初二数学上期末竞赛培优能力提高测试题Word文档下载推荐.doc

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④△CPQ是等边三角形．其中正确的是（）

A．①②③④B．②③④

C．①③④D．①②③

二、填空题（每题3分，共24分）

9.因式分解：

=___________．

10.计算：

11.按图4所示程序计算：

a→×

2→→÷

a→→结果

图4

请将上面的计算程序用代数式表示出来并化简：

_________．

12.如图5，将△ABC纸片沿DE折叠，图中实

线围成的图形面积与原三角形面积之比为2∶3，

若图中实线围成的阴影部分面积为2，则图5

重叠部分的面积为__________.

13.〈辽宁沈阳〉已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是__________．

14.在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），若△ABC的面积为6，且点C在坐标轴上，则符合条件的点C的坐标为___________．

15.如图6所示，在平面直角坐标系中，点A（2，2）关于y轴的对称点为B，点C关于y轴的对称点为D．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是__________．

图6图7

16.如图7的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若，则∠A的度数是________．

三、解答题（17、18题每题5分，23、25题每题9分，24题8分，26题12分，其余每题6分，共72分）

17.如图8均为2×

2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在两个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．

图8

18.如图9，△ABC中，∠A=40°

，∠B=76°

，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数．

图9

19.在解题目：

“当a=2014时，求代数式的值”时，小明认为a只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同的结果，你认为他说的有道理吗？

请说明理由．

20.已知M=，当式中的、y各取何值时，M的值最小？

求此最小值.

21.是否存在实数，使分式的值比分式的值大1？

若存在，请求出的值；

若不存在，请说明理由.

22.如图10所示，AB∥DC，AD⊥CD，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，试探求AB、CD与BC的数量关系，并说明你的理由.

图10

23.如图11，某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60°

方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30°

方向上，继续向东航行到D处，观测到灯塔B在北偏西30°

方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里

（1）判断△BCD的形状；

.

图11

（2）求该船从A处航行至D处所用的时间；

（3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，观测灯塔B，灯塔B在什么方向上？

24.某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为300m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．

（1）求原计划每天铺设路面的长度；

（2）若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？

并说明理由．

25.如图12所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．

图12

（1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？

请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以

（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

26.数学课上，老师出示了如下框中的题目，

在等边三角形ABC中，点E在AB上，

点D在CB的延长线上，且ED＝EC，

如图13，试确定线段

AE与DB的数量关图13

系，并说明理由.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图14

（1），确定线段AE与DB的数量关系，请你直接写出结论：

AE______DB（填“＞”“＜”或“=”）．

图14

（2）特例启发，解答题目

解：

题目中，AE与DB的数量关系是：

AE______DB（填“＞”“＜”或“=”），理由如下：

如图14

（2），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．（请你直接写出结果）

参考答案及点拨

一、1.C点拨：

因为，所以A错误；

因为a÷

=a×

×

=，所以Ｂ错误；

因为，所以C正确；

因为，所以D错误．应选C．

2.B点拨：

分底边长为3和底边长为1两种情况讨论．

（1）若底边长为1，则这个等腰三角形的周长为7；

（2）若底边长为3，这个等腰三角形不存在．故选B．

3.A点拨：

根据完全对称式的定义可知、、是完全对称式，而不是完全对称式，应选A．

解答本题的关键是按照新定义，将四个代数式进行变换，然后对照确定正确选项．

4.A点拨：

方法1:

由得，

所以原式

方法2：

由得，,

所以原式.

5.D点拨：

原式，要使为整数，则必须为整数，因此或或或，解得或或2或0；

因此整数n的值有4个，应选D．

6.C点拨：

如答图1，连接MA、NA.∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°

，AB=AC，∴∠B=∠C=30°

，∴∠BAM=∠CAN=30°

，∴∠AMN=∠ANM=

60°

，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN=BC=2cm，故选C．

答图1

7.B点拨：

在Rt△AED中，因为∠D＝30°

，所以∠DAE＝60°

在Rt△ABC中，因为∠ACB＝90°

，∠BAC＝60°

，所以∠B＝30°

在Rt△BEF中，因为∠B＝30°

，EF＝2，所以BF＝4；

连接AF，因为DE是AB的垂直平分线，所以FA＝FB＝４，∠FAB＝∠B＝30°

因为∠BAC＝60°

，所以∠DAF＝30°

，因为∠D＝30°

，所以∠DAF＝∠D，所以DF＝AF＝４.故应选B.

8.A点拨：

由正△ABC和正△CDE，可知AC=BC，∠ACB=

∠DCE=60°

，CD=CE，所以∠ACD=∠BCE，所以△ACD≌△BCE，从而AD=BE，∠CAD=∠CBE；

在△ACP和△BPO中，因为∠APC=∠BPO，∠CAD=∠CBE，所以由三角形内角和定理可得∠AOB=

∠ACB＝60°

由条件可证△PCD≌△QCE，所以PC＝QC，又∠PCQ＝60°

，所以△CPQ是等边三角形．应选A．

二、9.点拨：

原式．因式分解时，首先考虑提取公因式，再考虑运用乘法公式分解，同时注意要分解到不能分解为止．

10.2点拨：

原式．在无括号的实数混合运算中，先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减运算．

11.点拨：

由流程图可得．

12.2点拨：

设重叠部分的面积为,则实线围成的图形面积为2+，三角形ABC面积为2+2．由题意得，解得=2．

13.1和7点拨：

点P可在三角形内和三角形外，需要分情况求解．设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为，△ABC的高为h．

（1）当点P在等边三角形ABC内时：

连接PA、PB、PC，利用面积公式可得，则，所以点P到BC的最小距离是1；

（2）当点P在等边三角形ABC外时（只考虑P离BC最远时的情况）：

同理可得，此时.综上可知，点P到BC的最小距离和最大距离分别是1和7.

14.（）、（）、（）、（）点拨：

分点C在轴上和点C在y轴上两种情况讨论，可得符合条件的点C的坐标．

（1）当点C在轴上时，设点C的坐标为（），则，解得=6或，因此点C的坐标为（）、（）；

（2）当点C在y轴上时，设点C的坐标为（0，y），则，解得y=或9，因此点C的坐标为（）、（）；

综上得点C的坐标为（）、（）、（）、（）.

15.（）点拨：

因为A（2，2）关于y轴的对称点为B，所以点B的坐标为（）；

因为C（）关于y轴的对称点为D，所以点D的坐标为（），所以四边形ABCD的周长为20，因为2014÷

20=100……14，说明细线绕了100圈，回到A点后又继续绕了14个单位长度，故细线另一端到达点的坐标为（）.本题利用周期的规律求解，因此求得细线绕四边形ABCD一圈的长度是解题的关键.

16.12°

点拨：

设∠A=，∵，

∴∠A=∠=∠=，∴∠=∠=2，

∴∠=∠=3，…，∠=∠=7，

∴∠=7，∠=7，

在△中，∠A+∠+∠=180°

，即+7+7=180°

，

解得=12°

，即∠A=12°

．

三、17.解：

如答图2所示，画出其中任意两个即可．

答图2

点拨：

对称轴可以是过正方形对边中点的直线，也可以是正方形对角线所在的直线．本题可以通过折叠操作找到对称轴，从而确定轴对称图形．

18.解：

∵∠A=40°

，∴∠ACB=，

∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°

，∴∠CED=∠A+∠ACE=40°

+32°

=72°

，∵DF⊥CE，CD⊥AB，∴∠CFD=∠CDE=90°

∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°

，∴∠CDF=∠CED=72°

19.解：

小明说的有道理．

理由：

所以只要使原式有意义，无论a取何值，原式的值都相同，为常数3．

20.解：

M，

因为≥0，≥0，所以当且，即且时，M的值最小，最小值为5.

21.解：

不存在.

若存在，则.

方程两边同乘，得，

解这个方程，得.

检验：

当时，，原方程无解．

所以，不存在实数使分式的值比分式的值大1．

先假设存在，得到分式方程，再解分式方程，由分式方程的结果可说明理由.

22.解：

AB+CD=BC.

如答图3，过点E作EF⊥BC于点F.

因为AB∥DC，AD⊥CD，

所以AD⊥AB.

因为BE平分∠ABC，所以EA=EF.

在Rt△ABE和Rt△FBE中，因为EA=EF，BE=BE，

所以Rt△ABE≌Rt△FBE.

所以AB=BF.

因为E是AD的中点，所以AE=ED，所以ED=EF.

在Rt△EDC和Rt△EFC中，因为ED=EF，EC=EC，

所以Rt△EDC≌Rt△EFC.

所以DC=FC.

所以AB+DC=BF+CF=BC，即AB+CD=BC.

答图3

23.解：

（1）由题意得：

∠BCD=∠BDC=60°

，∴∠CBD=60°

∴△BCD是等边三角形.

（2）由题意得：

∠BAC=30°

，∠ACB=120°

∴∠ABC=∠BAC=30°

∴AC=BC=BD=60海里，

∴AD=AC+CD=60+60=120（海里），

∴t=120÷

15=8（小时）.

∴该船从A处航行至D处所用的时间为8小时.

（3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，连接BE.

此时AE=15×

6=90（海里），∴CE=90-60=30（海里）.

∴CE=DE=30海里.

∵△BCD是等边三角形，

∴BE是CD的垂直平分线.

∴灯塔B在该船的正北方向上.

24.解：

（1）设原计划每天铺设路面的长度为m．

根据题意得．解之得＝9．

经检验：

＝9是原方程的根,且符合题意．

答：

原计划每天铺设路面的长度为9m．

（2）所准备的流动资金够支付工人工资．

共支付工人工资为

（元）．

因为＜，所以所准备的流动资金够支付工人工资．

25.解：

（1）①因为t=3秒，

所以BP=CQ=1×

3=3（厘米），

因为AB=10厘米，点D为AB的中点，

所以BD=5厘米．

又因为PC=，BC=8厘米，

所以PC=（厘米），

所以PC=BD．

因为AB=AC，所以∠B＝∠C，

所以△BPD≌△CQP．

②因为≠，所以BP≠CQ，

当△BPD≌△CPQ时，因为∠B＝∠C，AB=10厘米，BC=8厘米，

所以BP=PC=4厘米,CQ=BD=5厘米，

所以点P，点Q运动的时间为4秒，

所以厘米/秒，即当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使

△BPD与△CQP全等.

（2）设经过秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意，得，

解得．

所以点P共运动了80厘米．

因为80=2×

28+24，所以点P、Q在AB边上相遇，

所以经过80秒点P与点Q第一次在△ABC的边AB上相遇.

26.解：

（1）＝

（2）＝；

在等边三角形ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°

，AB=BC=AC，

因为EF∥BC，

所以∠AEF=∠AFE=60°

=∠BAC．

所以△AEF是等边三角形，

所以AE=AF=EF，

所以，即BE=CF.

因为ED=EC，

所以∠EDB=∠ECB，

又因为∠ABC=∠EDB+∠BED=60°

∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°

所以∠BED=∠FCE，

所以△DBE≌△EFC，

所以DB=EF，

所以AE=DB.

（3）1或3.

（1）利用等边三角形三线合一知，∠ECB=30°

，又ED=EC，则∠D=30°

，所以

∠DEC=120°

，则∠DEB=30°

=∠D,所以DB＝EB＝AE；

（2）先证

△AEF为等边三角形，再证△EFC≌△DBE，可得AE=DB；

（3）当E在射线AB上时，如答图4

（1），AB＝BC＝EB＝1，∠EBC＝120°

，所以∠BCE＝30°

，因为ED＝EC，所以∠D＝30°

，则∠DEB＝90°

，所以DB＝2EB＝2，所以CD＝2+1＝3；

当E在射线BA上时，如答图4

（2），过点E作EF⊥BD于点F，则∠BEF＝30°

，所以BF＝BE＝1.5,

所以CF＝0.5，因为EC＝ED，EF⊥CD，

所以CD＝2CF＝1.

综上，CD的长为1或3．

答图4