黑龙江省2010年四校联考第四次高考模拟考试数学(理)试题.doc
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2010年四校联考第四次高考模拟考试
数学试卷（理工类）
考试说明：
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,字迹清楚；
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
参考公式：
回归直线方程：
，其中，
标准正态分布函数：
第I卷（选择题,共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则的值等于
（A）（B）（C）（D）
2.若函数在时取得最大值，则等于
（A）（B）（C）（D）
3.已知幂函数的图象经过点,则的值等于
（A）（B）（C）（D）
4．已知数列的前项和为,,则等于
（A）（B）（C）（D）
5.已知集合,,则集合中元素的个数为
（A）个（B）个（C）个（D）无数个
6．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程的一个近似解（精确到）为
（A）（B）（C）（D）
7.五名男同学,三名女同学外出春游,平均分成两组,每组人,则女同学不都在同一组的不同分法有
（A）种（B）种（C）种（D）种
8.向量,的夹角为,则称◎为,的积,定义◎,若,,,则◎等于
（A）（B）（C）（D）
9.假设关于某设备的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）有如下统计资料：
（年）
2
3
4
5
6
（万元）
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知，对呈线性相关关系，且有如下参考数据：
开始
输入
是
否
是
否
输出
结束
，则回归直线方程为
（A）（B）
（C）（D）
10．设双曲线的一条渐近线与抛
物线无公共点，则双曲线的离心率的取值
范围是
（A）（B）
（C）（D）
11．为调查哈市高中三年级男生的身高情况，选取了
人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，若其
输出的结果是，则身高在以下的频率为
（A）（B）
（C）（D）
A
B
D
A1
D1
C1
B1B
M
N
C
12．如图，正四棱柱中，，，分别在上移动，且始终保持平面，设，，则函数的图象大致是
（A）（B）
（C）（D）
2010年四校联考第四次高考模拟考试
数学试卷（理工类）
第Ⅱ卷（非选择题,共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．）
13．已知,则.
14.平面内，两个正三角形的边长比为，则其外接圆的面积比为；类似地，空间中,两个正四面体的棱长比为,则其外接球的体积比为.
15．设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线的距离大于的概率为.
16．有一道数学题，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下“已知中，角、、对边分别为、、，且,求.”经推断,破损处条件为三角形一边的长度,且答案提示.在横线上写出所有可能的答案.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
已知数列是等比数列，且公比，为其前项和，,．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，的前项和为，求．
18．（本小题满分12分）
某班级甲组有名学生，其中有名女生；乙组有名学生，其中有名女生.
（Ⅰ）若从两组中各抽取两人进行心理健康测试，求每组至少抽到一名女生的概率；
（Ⅱ）现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽
取名学生进行心理健康测试.
（）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（）记表示抽取的名学生中男生人数，求的分布列及数学期望.
19．（本小题满分12分）
一个多面体的直观图和三视图如图所示
A
P
D
B
C
正视图
侧视图
俯视图
（Ⅰ）求证:
；
（Ⅱ）若为上一点,且,求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知动点（）到定点的距离与到轴的距离之差为.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若，为上两动点，且,求证：
直线必过一定
点，并求出其坐标.
21.（本小题满分12分）
函数.
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并求其最大值；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）求证：
的图象与轴所围成的图形的面积不小于.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
D
A
C
B
22.（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
在平面四边形中,≌．
求证:
.
23．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为（为参数）．
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）曲线和曲线交于、两点,求长.
24．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）画出的图象,并写出函数的值域；
（Ⅱ）若关于的不等式对于任意恒成立,求实数
的取值范围．
2010年四校联考第四次高考模拟考试（）
数学试卷（理工类）评分标准
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
A
B
B
A
C
A
B
A
C
二、填空题：
13.14.15.16.
三、解答题：
17．（本题满分12分）
解：
（Ⅰ）,,
则或,因为,所以,所以,则;---------------6分
（Ⅱ）,
则①
则2②
所以①-②
则.--------------------------------------------------12分
18．（本题满分12分）
解：
（Ⅰ）设每组至少抽到一名女生的事件为
则；-----------4分
（Ⅱ）（ⅰ）甲组抽取人,乙组抽取人；-----------------------------------------------------5分
（ⅱ）的可能取值为、、、----------------------------------6分
则；
；-------9分
则.---------------------------12分
19.（本题满分12分）
解：
（Ⅰ）由三视图可知为四棱锥,底面为正方形,且,
连接交于点,连接，
因为,所以平面，
即；--------------------------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由三视图可知,,
，连接,
因为,所以为二面角的平面角,
中,,则,
中,,,则.-----------12分
20.（本题满分12分）
（Ⅰ）由已知题意得
则；---------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）设,,
则,,
因为,即,
即,-------------------------------------------8分
则直线的方程为
即，
令时,,即直线过定点.----------------------------------------------------12分
21.（本题满分12分）
（Ⅰ）定义域为,
则为偶函数，
则,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
则最大值;------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）要证明,
只需证,
设,
则
令，则
所以，在上为单调递减函数，
因此，
所以当时,,又因为,则为偶函数,
所以,则原结论成立；----------------------------------------8分
（Ⅲ）由标准正态分布与轴围成的面积为,
则由（Ⅱ）得，
则,
所以的图象与轴所围成的图形的面积不小于.------------------12分
22．（本题满分10分）
证明：
连接交于点,
因为,则,
所以,则,所以,
则,则,
即.------------------------------------------------------------10分
23．（本题满分10分）
（Ⅰ）曲线的直角方程为---------------------------------------4分
（Ⅱ）曲线的直角方程为①
曲线的直角方程为②
则直线的方程为①－②,即,
则.--------------------------------------------10分
24．（本题满分10分）
（Ⅰ）图象略，值域为；---------------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）恒成立,则,解得或.------10分
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