年高考真题理科数学全国卷.doc
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（全国I卷）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．设，则（）（A）0（B）（C）1（D）
2．已知集合，则（）
（A）（B）（C）（D）
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如右饼图。
则下面结论中不正确的是（）
（A）新农村建设后，种植收入减少
（B）新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
（C）新农村建设后，养殖收入增加了一倍
（D）新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．设为等差数列的前项和，若，，则（）
（A）（B）（C）10（D）12
5．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）（A）（B）（C）（D）
6．在中，为边上的中线，为的中点，则（）
（A）（B）（C）（D）
7．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）
（A）（B）（C）（D）
8．设抛物线：
的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则（）（A）5（B）6（C）7（D）8
9．已知函数，。
若存在2个零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边。
的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III。
在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为，则（）（A）（B）（C）（D）
11．已知双曲线：
，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为。
若为直角三角形，则（）
（A）（B）3（C）（D）4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）（A）（B）（C）（D）
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．若满足约束条件，则的最大值为________。
14．记为数列的前项和，若，则_____________。
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种。
（用数字填写答案）
16．已知函数，则的最小值是__________。
三．解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：
60分。
17．（本小题12分）在平面四边形中，，，，。
⑴求；⑵若，求。
18．（本小题12分）如图，四边形为正方形，分别
为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的
位置，且。
⑴证明：
平面平面；⑵求与平面所成角的正弦值。
19．（本小题12分）设椭圆：
的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为。
⑴当与轴垂直时，求直线的方程；⑵设为坐标原点，证明：
。
20．（本小题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。
检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立。
⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值。
已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（本小题12分）已知函数。
⑴讨论的单调性；⑵若存在两个极值点，证明：
。
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（本小题10分）在直角坐标系中，曲线的方程为。
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
⑴求的直角坐标方程；⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程。
23．[选修4—5：
不等式选讲]（本小题10分）已知。
⑴当时，求不等式的解集；⑵若时不等式成立，求的取值范围。
2018年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）解答
一．选择题CBABDAADCABA
二．填空题13．6；14．；15．16；16．
17．解：
⑴在中，由正弦定理得，故，得。
由题设知，，所以；
⑵由题设及⑴知，。
在中，由余弦定理得
，所以。
18．证明：
⑴由题，，又，故平面。
又平面，所以平面平面；
⑵作，垂足为。
由⑴得，平面。
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系。
由⑴知，又，，故。
又，，故。
可得，。
则，，，，且为平面的法向量。
设与平面所成角为，则为所求。
19．解：
⑴由已知得，：
。
由题可知或，故，所以的方程为；
⑵当与轴重合时，；当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以；当与轴不重合也不垂直时，设：
，，则，，直线的斜率之和为
。
由得，故，，因此，从而，故的倾斜角互补，所以。
综上，。
20．解：
⑴由题可知，因此
。
令，得。
当时，；当时，。
所以的最大值点为；
⑵由⑴知。
①令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，所以；
②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元。
由于，故应该对余下的产品作检验。
21．解：
⑴的定义域为，。
①若，则，当且仅当时，故在单调递减；②若，令得，。
当或时，当时。
所以在单调递减，在单调递增；
⑵由⑴知，存在两个极值点当且仅当。
因的两个极值点满足，故。
不妨设，则。
因，故。
设函数，由⑴知在
单调递减，而，故时。
故，即。
22．解：
⑴由，得的直角坐标方程为，即；
⑵由⑴知是圆心为，半径为2的圆。
由题知，是过点且关于轴对称的两条射线。
记轴右边的射线为，轴左边的射线为。
由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点，且与有两个公共点；或与只有一个公共点，且与有两个公共点。
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为2，所以，故或。
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点。
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为2，所以，故或。
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点。
综上，所求的方程为。
23．解：
⑴当时，故不等式的解集为；
⑵当时成立等价于当时成立。
若，则当时；若，由得，故，即。
综上，。
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