抽屉原理练习题Word格式.docx
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19、下图中画了3行9列共27个小方格，将每一个小方格涂上红色或蓝色，请你想一想，为什么不管如何涂色，其中必定可以找到两列，它们的涂色方式相同？
20、学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个同学从中任意借两本，那么至少要多少名学生一起来借书，其中才一定有两人所借的图书种类相同？
21、
（1）从1到100的自然数中，任取52个数，其中必有两个数的和为102.
（2）从1到100的所有奇数中，任取27个不同的数，其中必有两个数的和等于102，请说明理由
1.某班37名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？
2.42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？
3.口袋中有红、黑、白、黄球各10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4个颜色相同的球？
4.饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？
5.从13个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。
6.一个班有40名同学，现在有课外书125本。
把这些书分给同学，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？
一、填空题
1.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100人中至少有个人的朋友数目相同.
2.在明年（即1999年）出生的1000个孩子中,请你预测:
（1）同在某月某日生的孩子至少有个.
（2）至少有个孩子将来不单独过生日.
3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸次.
4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取颗.
如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出
颗.
5.从1,2,3…,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有对.
6.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有
人的头发根数一样多.
7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有个.
8.一付扑克牌共有54张（包括大王、小王）,至少从中取张牌,才能保证其中必有3种花色.
9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了
个球.
10.某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同.
二、解答题
11.任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数.
12.在边长为1的正方形内任取51个点,求证:
一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50.
13.某幼儿园有50个小朋友,现在拿出420本连环画分给他们,试证明:
至少有4个小朋友分到连环画一样多（每个小朋友都要分到连环画）.
14.能否在8⨯8的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?
请说明理由.
———————————————答案——————————————————————
1.2
因为每个人至少有1个朋友,至多有99个朋友,将有1个朋友的人,2个朋友的人,…,99个朋友的人分成99类，在100个人中,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同.
2.
（1）3;
（2）636
因为1999年有365天,故在1999年出生的孩子至少有
（个）孩子的生日相同;
又因为1000-（365-1）=363,即至少有363个孩子将来不单独过生日.
3.91
当摸出的2个球颜色相同时,可以有4种不同的结果;
当摸出的2个球颜色不同时,最多可以有3+2+1=6（种）不同结果.一共有10种不同结果.
将这10种不同结果看作10个抽屉,因为要求10次摸出结果相同,故至少要摸9⨯10+1=91（次）.
4.4;
7
将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取1⨯3+1=4（颗）珠子.
对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗,一次至少要取4+（1⨯2+1）=7（颗）珠子.
5.1
将1~12这十二个数组成
这六对两数差为6的数组.任取7个数,必定有两个数差在同一组中,这一对数的差为6.
6.267
将4千万人按头发的根数进行分类:
0根,1根,2根…,150000根共150001类.
因为40000000=（266⨯150001）+99743>
266⨯150001,故至少有一类中的人数不少于266+1=267（个）,即该省至少有267个人的头发根数一样多.
7.7
将每10块颜色相同的木块算作一类,共3类.把这三类看作三个抽屉,而现在要保证至少有三块同色木块在同一抽屉中,那么至少要有2⨯3+1=7（块）.
8.29
将4种花色看作4个抽屉,为了保证取出3张同色花,那么应取尽2个抽屉由的2⨯13张牌及大、小王与一张另一种花色牌.计共取2⨯13+2+1=29（张）才行.
9.9
将5个同学投进的球作为抽屉,将41个球放入抽屉中,至少有一个抽屉中放了9个球,（否则最多只能进5⨯8=40个球）.
10.6
订阅报刊的种类共有7种:
单订一份3种,订二份3种,订三分1种.将37名学生依他们订的报刊分成7类,至少有6人属于同一类,否则最多只有6⨯6=36（人）.
11.将整数的末位数字（0~9）分成6类:
在所给的7个整数中,若存在两个数,其末位数字相同,则其差是10的倍数;
若此7数末位数字不同,则它们中必有两个属于上述6类中的某一类,其和是10的倍数.
12.将边长为1的正方形分成25个边条为
的正方形,在51个点中,一定有
（个）点属于同一个小正方形.
不妨设A、B、C三点边长为
的小正方形EFGH内,由于三角形ABC的面积不大于小正方形面积EFGH的
又EFGH的面积为
.故三角形ABC的面积不大于
.
13.考虑最极端的情况,有3个小朋友分到1本,有3个小朋友分到2本,…,有3个小朋友分到16本,最后两个小朋友分到17本,那么一共至少要
3⨯（1+2+3+…+16）+2⨯17=442（本）,而442>
420,故一定有4个小朋友分了同样多的书.
14.注意到8行、8列及两对角线共有18条“线”,每条线上有8个数字,要使每条线上的数字和不同,也就是需要每条线上的数字和有18种以上的可能.
但我们填入的数只有1、2、3三种,因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17（种）.
故不可能使得每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等.
1，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：
一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
2，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？
3，一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
在乐乐之前已就座的最少有几人？
4，一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
5，在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
五年级趣味数学抽屉原理
应用抽屉原理是解决一些数学竞赛题的一把钥匙。
什么是抽屉原理呢？
抽屉原理可以这样表达：
把（n+1）个物体，放进n个抽屉里去，不论怎样放法，至少有一个抽屉内的物体不少于2个。
A组：
1.有29个人都在2月份出生，其中一人说：
“我的生日肯定和其他人重复。
”这话对吗？
2.某校有366名1979年出生的学生，那么是否至少有2个学生的生日是同一天的？
3.参加数学竞赛的210名学生，能否保证有18名或18名以上的学生在同一个月出生？
4.一个袋子里有些球，这些球除颜色不同外，其他都相同。
其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个，某人闭着眼睛从其中取出若干个。
试问他至少要取多少个球，方能保证至少有4个球颜色相同？
5.有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？
（1986年“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题）
B组：
6.有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各若干个，每个人可以从中任意选择两个，那么需要几个人才能保证至少有2人选的小球颜色相同？
7.某电影院共有1987个座位，有一天，这家电影院上、下午各演一场电影。
看电影的正巧是甲、乙两所中学的各1987名师生。
同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场。
因此，有人推断说：
“这天看电影时，肯定有的座位在上午、下午坐的是两所不同学校的师生。
”你能说明这种断言正确与否吗？
8.10名乒乓球运动员进行单循环比赛（每两个运动员之间都要赛一场而且只赛一场）。
证明每天比赛结束时，一定有两名运动员，他们累积比赛的场数是相同的。
9.在我国至少有两个人出生的时间相差不会超过4秒钟。
你能证明这个结论是正确的吗？
C组：
10.证明在任何6个人的聚会上，总有3个人互相认识或者3个人互相不认识。
11.老师将一批课外读物随意分给10名学生，保证每个学生至少分到1本，可以肯定在这10名学生中，一定有一些学生所得到的书的总和是10的倍数吗？
12.从13个自然数中，一定可以找到两个，它们的差是12的倍数。
答案：
1.不对。
因为闰年2月份有29天，29个人有可能两两生日都不相同。
2.这道题中的“1979年”是平年，一年有365天，应用抽屉原理，把365天看作365个抽屉，把366名学生看作366本书，把366本书放到365个抽屉中，至少有一个抽屉中有2本书。
因此，366名学生中至少有2名学生的生日是同一天的。
3.这道题问的是在210名学生中能否有18名以上的学生是同一个月出生的。
应用抽屉原理，把一年的12个月看作12个抽屉，把210名学生看作210本书，如果每个抽屉里放17本书，那么共放17×
12=204（本），因为210＞204，所以一定有18本或18以上的书在同一个抽屉里。
因此，参加数学竞赛的210名学生中，肯定有18名或18名以上的学生在同一个月出生。
4.3+3+3+2+1＝12（个）。
5.在黑暗中摸筷子，如果摸8根都是同一颜色，只能保证有一双筷子。
再摸2根，如果颜色不同，一样一根，也不能配成一双。
这时，10根筷子共有三种颜色，再摸一根，不论是什么颜色，总可以从“一样一根”的筷子中选出一根来配成一双。
所以，至少要取出11根，才能保证取出颜色不同的两双筷子。
6.这道题问的是需要几个人才能保证至少有2人选的小球颜色相同，那么从红、黄、蓝、黑四种颜色的小球中任意选择两个，有几种不同的选法呢？
共有10种不同的选法：
（1）红+红；
（2）黄+黄；
（3）蓝+蓝；
（4）黑+黑；
（5）红+黄；
（6）红+蓝；
（7）红+黑；
（8）黄+蓝；
（9）黄+黑；
（10）蓝+黑。
即10个人参加选，每人选的小球颜色不相同。
应用抽屉原理，把10种选法看作10个抽屉，每人任意选2个球，需要有11人，才能保证至少有2人选的小球颜色相同。
7.这种说法是正确的。
甲乙两校师生都是1987名，电影院的座位也恰是1987个，上、下午两场共有1987×
2人看电影，显然上、下午都满场。
由于电影院共有1987个座位，是个奇数，且为：
993×
2+1，因此，上午场看电影的师生中至少有一个学校的人数不少于994人，假设甲校看电影人数不少于994人，那么甲校下午看电影的人数不多于1987-994=993（人），这些学生即使全坐在上午甲校学生的座位上，也不能坐满，至少还余下一个座位，这个座位下午要坐的一定是乙校看电影的师生。
8.由于比赛是单循环进行的，所以在整个比赛过程中每个运动员都要赛9场。
这样在每天比赛结束时，都可以出现两种情况，一种情况是每一运动员都还没有赛9场，也就是说这9名运动员已经赛过的场数只可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8这9种。
这9种可能性就是抽屉，元素是10名运动员，可见一定有两个人赛的场数是一样的。
还有一种情况，就是已经有某个运动员赛了9场，由于是单循环，不能还有运动员没有赛过。
这样10名运动员赛过的场数只可能是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种。
还是9个抽屉10个元素。
总之，无论是哪一种情况，一定有两个人赛的场数是一样多的。
9.首先我们要明确在我国有12亿人口，而每个人的寿命设为不超过110岁，这样我们看一看在110年里共包括多少个4秒间隔，这个数字也就是抽屉的个数，如果这个数小于12亿，那么就可以肯定有两个人出生的时间相差不超过4秒。
110年大致合4万天，一天有3600×
24秒，这样在110年中共有3600×
24×
4万秒，于是4秒间隔数为3600×
4万÷
4=86400万，即八亿六千四百万。
这就是抽屉数，元素数是12亿。
于是一定有两个人在同一抽屉里，也就是说，至少有两人出生时刻相差不到4秒。
10.为了便于说明问题，我们在纸上取6个点A、B、C、D、E、F来代表6个人。
如果两个人认识就用红线（图10-16中的实线）把代表他们的点连接起来，如果两个人互相不认识就用蓝线（图中的虚线）把代表两人的点连接起来，每两点之间都有一条红线或者蓝线连结着，这些点和线组成了若干个三角形。
问题就转化了，如果有三个人互相认识（或不认识），那么以代表这三个人的三个点为顶点的三角形的三条边全是红色（或蓝色）的。
考虑从A点出发的五条线。
由于它们不是红色的就是蓝色的，由抽屉原理知，至少有三条边的颜色是相同的，不妨设为AB、AC及AD为红色的。
下面考虑点B、C、D之间的连线。
如果三条连线中至少有一条是红色的，假如BC是红色的，那么△ABC的三条边全是红色的，说明A、B、C三点代表的三个人互相认识；
如果三条连线全是蓝色的，则△BCD的三条边都是蓝色的，说明B、C、D三点代表的三个人互相不认识。
11.题目是要证明有一些学生分得的课外读物的总和是10的倍数。
所以可以把10个学生所分得的课外读物数的和写出来进行分析。
设10个学生分得的课外读物的数分别是a1、a2、…、a10；
再设s1=a1，s2=a1+a2，s3=a1+a2+a3，…，s10=a1+a2+…+a10；
分别代表1个学生，2个学生……，10个学生所分得的书的总和。
下面我们来分析s1，s2，s3，…，s10这10个数。
自然数被10除时，余数只有10种可能的情况，即0，1，2，…，9。
把每一个s用10去除，都各自得到一个余数。
如果每一个数被10除后的余数都不相同，则必有一个s被10除余数为0，比如是S7，也就是说，前7个学生所分得的课外读物的总和是10的倍数。
否则根据抽屉原则，一定有两个s，它们被10除后所得的余数相等，不妨设为S2和S8；
于是S8-S2就一定能被10整除。
而s8-s2=a8+a7+a5+a4+a3，也就是说第3个学生至第8个学生分得的课外读物的总和是10的倍数。
这样问题就全部解决了。
12.有了上一题的分析，这个题就变得十分简单了。
设13个自然数为a1，a2，a3，…，a12，a13。
用12去除每个a，得到13个商和余数。
由于自然数被12除时，只可能有12种不同的余数，这就是要找的抽屉，13个数是元素，于是一定有两个在同一抽屉里，即它们被13除时余数是相同的，不妨设为a7=12·
q1+r，a11=12·
q2+r，a7-a11=12（q1-q2）是12的倍数。
问题得到解决。
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