平行线的常考经典题型Word文档格式.docx

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（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°

，∠DCP=20°

时，求∠APC．

（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？

并说明理由．

【练习】

1.如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，

第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，

第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．

若∠En=1度，那∠BEC等于　　度

2．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　　．

4.数学思考：

（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论。

推广延伸：

（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；

②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系

拓展应用：

（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为（）

A.180°

+α+β﹣γB.180°

﹣α﹣γ+β　C．β+γ﹣α　D．α+β+γ　

②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°

，∠FGH=90°

，∠HMN=30°

，∠CNP=50°

，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是　　．

例4、平移

如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°

（1）说明OB∥AC成立的理由．

（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．

（3）在

（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：

∠OFB的比值是否随之发生变化？

若变化，请说明理由；

若不变，请求出这个比值．

（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．

【练习】如图，已知AM∥BN，∠A=60°

．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

（1）求∠CBD的度数；

（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？

若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；

若变化，请写出变化规律．

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是　　．

例5、作图—应用

作图题

（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？

请在图中画出最短路线．

（2）如图2，在一条河的两岸有A，B　两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：

桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？

请在图中画出桥CD的位置．

【练习】如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．

（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；

（2）过B作BH⊥直线m，并延长BH至B′，使得BB′为直线a、m之间的距离；

（3）若直线a、m表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？

画出示意图．

【巩固练习】

一、选择题

1．如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°

，则∠C等于（　　）

A．24°

B．34°

C．26°

D．22°

第1题图第2题图

2．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°

，则∠K=（　　）

A．76°

B．78°

C．80°

D．82°

3．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（　　）

A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定

4．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°

，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：

①AB∥CD；

②∠AEB+∠ADC=180°

；

③DE平分∠ADC；

④∠F为定值。

其中结论正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（　　）

A．180°

B．360°

C．540°

D．720°

二、填空题

6．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为　　个．　

7．如图所示，AB∥EF，∠B=35°

，∠E=25°

，则∠C+∠D的值为　　．

第7题图第8题图第9题图

8．如图所示，AB∥CD，∠E=35°

，∠C=20°

，则∠EAB的度数为　　．

9．如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°

，∠B﹣∠D=24°

，则∠GEF=　　．

10．已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直接于F，DE∥AB交AC所在直线于E．若∠A=80°

，则∠FDE的度数是　　．

11．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小敏画平行线的依据可以是　　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；

②同位角相等，两直线平行；

③内错角相等，两直线平行；

④同旁内角互补，两直线平行．

12．把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB=32°

，则∠D′FD的度数为　　．

13．如图

（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图

（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；

整个过程共折叠了9次，问图

（1）中∠DEF的度数是　　．

三、解答题

14.按要求解答下列问题：

（1）分别按下列要求作出经过平移后的图形

①把三角形ABC向右平移3格．

②把第①题所得图形向上平移4格．

（2）经

（1）中二次平移后所得的图形，能通过三角形ABC一次平移得到吗？

如果你认为可以，描述这个平移过程．

（3）如图：

直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路程最短？

画出示意图，并用平移的原理说明理由

15．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．

（1）求证：

∠MAG+∠PBG=90°

（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；

（3）若直线AD的位置如图3所示，

（2）中的结论是否成立？

若成立，请证明；

若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．

15．已知，∠AOB=90°

，点C在射线OA上，CD∥OE．

（1）如图1，若∠OCD=120°

，求∠BOE的度数；

（2）把“∠AOB=90°

”改为“∠AOB=120°

”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；

（3）在

（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．

16．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．

（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；

（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．

17．已知：

如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°

，试回答下列问题：

（1）如图①所示，求证：

OB∥AC．（注意证明过程要写依据）

（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．

（ⅰ）求∠EOC的度数；

（ⅱ）求∠OCB：

∠OFB的比值；

（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于　　．（在横线上填上答案即可）