立体几何高考文科数学类型题(1)老师专用.docx

立体几何高考文科数学类型题(1)老师专用.docx

《立体几何高考文科数学类型题(1)老师专用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何高考文科数学类型题(1)老师专用.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

立体几何高考文科数学类型题

（1）老师专用

1、异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）.②范围：

.

考点1.求两条异面直线所成角

（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：

利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移即采用补形法作出平面角．

（2）求异面直线所成的角的三步曲：

即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题，进而求解.

对异面直线概念的理解

（1）“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．

（2）不能把异面直线误解为：

分别在不同平面内的两条直线为异面直线．

（3）异面直线的公垂线有且仅有一条．

例1.空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、

F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小.

解　取AC的中点G，连接EG、FG，

则EG平行且等于AB，GF平行且等于CD，由AB＝CD知EG＝FG，

∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠EGF（或它的补角）为AB与CD所成的角.

∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，

当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.

变式训练1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，BC＝3，AA′＝5，求异面直线D′B和AC所成角的余弦值．

解：

法一：

（平移法）：

如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，连接BD交AC于点E，取DD′的中点F，连接EF，AF，则EF平行且等于D′B，∴∠FEA是D′B和AC所成的角，

∵AE＝＝，EF＝＝，AF＝＝，

∴在△FEA中，cos∠FEA＝＝.

法二：

（补形法）：

如图，在长方体的一旁补一个全等的长方体，

则BE綊AC∴∠D′BE（或其补角）是D′B和AC所成的角，

∵D′B＝5，BE＝5，D′E＝，∴在△D′BE中，

cos∠D′BE＝－，∴D′B与AC所成角的余弦值为.

考点2：

空间平行问题

1.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

a∩α＝∅

a⊂α，b⊄α，a∥b

a∥α

a∥α，a⊂β，α∩β＝b

结论

a∥α

b∥α

a∩α＝∅

a∥b

2.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

α∩β＝∅

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

α∥β，a⊂β

结论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

3.证明线线平行的常用方法

（1）利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；

（2）利用平行四边形进行转换；（3）利用三角形中位线定理证明；

（4）利用线面平行、面面平行的性质定理证明．

4.判定线面平行的方法

（1）利用定义：

判定直线与平面没有公共点（一般结合反证法进行）；

（2）利用线面平行的判定定理:

平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行）,符号语言:

∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α

（3）利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.

证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法

（1）证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；

（2）利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；

（3）注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．

5.判定面面平行的方法

（1）利用定义：

即证两个平面没有公共点（不常用）；

（2）利用面面平行的判定定理（主要方法）:

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）,符号语言:

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

（3）利用垂直于同一条直线的两平面平行（客观题可用）；

（4）利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（客观题可用）．

6.线面平行的性质：

①直线与平面平行，则该直线与平面无公共点．

②性质定理:

由线面平行可得线线平行．一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）

7.面面平行的性质：

①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面．②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．

线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系，它们之间可以相互转化

证明平行的一般思路是：

欲证面面平行，可转化为证明线面平行，欲证线面平行，可转化为证明线线平行．

例2　（2012·山东）如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

（1）求证：

BE＝DE；

（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：

DM∥平面BEC.

思维启迪　

（1）利用等腰△EDB底边中线和高重合的性质证明；

（2）根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行.

证明　

（1）如图，取BD的中点O，连接CO，EO.

由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，

所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.

（2）方法一　如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.

因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.

又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.

又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.

又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，

所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.

方法二　如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.

因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，

所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因为∠AFB＝30°，所以AB＝AF.

又AB＝AD，所以D为线段AF的中点.连接DM，由于点M是线段AE的中点，

因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.

变式训练2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点.

（1）求证：

DE∥平面ABC；

（2）求三棱锥E－BCD的体积.

1.

（1）证明　取BC中点G，连接AG，EG.因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且EG＝BB1.

由直棱柱知，AA1平行且等于BB1，而D是AA1的中点，所以EG平行且等于AD，所以四边形EGAD是平行四边形.所以ED∥AG.又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.

（2）解　因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，所以VE－BCD＝VD－BEC＝VA－BCE＝VE－ABC，

由

（1）知，DE∥平面ABC.所以VE－ABC＝VD－ABC＝AD·BC·AG＝×3×6×4＝12.

考点3：

空间垂直问题

1.直线与平面垂直

（1）判定直线和平面垂直的方法

①定义法.

②利用判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

③推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面a∥b，a⊥α⇒b⊥α.

④利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”a⊥α，α∥β⇒a⊥β．

⑤利用面面垂直的性质:

两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

（2）直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.

②垂直于同一个平面的两条直线平行.

③垂直于同一条直线的两平面平行.

证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.

（3）判定线线垂直的方法

①定义：

两条直线所成的角为90°；

②平面几何中证明线线垂直的方法如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、勾股定理逆定理等得到线线垂直；

③线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

④线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

2.斜线和平面所成的角

（1）定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所

成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．

（2）线面角θ的范围：

θ∈.

3.平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的判定方法

①定义法.②利用判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.⇒α⊥β

（2）平面与平面垂直的性质:

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

4.二面角的有关概念

（1）二面角：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

（2）二面角的平面角：

二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.

5.求线面角、二面角的常用方法.

（1）线面角的求法：

找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.

（2）二面角的大小求法：

二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.

例3.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．

（1）求证：

MN⊥CD；

（2）若∠PDA＝45°，求证：

MN⊥平面PCD

.证明：

（1）如图所示，连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC.在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN＝PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.

∴BC⊥PB.从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN＝PC，∴AN＝BN.

∴△ABN为等腰三角形．又M为底边AB的中点，∴MN⊥AB.又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.

（2）如图所示，连接PM，CM，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，

∴PA＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM，而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM.又∵N为PC的中点，∴MN⊥PC.由

（1）知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.

变式训练3．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

（1）证明：

PQ∥平面ACD；

（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

（1）证明：

因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.

又因为DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ⊄平面ACD，DCC平面ACD.从而PQ∥平面ACD.

（2）如图，连接CQ，DP.因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC.因此CQ⊥EB，AB∩EB＝B，

故CQ⊥平面ABE.由

（1）有PQ∥DC，又因为PQ＝EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形．故DP∥CQ.因此DP⊥平面ABE.∠DAP为AD和平面ABE所成的角．在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝.

考点3：

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π（r＋r′）l

2.空间几何体的表面积和体积公式

名称

几何体　　　

表面积

体积

柱体（棱柱和圆柱）

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体（棱锥和圆锥）

S表面积＝S侧＋S底

V＝Sh

台体（棱台和圆台）

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝（S上＋S下＋）h

球

S＝4πR2

V＝πR3

几何体的表面积、体积

1.如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为（　　）

A．4π　B.C．5πD.

1.解由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，故表面积为·4π·12＋3··π·12＝π.

2.

（1）（2012·湖北高考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.　　B．3π　C.　D．6π

2.解　

（1）由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V＝π×12×2＋×π×12×2＝3π.

3.（2012·课标全国）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为 （　　）

A. B. C. D.

3.答案　A解析　由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍.

在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝×AB2＝，高OD＝＝，

∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝.

4.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（　　）

A．8－B．8－C．8－2πD.

4.解：

圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝23－×π×12×2＝8－π.

5.（2013·重庆）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．48B．32＋8

C．48＋8D．80

5.解析：

选C　由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱（最大的侧面贴在地面上），直观图如图，底面是等腰梯形，其上底长为2，下底长为4，高为4，∴两底面积和为2××（2＋4）×4＝24，四个侧面的面积为4×（4＋2＋2）＝24＋8，∴几何体的表面积为48＋8.

与球有关的切、接问题

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

1.已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为________.

1.解析　如图，构造正方体ANDM—FBEC.因为三棱锥A—BCD的所有

棱长都为，所以正方体ANDM—FBEC的棱长为1.所以该正方体的

外接球的半径为.易知三棱锥A—BCD的外接球就是正方体ANDM—FBEC的外

接球，所以三棱锥A—BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为S球＝4π2＝3π.

2.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为（　　）

A．12π　B．36π　　　C．72π　D．108π

2.解析：

选B　依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.

3．（2012·广东高考）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）

A．72πB．48πC．30πD．24π

3.解析：

选C　此几何体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V＝×π×33＋π×32×＝30π.

4．（2013·广州模拟）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（　　）

A.B.C.D.

4.解:

设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝a2，即a＝R，则＝＝.