全国高考文科数学试题及答案全国卷.doc

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2009年普通高等学校招生全国统一1卷考试

文科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一、选择题

（1）的值为

（A）（B）（C）（D）

（2）设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集，则集合中的元素共有

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个

（3）不等式的解集为

（A）（B）

（C）（D）

（4）已知tan=4,cot=,则tan（a+）=

（A）（B）（C）（D）

（5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于

（A）（B）2（C）（D）

（6）已知函数的反函数为，则

（A）0（B）1（C）2（D）4

（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种

（8）设非零向量、、满足，则

（A）150°（B）120°（C）60°（D）30°

（9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为

（A）（B）（C）（D）

（10）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为

（A）（B）（C）（D）

（11）已知二面角为600，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为

（12）已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。

若,则=

（A）（B）2（C）（D）3

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10小题，共90分．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：

在试题卷上作答无效）

（13）的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________.

（14）设等差数列的前项和为。

若，则_______________.

。

（15）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.

（16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是

①②③④⑤

其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）

三．解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分10分）（注意:

在试题卷上作答无效）

设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，已知的通项公式.

（18）（本小题满分12分）（注意：

在试用题卷上作答无效）

在中，内角的对边长分别为.已知，且，求.

（19）（本小题满分12分）（注决：

在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，

（Ⅰ）证明：

是侧棱的中点；

（Ⅱ）求二面角的大小。

（同理18）

（20）（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。

假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。

已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；

（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

（21）（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程

（22）（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。

（Ⅰ）求的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

1【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。

解：

，故选择A。

2【解析】本小题考查集合的运算，基础题。

（同理1）

解：

，故选A。

也可用摩根定律：

3【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。

解：

，

故选择D。

4【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。

解：

由题，，故选择B。

5【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。

解：

由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C。

（6）【解析】本小题考查反函数，基础题。

解：

由题令得，即，又，所以，故选择C。

（7）【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。

解：

由题共有，故选择D。

（8）【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。

解：

由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。

（9）【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。

（同理7）

解：

设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D

（10）【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。

解:

函数的图像关于点中心对称

由此易得.故选A

（11）【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。

（同理10）

解:

如图分别作

，连

，

又

当且仅当，即重合时取最小值。

故答案选C。

（12）【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解：

过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A

（13）【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。

（同理13）

解:

因所以有

（14）【解析】本小题考查等差数列的性质、前项和，基础题。

（同理14）

解:

是等差数列,由,得

。

（15）【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。

解：

设球半径为，圆M的半径为，则，即由题得，所以。

（16）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。

解：

两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。

故填写①或⑤

（17）【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和，基础题。

解：

设的公差为，数列的公比为，

由得①

得②

由①②及解得

故所求的通项公式为。

（18）【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。

解：

由余弦定理得，

又，

，

即①

由正弦定理得

又由已知得

，

所以②

故由①②解得

（19）

解法一：

（I）

作∥交于点E，则∥，平面SAD

连接AE，则四边形ABME为直角梯形

作，垂足为F，则AFME为矩形

设，则，

由

解得

即，从而

所以为侧棱的中点

（Ⅱ），又,所以为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M为SC中点

，故

取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则,由此知为二面角的平面角

连接，在中，

所以

二面角的大小为

解法二:

以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz

设，则

（Ⅰ）设,则

又

故

即

解得，即

所以M为侧棱SC的中点

（II）

由，得AM的中点

又

所以

因此等于二面角的平面角

所以二面角的大小为

（20）【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。

解：

记“第局甲获胜”为事件，“第局乙获胜”为事件。

（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则

，由于各局比赛结果相互独立，故

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

，由于各局比赛结果相互独立，故

（21）【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。

解：

（Ⅰ）

令得或；

令得或

因此，在区间和为增函数；在区间和为减函数。

（Ⅱ）设点，由过原点知，的方程为，

因此，

即，

整理得，

解得或

因此切线的方程为或

（22）解：

（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，

整理得①

与有四个交点的充要条件是：

方程①有两个不相等的正根

由此得

解得

又

所以的取值范围是

（II）设四个交点的坐标分别为、、、。

则由（I）根据韦达定理有，

则

令，则下面求的最大值。

方法1：

由三次均值有：

当且仅当，即时取最大值。

经检验此时满足题意。

方法2：

设四个交点的坐标分别为、、、

则直线AC、BD的方程分别为

解得点P的坐标为。

设，由及（Ⅰ）得

由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

则

将，代入上式，并令，得

，

∴，

令得，或（舍去）

当时，；当时；当时，

故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为