年高考真题与模拟题理科数学立体几何.doc

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2018年高考真题与模拟题分类汇编（理科）立体几何

2018高考真题与模拟题分类汇编：

立体几何

一．高考真题

1.【2018全国III卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头。

若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

2.【2018浙江3】某几何体的三视图如图所示（单位：

），则该几何体的体积（单位：

）是（）

（A）2

（B）4

（C）6

（D）

3.【2018全国I卷7】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。

圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）（A）（B）（C）3（D）2

4.【2018浙江8】已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）（A）（B）（C）（D）

5.【2018全国II卷9】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）

6.【2018全国III卷10】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）

（A）（B）（C）（D）

7.【2018全国I卷12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）

（A）（B）（C）（D）

8.【2018江苏10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_________。

9.【2018天津11】已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的体积为__________。

10.【2018全国II卷16】已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________。

11.【2018江苏15】在平行六面体中，，。

求证：

⑴平面；⑵平面平面。

12.【2018北京16】如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，。

⑴求证：

平面；⑵求二面角的余弦值；⑶证明：

直线与平面相交。

13.【2018天津17】如图，且，，且，且，平面，

。

⑴若为的中点，为的中点，求证：

平面；⑵求二面角的正弦值；⑶若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长。

14.【2018全国I卷18】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且。

⑴证明：

平面平面；⑵求与平面所成角的正弦值。

15.【2018全国III卷19】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于的点。

⑴证明：

平面平面；⑵当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值。

16.【2018浙江19】如图，已知多面体，均垂直于平面，，，，。

⑴证明：

平面；⑵求直线与平面所成的角的正弦值。

17.【2018全国II卷20】如图，在三棱锥中，，，为的中点。

⑴证明：

平面；

⑵若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值。

18.【2018江苏22】如图，在正三棱柱中，，点分别为的中点。

⑴求异面直线与所成角的余弦值；

⑵求直线与平面所成角的正弦值。

二．各地模拟题

19．【安徽省宿州市2018届三模】如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，，是上的一点，分别是点在上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（）（A）（B）（C）（D）

20．【辽宁省葫芦岛市2018届二模】在长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱。

为矩形内部（含边界）一点，为中点，，为空间任一点，且，三棱锥的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（）

（A）为奇函数（B）在上不单调（C）（D）

21．【河南省洛阳市2018届三模】在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）

22．【四川省2018届冲刺演练一】某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（）

（A）（B）

（C）（D）

23．【山东省济南2018届二模】已知点均在表面积为的球面上，其中平面，，，则三棱锥的体积的最大值为（）

（A）（B）（C）（D）81

24．【安徽省示范高中（皖江八校）2018届第八联考】某棱锥的三视图如下图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）

（A）（B）

（C）（D）

25．【福建省厦门市2018届二模】已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（）

（A）（B）2（C）4（D）6

26．【山东省威海市2018届二模】已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为________。

27．【山东省烟台市2018届适应性练习二】如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，为上的点，

分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使重合得到一个四棱锥，则该四棱锥的体积的最大值为_______。

28．【湖南省益阳市5月统考】如图，在三棱锥中，两两垂直，，平面平面，且与棱分别交于三点。

⑴过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；⑵若将三棱锥分成体积之比为的两部分，求直线与平面所成角的正弦值。

29．【江西省南昌市2018届三模】如图，多面体中，为正方形，，，，二面角的余弦值为，且。

⑴证明：

平面平面；⑵求平面与平面所成锐二面角的余弦值。

30．【河南省郑州市2018届三模】如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点。

⑴证明：

；⑵若点为棱上一点，且，求二面角的余弦值。

31．【河北省唐山市2018届三模】如图，四棱锥的底面是平行四边形，。

⑴求证：

平面平面；

（2）若，为的中点，为棱上的点，平面，求二面角的余弦值。

附答案：

ACBDCBA8．；9．；10．。

11．证明：

⑴在平行六面体中，。

因为平面，平面，所以平面；

⑵在平行六面体中，四边形为平行四边形。

又因为，所以四边形为菱形，因此。

又因为，，所以。

又，平面，平面，故平面。

因为平面，所以平面平面。

12．解：

⑴在三棱柱中，因平面，故四边形为矩形。

又分别为的中点，故。

因，故，所以平面；

⑵由⑴知，，。

又平面，故平面。

因平面，故。

如图建立空间直角坐称系，由题得，，，，。

故，。

设为平面的法向量，则，即，取得

。

又是平面的法向量，故

。

由图可知二面角为钝角，故其余弦值为；

⑶因，，故。

因，且，故平面的法向量与不垂直，从而与平面不平行且不在平面内，所以与平面相交。

13．解：

依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，，。

⑴由题，。

设是平面的法向量，则，即，取得。

又，故。

又因为直线平面，所以平面；

⑵由题，，。

设是平面的法向量，则，即，取得。

设是平面的法向量，则，即，取得。

故，从而，所以二面角的正弦值为；

⑶设线段的长为，则，故。

易知，为平面的一个法向量，故。

由题意得，解得。

所以线段的长为。

14．证明：

⑴由题，，又，故平面。

又平面，所以平面平面；

⑵作，垂足为。

由⑴得，平面。

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图空间直角坐标系。

由⑴知，又，，故。

又，，故。

可得，。

则，，，，且为平面的法向量。

设与平面所成角为，则为所求。

15．解：

⑴由题知，平面平面，交线为。

因，平面，故平面，因此。

因为上异于的点，且为直径，故。

又，所以平面。

而平面，故平面平面；

⑵以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。

当三棱锥体积最大时，为的中点。

由题，，，，，，，。

设是平面的法向量，则，即，可取。

是平面的法向量，因此，，所以面与面所成二面角的正弦值为。

16．解：

⑴由题知，。

又，，故，所以，因此。

由，，及，得。

由，得。

由，得，所以，故。

因此平面；

⑵如图，过点作，交直线于点，连结。

因平面，故平面平面。

因，故平面。

所以是与平面所成的角。

由，，得，，故，所以。

因此，直线与平面所成的角的正弦值是。

17．解：

⑴因，为的中点，故，且。

连，因，故为等腰直角三角形，且，。

故，因此。

又，故平面；

⑵如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系。

由题知，，，，，。

取平面的法向量，设，则。

设平面的法向量为，则，即，可取，所以。

由题得，解得（舍）或，故。

又，故，所以与平面所成角的正弦值为。

18．解：

如图，在正三棱柱中，设的中点分别为，则，，。

以为基底，建立空间直角坐标系。

因，故，，，，，。

⑴因为的中点，故，从而，，所以

，即异面直线与所成角的余弦值为；

⑵因为的中点，故，因此，，。

设为平面的法向量，则，即，取得。

，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为。

19～27：

DDBBAAD26．；27．。

28．解：

⑴作法：

取的中点，连接，则直线即为要求作的直线。

证明如下：

因，，且，故平面。

又平面平面，且平面，平面平面，故，所以平面，因此。

又，为的中点，故，从而直线即为要求作的直线；

⑵因将三棱锥分成体积之比为的两部分，故四面体的体积与三棱锥的体积之比为。

又平面平面，故。

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，。

设是平面的法向量，则，即，取得。

故，所以直线与平面所成角的正弦值为。

29．解：

⑴因，，，故，因此。

又正方形中，且，故平面。

又平面，所以平面平面；

⑵由⑴知是二面角的平面角，作于，则，，且由平面平面，平面平面，平面，所以，平面。

取中点，连结，则。

如图建立空间直角坐标系，则，，，，故，。

因，故是的一个方向向量。

设是平面的法向量，则，即，取得。

又是平面的一个法向量，且。

设平面与平面所成锐二面角为，则，因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为。

30．解：

⑴因底面，故，。

又，故两两垂直。

以为原点，为正交基底，建立空间直角坐标系。

则由题意得，，，，，，，故，所以；

⑵由⑴知，，，。

因点为棱上，故可设，则。

因，故，解得，故。

设是平面的法向量，则，即，取得。

由题知是平面的法向量，故。

由图知二面角是锐角，故二面角的余弦值为。

31．解：

⑴因，，故。

又

，，故平面，因此

。

又，，故平面

。

因平面，所以平面平面；

⑵连接交于点，连接，因为的中点，，故。

因平面，平面，平面平面，故，因此，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，故，，，。

设是平面的法向量，则，即，取得。

设是平面的法向量，则，即，取得。

因，且二面角为钝角，故二面角的余弦值为。

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