第7次课非稳态导热的相似、积分分析Word文档格式.doc

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导热问题具有相似性解的条件：

经相似变换后，边界条件及初始条件的函数形式可转化为常数时，则此定解问题存在相似解。

在建立相似性变量方面有一系列的方法，他们包括自由参数法、分离变量法以及数群理论法。

用自由参数法时，在分析一开始就得考虑边界条件与初始条件，并且要构造因变量的变换函数。

其方法是，在变换过程中，边界条件及初始条件与微分方程一起也作变换。

因而，没有一种常规的程序，而需要对问题的本质都深入的领悟。

分离变量法包括经典的分离变量法，它在很多方面与自由参数法相似，分析一开始就得考虑边界条件的变换。

数群理论法在它的形成过程中数学上是最复杂的，但在应用时，它是最直接最简单的。

也即，只要遵循这个理论所建立起来的规则，不难得到相似性变换，且在变换时不必考虑边界条件与初始条件就可将微分方程进行变换。

这个方法的优点是应用简单，没有猜测的成分。

但是，在变换过程中没有考虑问题的边界条件和初始条件的变换。

只是在相似性变换建立起来之后，才讨论边界条件与初始条件的变换。

为了达到对边界条件和初始条件变换的目的，在相似性变换时，要对他们作某些合并。

一般地说，若相似性变换消去的自变量的范围为从0到无限大，则对边界条件与初始条件作变换时较易合并。

二、定壁温边界条件下半无限大物体的温度响应

一半无限大物体处理的导热体,初始温度均匀为t0，在t=0时刻，在x=0的一侧表面温度突然升高到tw，并保持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。

数学表达式

引入相似性变量

把以上结果带入导热微分方程中得：

此时得到常微分方程。

代入定解条件得：

得到原问题的解

erf（）称为误差函数，erfc（）称为余误差函数或误差函数的补函数。

第二部分：

积分法

求偏微分方程的分析解通常是困难的，在涉及非线性或其他复杂的边界条件时尤其如此，因此常常需要借助各种近似的方法。

积分方程法就是被采用的一种求解偏微分方程的近似方法，积分方程法同样可应用于多维稳态导热和费稳态导热中。

近似分析解法既具有分析解的特征，又具有近似解的特征。

分析解的特征是指它提供的结果是解析函数形式，近似解的特征则是指它提供的结果只能近似地满足导热定解问题，即对于微元体整体满足能量守衡，但各点的温度分布则是近似的。

一、积分方法分析问题的基本步骤

确定积分方程；

假设热渗透层内的温度分布；

确定热渗透层厚度δ（τ）；

确定温度分布。

二、常壁温边界条件下半无限大物体

1.热渗透层厚度δ（τ）

对于半无限大物体中的非稳态导热，从上图可以看出，随着时间的推移，边界的热作用逐渐向物体内部传播，形成一个厚度为“热渗透层”。

当然，它的厚度是时间的函数。

在的区域，可以认为还没有受边界热作用的影响，温度没有变化。

即近似地认为

2.积分方程的推导

一般来说，积分方程可以从相应的偏微分方程对某一个自变量积分一次导得，也可以从一般的守恒关系（对于导热问题是能量守恒）直接建立方程。

前者给出了积分方程与偏微分方程之间的内在联系，后者的物理概念清晰。

以上面介绍的半无限大平壁导热问题为例:

由该问题的边界条件式（3-3-9），以上积分方程简化为

3.假设热渗透层内的温度分布

通常选温度分布为某一多项式函数。

多项式中的系数可根据实际的（有时还需补充几个推导得到的）边界条件予以确定。

用热渗透层厚度δ（τ）来表示。

4.具体问题分析求解。

半无限大物体（x＞0）的瞬态热传导问题。

数学描述：

，

热渗透层内温度分布的假设：

，，，

能量积分方程：

将温度剖面代入能量积分方程，得有关δ（τ）的常微分方程：

由此得到边界上的热流密度为

不同温度分布（多项式幂次）的假设，得到的结果也不同。

当参数的值较小时，相互的一致性都比较好；

在的值较大时，四次多项式与精确解的一致性比用其它多项式好。

半无限大区域的精确解与近似解比较

由图可见，四次多项式的解与精确解最接近。

三、常热流边界条件下的半无限大物体

精确解：

近似解：

，