高三数学大一轮复习 专题一函数图象与性质的综合应用教案 理 新人教A版.docx

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高三数学大一轮复习专题一函数图象与性质的综合应用教案理新人教A版

专题一　函数图象与性质的综合应用

1．函数的三要素是对应关系、定义域、值域；其中函数的核心是对应关系．

2．函数的性质主要包括：

单调性、周期性、对称性、最值等．

3．求函数值域的方法有配方法、换元法、不等式法、函数单调性法、图象法等．

4．作图一般有两种方法：

描点法作图、图象变换法作图．

5．图象的三种变换：

平移变换、伸缩变换和对称变换．

1．（2011·安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）等于

（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

答案　A

解析　∵f（x）是奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，

∴f

（1）＝－f（－1）＝－[2×（－1）2－（－1）]＝－3.

2．函数f（x）＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为（　　）

A.

B.

C．1D．2

答案　B

解析　令f（x）＝0，解得x＝1；令f（x）＝1，解得x＝

或3.因为函数f（x）在（0,1）上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数．故b－a的最小值为1－

＝

.

3．（2011·辽宁）设函数f（x）＝

则满足f（x）≤2的x的取值范围是

（　　）

A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞）D．[0，＋∞）

答案　D

解析　当x≤1时，由21－x≤2，知x≥0，即0≤x≤1.当x>1时，由1－log2x≤2，知x≥

，

即x>1，所以满足f（x）≤2的x的取值范围是[0，＋∞）．

4．（2011·湖北）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ax－a－x＋2（a>0，

且a≠1）．若g

（2）＝a，则f

（2）等于（　　）

A．2B.

C.

D．a2

答案　B

解析　∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，

∴由f（x）＋g（x）＝ax－a－x＋2，①

得－f（x）＋g（x）＝a－x－ax＋2，②

①＋②，得g（x）＝2，①－②，得f（x）＝ax－a－x.

又g

（2）＝a，∴a＝2，∴f（x）＝2x－2－x，

∴f

（2）＝22－2－2＝

.

5．已知y＝f（x）的图象如图，则y＝f（1－x）的图象为下列四图中的（　　）

答案　A

解析　将y＝f（1－x）变形为y＝f[－（x－1）]

①作y＝f（－x）图象，将y＝f（x）关于y轴对称即可；

②将f（－x）的图象沿x轴正方向平移1个单位，

得y＝f[－（x－1）]＝f（1－x）的图象.

题型一　函数求值问题

例1

　（2012·苏州模拟）设f（x）＝

且f

（1）＝6，则f（f（－2））的值为________．

思维启迪：

首先根据f

（1）＝6求出t的取值，从而确定函数解析式，然后由里到外逐层求解f（f（－2））的值，并利用指数与对数的运算规律求出函数值．

答案　12

解析　∵1>0，∴f

（1）＝2×（t＋1）＝6，

即t＋1＝3，解得t＝2.

故f（x）＝

所以f（－2）＝log3[（－2）2＋2]＝log36>0.

f（f（－2））＝f（log36）＝2×3log36＝2×6＝12.

探究提高　本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围

内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题．解决此类问题的关键是

要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的

函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值．

（2012·广东六校联考）已知f（x）＝

则f

＋f

的值等于（　　）

A．－2B．1C．2D．3

答案　D

解析　f

＝

，f

＝f

＋1＝f

＋2＝

，f

＋f

＝3.

题型二　函数性质的应用

例2

　设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为单调递增函数，且f

（2）＝0，则不等式

≥0的

解集为（　　）

A．[－2,0]∪[2，＋∞）B．（－∞，－2]∪（0,2]

C．（－∞，－2]∪[2，＋∞）D．[－2,0）∪（0,2]

思维启迪：

转化成f（m）

答案　D

解析　因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），不等式可化为

≥0，即－

≥0.

当x>0时，则有f（x）≤0＝f

（2），由f（x）在（0，＋∞）上单调递增可得x≤2；当x<0时，则

有f（x）≥0＝－f

（2）＝f（－2），由函数f（x）为奇函数可得f（x）在（－∞，0）上单调递增，所以x≥－2.所以不等式的解集为[－2,0）∪（0,2]．

探究提高　解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去

掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所

以只需求解x>0时的解集即可．

设函数f（x）＝

若f（m）

（　　）

A．（－1,0）∪（0,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－1,0）∪（1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（0,1）

答案　C

解析　f（－x）＝

＝

当m>0时，f（m）

m1；

当m<0时，f（m）

（－m）

⇒－1

所以，m的取值范围是（－1,0）∪（1，＋∞）．

题型三　函数图象及应用

例3

　已知函数f（x）＝

若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc

的取值范围是_____________．

思维启迪：

可以先画出函数f（x）的图象，通过图象的特征观察a、b、c的关系．

答案　（10,12）

解析　画出函数f（x）的图象，再画出直线y＝d（0

0

探究提高　通过图形可以发现a，b，c所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．

已知不等式x2－logax<0，当x∈

时恒成立，求实数a的取值范围．

解　

由x2－logax<0，

得x2

设f（x）＝x2，g（x）＝logax.

由题意知，当x∈

时，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方，

如图，可知

即

解得

≤a<1.∴实数a的取值范围是

.

题型四　函数的值域与不等式恒成立问题

例4

　（2012·天津滨海新区五所重点学校联考）定义在R上的增函数y＝f（x）对任意x，y∈R

都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）．

（1）求f（0）；

（2）求证：

f（x）为奇函数；

（3）若f（k·3x）＋f（3x－9x－2）<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

思维启迪：

（1）赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第

（1）

（2）两问可用赋值法解决．

（2）将恒成立问题转化成函数最值问题．

（1）解　令x＝y＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0），

即f（0）＝0.

（2）证明　令y＝－x，得f（x－x）＝f（x）＋f（－x），

又f（0）＝0，则有0＝f（x）＋f（－x），

即f（－x）＝－f（x）对任意x∈R成立，

所以f（x）是奇函数．

（3）解　方法一　因为f（x）在R上是增函数，

又由

（2）知f（x）是奇函数．

f（k·3x）<－f（3x－9x－2）＝f（－3x＋9x＋2），

所以k·3x<－3x＋9x＋2，

32x－（1＋k）·3x＋2>0对任意x∈R成立．

令t＝3x>0，问题等价于t2－（1＋k）t＋2>0对任意t>0恒成立．

令f（t）＝t2－（1＋k）t＋2，其对称轴为x＝

，

当

<0即k<－1时，f（0）＝2>0，符合题意；

当

≥0即k≥－1时，对任意t>0，f（t）>0恒成立⇔

解得－

1≤k<－1＋2

.

综上所述，当k<－1＋2

时，f（k·3x）＋f（3x－9x－2）<0对任意x∈R恒成立．

方法二　由k·3x<－3x＋9x＋2，得k<3x＋

－1.

u＝3x＋

－1≥2

－1,3x＝

时，取“＝”，即u的最小值为2

－1，

要使对x∈R，不等式k<3x＋

－1恒成立，

只要使k<2

－1.

探究提高　对于恒成立问题，若能转化为a>f（x）（或a

定义在R上的奇函数f（x），当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，对于任意的

θ∈

，均有f（cos2θ－3）＋f（4m－2mcosθ）>0，试求实数m的取值范围．

解　因为f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（x）在（－∞，0]上也是增函数，所以f（x）在R上是增函数，且f（0）＝0，

∵f（cos2θ－3）＋f（4m－2mcosθ）>0，

∴f（cos2θ－3）>f（2mcosθ－4m），

于是cos2θ－3>2mcosθ－4m，①

即cos2θ－mcosθ＋2m－2>0.

得m>

，设h（θ）＝

，

则h（θ）＝4－

≤4－2

，即h（θ）max＝4－2

，只须m>4－2

.

故实数m的取值范围是（4－2

，＋∞）．

　　　　　　　　2.高考中的函数零点问题

典例：

（2011·山东）已知函数f（x）＝logax＋x－b（a>0，且a≠1）．当2

考点分析　本题考查对数函数、函数单调性、函数零点等知识，体现了函数知识的综合．

求解策略　解答本题可先确定函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性，然后根据a，b满足的条件及对数的运算性质探究出f（x）零点所在的区间，从而对照x0∈（n，n＋1），n∈N*确定出n的值．

答案　2

解析　∵2

（2）＝loga2＋2－b，

f（3）＝loga3＋3－b.

∵2

<

<1.

又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，

∴loga2＋2－b<0，即f

（2）<0.

∵1<

<

，3

∴loga3＋3－b>0，∴f（3）>0，即f

（2）·f（3）<0.

由x0∈（n，n＋1），n∈N*知，n＝2.

解后反思　

（1）本题考查函数零点，与函数的单调性相结合；

（2）解决函数的有关问题，要综合利用函数的图象，函数的单调性、对称性、周期性、值域等．

方法与技巧

1．利用复合函数求函数值是一类重要问题，解题关键是利用已知的函数值，通过解析式的

变化特点进行代入求值，有时也可以利用周期性来解题．

2．抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f（－x），使之与f（x）产生等量关系，即比较f（－x）

与±f（x）是否相等，此时赋值比较多的是－1、1、0等．

3．作图、识图和用图是函数图象中的基本问题．作图的基本途径：

求出函数的定义域；尽

量求出值域；变换（化简、平移、对称、伸缩等）出图象的形状；描点作图．识图就是从

图形中发现或捕捉所需信息，从而使问题得到解决．用图就是根据需要，作出函数的图

形，使问题求解得到依据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题．

失误与防范

1．函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段函数，以防代错解析式．

2．对于由抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量

转化到同一个单调区间上去．

3．识图要抓住性质特征，关键点；作图要规范，一般从基本图形通过平移、对称等变换来

作图.

（时间：

60分钟）

A组　专项基础训练

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．（2011·重庆）下列区间中，函数f（x）＝|ln（2－x）|在其上为增函数的是（　　）

A．（－∞，1]B．[－1，

]

C．[0，

）D．[1,2）

答案　D

解析　方法一　当2－x≥1，即x≤1时，f（x）＝|ln（2－x）|＝ln（2－x），此时函数f（x）在（－

∞，1]上单调递减．当0<2－x≤1，即1≤x<2时，f（x）＝|ln（2－x）|＝－ln（2－x），此时函

数f（x）在[1,2）上单调递增，故选D.

方法二　f（x）＝|ln（2－x）|的图象如图所示．

由图象可得，函数f（x）在区间[1,2）上为增函数，故选D.

2．（2011·北京）如果log

x

y<0，那么（　　）

A．y

C．1

答案　D

解析　不等式转化为

⇒1

3．（2012·浙江改编）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）＝x＋1，则f

等于（　　）

A.

B．－

C.

D.

答案　A

解析　当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，

∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（－x）＝－x＋1.

∴f

＝f

＝f

＝－

＋1＝

.

4．（2012·江西）如图所示，

|OA|＝2（单位：

m），|OB|＝1（单位：

m），OA与OB的夹角为

，以A为圆心，AB为半径

作圆弧

与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1（单位：

m/s）沿线段OB行至点B，再以速率3（单位：

m/s）沿圆弧

行至点C后停止；乙以速率2（单位：

m/s）沿线段OA行至点A后停止．设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）＝0），则函数y＝S（t）的图象大致是

（　　）

答案　A

解析　对t进行分段，确定函数y＝S（t）的解析式．

由题意知，当0

＝2t，此时S（t）＝

·|OB|·|OA|sin

＝

t2，此段图象为抛物线；当t>1时，设圆弧半径为r，

甲从B沿圆弧移动到C后停止，乙在A点不动，则此时S（t）＝

×1×2·sin

＋

·r·3（t－

1）＝

t＋

，此段图象为直线，当甲移动至C点后，甲、乙均不再移动，面积不再

增加，选项B中开始一段函数图象不对，选项C中后两段图象不对，选项D中前两段

函数图象不对，故选A.

二、填空题（每小题5分，共15分）

5．设a>0，a≠1，函数f（x）＝loga（x2－2x＋3）有最小值，则不等式loga（x－1）>0的解集为

______．

答案　（2，＋∞）

解析　∵x2－2x＋3>0，即（x－1）2＋2>0的解集为R，

∴函数f（x）＝loga（x2－2x＋3）的定义域为R.

又∵函数y＝x2－2x＋3有最小值2，无最大值．

据题意有a>1.

∴loga（x－1）>0＝loga1等价于

解得x>2，即不等式loga（x－1）>0的解集为（2，＋∞）．

6．设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝

则f（x）的值域是__________．

答案　[－

，0]∪（2，＋∞）

解析　由x2；

由x≥g（x）得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.

∴f（x）＝

即f（x）＝

当x<－1时，f（x）>2；当x>2时，f（x）>8.

∴当x∈（－∞，－1）∪（2，＋∞）时，函数的值域为（2，＋∞）．

当－1≤x≤2时，－

≤y≤0.

∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－

，0]．

综上可知，f（x）的值域为[－

，0]∪（2，＋∞）．

7．已知函数f（x）＝

在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为________．

答案　[7,8）

解析　由题意知，实数a应满足

，

即

，解得7≤a<8.

三、解答题（共25分）

8．（12分）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|（a>0且a≠1）的图象有两个交点，求a的取值范围．解　①当a>1时，画出函数y＝|ax－1|的草图：

若y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，

则有0<2a<1，∴0

（舍去）．

②当0

若y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，

则有0<2a<1，∴0

.

综上所述，a的取值范围是

.

9．（13分）已知a>0，且a≠1，f（logax）＝

.

（1）求f（x）；

（2）判断f（x）的单调性；

（3）求f（x2－3x＋2）<0的解集．

解　

（1）令t＝logax（t∈R），则x＝at，

且f（t）＝

.

∴f（x）＝

（ax－a－x）（x∈R）．

（2）当a>1时，ax－a－x为增函数，

又

>0，∴f（x）为增函数；

当0

又

<0，∴f（x）为增函数．

∴函数f（x）在R上为增函数．

（3）∵f（0）＝

（a0－a0）＝0，∴f（x2－3x＋2）<0＝f（0）．

由

（2）知：

x2－3x＋2<0，∴1

∴不等式的解集为{x|1

B组　专项能力提升

一、选择题（每小题5分，共15分）

1．已知函数f（x）＝

，若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则a＋2b的取值范围是（　　）

A．（2

，＋∞）B.

C．（3，＋∞）D.

答案　C

解析　由已知条件0

此a＋2b＝a＋

，由对勾函数知y＝x＋

在（0,1）单调递减，得a＋2b>3，即a＋2b的取值范围是（3，＋∞）．

2．设函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，若f

（1）<1，f

（2）＝

，则

（　　）

A．a<

且a≠－1B．－1

C．a<－1或a>0D．－1

答案　C

解析　∵函数f（x）为奇函数，∴f

（1）＝－f（－1）<1，

∴f（－1）>－1.又∵函数f（x）的周期为3，

∴f（－1）＝f

（2）＝

>－1，∴

>0，

解得a>0或a<－1.

3．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x－2）＝f（x＋2），且当x∈[－2,0]

时，f（x）＝

x－1，若在区间（－2,6]内关于x的方程f（x）－loga（x＋2）＝0（a>1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

A．（1,2）B．（2，＋∞）

C．（1，

）D．（

，2）

答案　D

解析　

由f（x－2）＝f（x＋2），知f（x）是以4为周期的周期函数，于是可得f（x）在（－2,6]上的大致图象如图中实线所示，令g（x）＝loga（x＋2）（a>1），则g（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使得方程f（x）－loga（x＋2）＝0（a>1）在区间（－2,6]内恰有3个不同的实数根，则只需

，即

，解得

二、填空题（每小题4分，共12分）

4．函数f（x）＝log0.5（3x2－ax＋5）在（－1，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是

__________．

答案　[－8，－6]

解析　设g（x）＝3x2－ax＋5，由已知

解得－8≤a≤－6.

5．已知f（x）＝asinx＋b

＋4（a，b∈R），且f[lg（log210）]＝5，则f[lg（lg2）]＝________.

答案　3

解析　lg（log210）＝－lg（lg2），f（－x）＝asin（－x）＋b

＋4＝－（asinx＋b

）＋4.

又f[lg（log210）]＝5，∴f[lg（lg2）]＝4－5＋4＝3.

6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋2x，若f（2－a2）>f（a），则实数a

的取值范围是__________．

答案　（－2,1）

解析　

∵f（x）是奇函数，∴当x<0时，f（x）＝－x2＋2x，作出f（x）的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f（x）是R上的增函数，

由f（2－a2）>f（a），

得2－a2>a，即－2

三、解答题（13分）

7．设函数f（x）＝3ax2－2（a＋c）x＋c（a>0，a，c∈R）．

（1）设a>c>0.若f（x）>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞）恒成立，求c的取值范围；

（2）函数f（x）在区间（0,1）内是否有零点，有几个零点？

为什么？

解　

（1）因为二次函数f（x）＝3ax2－2（a＋c）x＋c的图象的对称轴为x＝

，由条件a>c>0，

得2a>a＋c，故

<

＝

<1，即二次函数f（x）的对称轴在区间[1，＋∞）的左边，且抛

物线开口向上，故f（x）在[1，＋∞）内是增函数．

若f（x）>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞）恒成立，则f（x）min＝f

（1）>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，

得c2－c<0，所以0

（2）①若f（0）·f

（1）＝c·（a－c）<0，

则c<0，或a

②若f（0）＝c>0，f

（1）＝a－c>0，则a>c>0.

因为二次函数f（x）＝3ax2－2（a＋c）x＋c的图象的对称轴是x＝

.

而f

＝

<0，

所以函数f（x）在区间

和

内各有一个零点，故函数f（x）在区间（0,1）

内有两个零点．