A=A1∪A2∪A3而，
P（A2）=P（X=2）=，P（A3）=P（X=3）=，
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=
19．（12分）（2009•天津）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．
【分析】
（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；
（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；
（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．
【解答】
（1）解：
由题设知，BF∥CE，
所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．
设P为AD的中点，连接EP，PC．
因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．
又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．
而PC，AD都在平面ABCD内，
故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，
则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°
（2）证明：
因为DC=DE且M为CE的中点，
所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，
故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，
所以平面AMD⊥平面CDE．
（3）解：
设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．
因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，
所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．
可得，．
20．（12分）（2009•天津）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．
【分析】（Ⅰ）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f
（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f
（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）令f'（x）=0求出x的值为x=﹣2a和x=a﹣2，分两种情况讨论：
①当﹣2a＜a﹣2时和②当﹣2a＞a﹣2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．
【解答】（Ⅰ）解：
当a=0时，f（x）=x2ex，f'（x）=（x2+2x）ex，故f'
（1）=3e，
所以曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线的斜率为3e，f
（1）=e，
所以该切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），
整理得：
3ex﹣y﹣2e=0．
（Ⅱ）解：
f'（x）=[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]ex
令f'（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2．由知，﹣2a≠a﹣2．
以下分两种情况讨论．
①若a＞，则﹣2a＜a﹣2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，a﹣2）
﹣2a
（﹣2a，a﹣2）
a﹣2
（a﹣2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
F（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）内是增函数，在（﹣2a，a﹣2）内是减函数．
函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．
函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2．
②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，a﹣2）
a﹣2
（a﹣2，﹣2a）
﹣2a
（﹣2a，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
F（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）内是增函数，在（a﹣2，﹣2a）内是减函数
函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2，
函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．
21．（14分）（2009•天津）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．
【分析】
（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．
（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．
（III）解法一：
当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．
解法二：
由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．
【解答】
（1）解：
由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，
得，从而
整理，得a2=3c2，故离心率
（2）解：
由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．
由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得（2+3k2）x2
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